天津市天津经济技术开发区第一中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷（含解析）

天津经济技术开发区一中2023-2024学年上学期高一数学期末考试试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知角的终边经过点，则的值为( )
A. B. C. D.
2.在中，“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.设集合R，，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. B. C. D.
4.在用二次法求方程在内近似根的过程中，已经得到，，，则方程的根落在区间( )
A. B. C. D. 不能确定
5.函数的单调递增区间是
A. B. C. D.
6.若，，，则a，b，c的大小关系是( )
A. B. C. D.
7.将正弦函数的图象先向左平移个单位长度，再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，最后得到函数的图象，则( )
A. B.
C. D.
8.已知为锐角，为钝角，，则( )
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A. B. C. D.
9.若规定，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D. 或
10.已知，则函数与函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
11.若函数单调递增，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.已知函数是R上的偶函数，对于都有成立，且，当，且时，都有则给出下列命题：
①； ②函数图象的一条对称轴为；
③函数在上为严格减函数； ④方程在上有4个根；
其中正确的命题个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
13.已知幂函数满足，则__________.
14.函数的定义域是__________.
15.已知扇形OAB的圆心角为4，其面积是，则该扇形的周长是__________
16.已知，且，求的最小值________
17.设函数的部分图象如图所示．则函数的解析式为______.
18.若存在，使得函数在区间上有零点，则实数a的取值范围为________.
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题12分
已知，求的值；
求的值；
求的值．
20.本小题12分
已知，且为第三象限角，
求的值；
求的值．
21.本小题12分
已知定义域为R的函数是奇函数．
求a，b的值；
用定义证明在上为减函数；
解不等式
22.本小题12分
已知函数，
Ⅰ求的最小正周期；
Ⅱ求的单调递增区间；
Ⅲ求图象的对称轴方程和对称中心的坐标.
23.本小题12分
已知是函数的零点，
Ⅰ求实数a的值；
Ⅱ若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围；
Ⅲ若方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
由条件利用任意角的三角函数的定义，求得的值
【解答】
解：角的终边经过点，
，，，
则，
故选
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查充分、必要、充要条件的判断，属于基础题.
由正弦定理知，由，知，所以，反之亦然，故可得结论．
【解答】
解：在中，由正弦定理知为外接圆的半径，
，，
故
故“”是“”的必要条件；
反之，，，
由正弦定理得，，
，
故“”是“”的充分条件；
综上所述，“”是“”的充要条件.
故选：
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了集合的基本运算，Venn图的运用，属于基础题.
根据Venn图和集合之间的关系进行判断即可求解.
【解答】
解：由 Venn 图可知，阴影部分的元素为属于集合 A但不属于集合B 的元素构成，所以阴影部分表示的集合为，
集合，，，
，
，
图中阴影部分表示的集合为，
故选
4.【答案】B
【解析】解：，，
在区间内函数存在一个零点
又，，
在区间内函数存在一个零点，
由此可得方程的根落在区间内，
故选：
根据函数的零点存在性定理，由与的值异号得到函数在区间内有零点，同理可得函数在区间内有零点，从而得到方程的根所在的区间．
本题给出函数的一些函数值的符号，求相应方程的根所在的区间．着重考查了零点存在定理和方程根的分布的知识，考查了学生分析解决问题的能力，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了复合函数单调性，对数函数及其性质，属于基础题.
根据复合函数单调性，求出时的单调减区间即可得到答案.
【解答】
解：函数，
令，
则在其定义域内为减函数，
根据复合函数单调性，只需求出时的单调递减区间即可，
由，解得，
又，对称轴为，
所以时的单调递减区间为，
故函数的单调递增区间为
故选
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查三个数的大小的求法，是基础题．
利用对数和指数运算直接化简a，b，c的值，即可比较出大小关系．
【解答】
解：，，，
，
故选：
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查三角函数图象的变换，属于基础题.
根据三角函数图象的变换求解即可.
【解答】
解：将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象的解析式为，
再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数
故选
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了同角三角函数的基本关系以及两角和的余弦公式，属于基础题.
由条件利用同角三角函数的基本关系求得，，利用两角和的余弦公式计算即可．
【解答】
解： 为锐角，且，
为钝角，且，
，
故选
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查一元二次不等式的求解，涉及定义新运算，属基础题.
根据新定义可得关于x的两个二次不等式，求解取交集即可.
【解答】
解：因为，
所以，
所以，即，
解得或
故不等式的解集是或，
故选
10.【答案】B
【解析】解析：由，得，故a，b互为倒数，所以，故，的单调性相同.四个选项中，两个函数图象单调性相同的是B选项.故选
11.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了分段函数的单调性问题，考查指数函数以及一次函数的性质，是一道基础题， 根据指数函数以及一次函数的性质求出a的范围即可.
【解答】
解：函数单调递增，
则，
解得：，故
故选
12.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了抽象函数性质的应用，考查了单调性，周期性，奇偶性，对称性与方程根和函数零点的关系，属于中档题．
①赋值，又因为是R上的偶函数，，则函数为周期是6的函数，所以，故；
②是R上的偶函数，所以，又因为，得周期为6，从而，即得结论；
③由单调性定义知函数在上为增函数，的周期为6，所以函数在上为减函数；
④，的周期为6，所以
【解答】
解：①：对于任意，都有成立，
令，则，解得，
又因为是R上的偶函数，所以，
所以，所以函数的周期为6，
所以，
又由，故；故①正确；
②：由知的周期为6，
又因为是R上的偶函数，所以，
而的周期为6，所以，，
所以：，所以直线是函数的图象的一条对称轴．故②正确；
③：当，，且时，都有
所以函数在上为严格增函数，
因为是R上的偶函数，所以函数在上为严格减函数
而的周期为6，所以函数在上为严格减函数．故③正确；
④：，的周期为6，
所以：，
又在先严格减后严格增，所以除端点外不存在其他零点，
函数在上有四个零点．故④正确；
故答案为
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查幂函数，属于基础题.
设幂函数，根据题意可得，求得的值，可得函数的解析式，进而即可求得结果.
【解答】
解：设幂函数，
，解得，
所以，
因此
故答案为
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查指数函数的单调性及函数的定义域，属于基础题．
根据偶次根式的被开方数为非负数，即，解不等式可得结果.
【解答】
解：由题意可得，，即，解得，
所以函数的定义域是，
故答案为：
15.【答案】6
【解析】【分析】
本题考查扇形面积公式，关键在于掌握弧长公式，扇形面积公式及其应用，属于基础题．
设扇形的弧长为l，半径为r，利用弧长公式，扇形的面积公式可求r，即可得解周长的值．
【解答】
解：设扇形的弧长为l，半径为r，
扇形圆心角的弧度数是4，
，
，
，则，
，则，
该扇形的周长
故答案为：
16.【答案】3
【解析】【分析】
本题主要考查了基本不等式，考查了利用基本不等式求最值，属于基础题；
根据题意得到，利用基本不等式即可得解.
【解答】
解：已知，且，
则
，
当且仅当时等号成立；
故答案为
17.【答案】
【解析】本题满分为8分
解：由图象知，，…分
又，，
所以，得…分
所以，
将点代入，得，
即，又，
所以，…分
所以
故答案为：…分
由图象知，A，周期T，利用周期公式可求，由点在函数图象上，结合范围，可求，从而解得函数解析式．
本题是中档题，主要考查了函数的图象求出函数的解析式的方法，考查了正弦函数的图象和性质，注意视图用图能力的培养．
18.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的零点与方程的根的关系，是中档题.
利用分离参数，再对参数a进行分类讨论.
【解答】
解：存在，使得函数在区间上有零点，
分离参数，则在的值域与有交集，
若，则的值域为，此时无交集，舍去；
若，则的值域为，则，故；
若，则的值域为，则，故
综上
19.【答案】解： ，
化简得
解：原式
解：
，
又，
所以，原式
【解析】本题考查了指数与对数的运算性质，关键是对运算性质的熟练运用，属于基础题．
先对原等式平方，利用指数幂的运算性质化简计算即可；
先化简分数指数幂，再利用指数幂的运算性质计算即可；
直接利用对数的运算性质化简求值．
20.【答案】解：，且为第三象限角，
，

