22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
知识点1 二次函数y=ax2的图象和性质
1.二次函数y=-2x2的图象是(D)
2.如图是四个二次函数的图象,则a,b,c,d的大小关系为(B)
A.d
C.c3.已知二次函数y=x2,在-1≤x≤4内,函数的最小值为 0 .
4.分别指出抛物线y=x2与y=-x2的开口方向、对称轴、顶点坐标和y随x的增大而变化的情况,并在同一平面直角坐标系中画出它们的图象.
【解析】两个函数的对称轴都是y轴,顶点坐标都是(0,0),y=x2,a=>0,故函数图象开口向上,x>0时,y随x的增大而增大,x<0时,y随x的增大而减小;
y=-x2,a=-<0,故函数图象开口向下,x<0时,y随x的增大而增大,x>0时,y随x的增大而减小;
二次函数的y与x的部分对应值如表
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 3 0 3 …
y=-x2 … -3 - - 0 - - -3 …
根据表格描点绘图:
知识点2 求二次函数y=ax2的解析式
5.如图平面直角坐标系中,函数图象的解析式是(D)
A.y=x2 B.y=x2
C.y=x2 D.y=x2
6.抛物线y=ax2经过点(1,-2),那么这个抛物线的开口向 下 .
7.抛物线y=ax2与直线y=-x交于(1,m),抛物线的解析式为 y=-x2 .
8.二次函数y=ax2与直线y=2x-1的图象交于点P(1,m)
(1)求a,m的值;
【解析】(1)∵点P(1,m)在y=2x-1的图象上,
∴m=2×1-1=1,将点P(1,1)代入y=ax2,
∴a=1;
(2)写出二次函数的解析式,并指出x取何值时y随x的增大而增大
【解析】(2)由(1)可知a=1,∴二次函数的解析式为y=x2,
∵函数y=x2的图象开口向上,对称轴为y轴,∴当x>0时,y随x的增大而增大;
(3)写出该抛物线的顶点坐标和对称轴.
【解析】(3)y=x2的顶点坐标为(0,0),对称轴为y轴.
9.已知点A(-2,y1),B(1,y2),C(3,y3)在二次函数y=-2x2图象上,则y1,y2,y3的大小关系是(D)
A.y1C.y210.二次函数y=ax2与一次函数y=ax-a在同一坐标系中的大致图象可能是(A)
11.定义运算“※”为:a※b=,
如:1※(-2)=-1×(-2)2=-4.则函数y=2※x的图象大致是(C)
12.已知点A(-2,y1),B(3,y2),C(,y3)均在二次函数y=(k2+1)x2(k为常数)的图象上,则y1,y2,y3的大小关系为 y2>y3>y1 .
13.如图,正方形的边长为4,以正方形中心为原点建立平面直角坐标系,作出函数y=2x2与y=-2x2的图象,则阴影部分的面积是 8 .
14.已知函数y=(k-2)是关于x的二次函数,
(1)求满足条件的k的值;
【解析】(1)∵函数y=(k-2)是关于x的二次函数,
∴k2-4k+5=2,且k-2≠0,
∴解得k1=1,k2=3.
(2)当k为何值时,抛物线有最高点 求出这个最高点.此时,x为何值时,y随x的增大而增大
【解析】(2)∵抛物线有最高点,
∴图象开口向下,即k-2<0,∴k=1,
∴最高点为(0,0),当x<0时,y随x的增大而增大.
(3)当k为何值时,函数有最小值 最小值是多少 此时,x为何值时,y随x的增大而减小
【解析】(3)∵函数有最小值,
∴图象开口向上,即k-2>0,∴k=3,
∴最小值为0,当x<0时,y随x的增大而减小.
15.(推理能力、运算能力)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx-3(k≠0)与抛物线y=-x2相交于A,B两点(点A在点B的左侧),点B关于y轴的对称点为B'.
(1)当k=2时,求A,B两点的坐标;
【解析】本题考查二次函数与其他知识结合,涉及待定系数法和三角形全等的判定与性质等,利用分类讨论思想,讨论k的正负性.
(1)当k=2时,直线为y=2x-3,
由得:或,
∴A(-3,-9),B(1,-1);
(2)连接OA,OB,AB',BB',若△B'AB的面积与△OAB的面积相等,求k的值.
【解析】(2)当k>0时,连接OB',设直线y=kx-3交y轴于点C,BB'交y轴于点D,如图:
∵△B'AB的面积与△OAB的面积相等,
∴OB'∥AB,∴∠OB'B=∠B'BC,
∵B,B'关于y轴对称,
∴OB=OB',∠ODB=∠ODB'=90°,
∴∠OB'B=∠OBB',∴∠OBB'=∠B'BC,
∵∠ODB=90°=∠CDB,BD=BD,
∴△BOD≌△BCD(ASA),∴OD=CD,
在y=kx-3中,令x=0得y=-3,
∴C(0,-3),OC=3,
∴OD=OC=,D(0,-),
在y=-x2中,令y=-得-=-x2,
解得x=或x=-,∴B(,-),把B(,-)代入y=kx-3得-=k-3,解得k=;
当k<0时,过B'作B'F∥AB交y轴于F,设直线y=kx-3交y轴于点E,BB'交y轴于点G,如图:
在y=kx-3中,令x=0得y=-3,
∴E(0,-3),OE=3,
∵△B'AB的面积与△OAB的面积相等,
∴OE=EF=3,∵B,B'关于y轴对称,
∴FB=FB',∠FGB=∠FGB'=90°,
∴∠FB'B=∠FBB',
∵B'F∥AB,∴∠EBB'=∠FB'B,
∴