【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用诱导公式求得的值．
利用诱导公式化简即可求解．
21.【答案】解：函数是定义在R上的奇函数，
则，即，得，
，
则，，
则，
即，即，得
，，
，
设，
则，
，
，
则，即在上为减函数;
由得，
是奇函数，且在上是减函数，
不等式等价为，
即
得即实数t的取值范围是
【解析】本题主要考查函数奇偶性和单调性的证明和应用，结合性质进行转化是解决本题的关键，本题属于中档题.
根据函数奇偶性的性质建立方程进行求解即可
根据函数单调性的定义进行证明
根据函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可
22.【答案】解：
所以周期为；
由，
可得单调增区间，，
由得对称轴为
由得对称中心为
对称中心坐标为
【解析】本题主要考查了三角函数式的化简以及正弦型函数的性质，属于基础题.
用二倍角公式和辅助角公式对函数解析式进行化简，进而根据求得最小正周期；
由正弦函数的性质可知时，函数单调增，进而求得x的范围，确定函数的单调递增区间；
由正弦函数的对称性可知，利用求得函数的对称轴，由求得对称中心．
23.【答案】解：是函数的零点，
，解得，
即实数a的值为
由知，，，
则不等式在上恒成立，
等价于在上恒成立.
当时，，
两边同时除以，得
令，则，
因此在上恒成立，
等价于在上恒成立.
令，，
则的最小值为0，
，
即实数k的取值范围为
由可知：，
因此原方程可化为
，
两边同乘以，
得
令，则，
则，
解得或
当时，由，解得；
当时，，
要使方程有三个不同的实数解，
则方程必有两个不同的实数解，
即函数的图像与直线有两个交点，
作函数与直线的图像如下：
因此，解得，
所以实数k的取值范围为

【解析】本题考查了不等式的恒成立问题，函数零点存在性定理，函数的零点与方程根的关系，数形结合思想和对数与对数运算，考查了学生的运算能力和转化能力，较难题.
利用函数零点的定义计算得结论；
利用对数运算，结合不等式的恒成立问题处理策略，把问题转化为在上恒成立，令，把问题转化为在上恒成立，最后计算得结论；
利用运算把问题转化为方程必有两个不同的实数解，再利用函数的零点与方程根的关系把问题转化为函数的图像与直线有两个交点，再利用数形结合，建立不等式计算得结论.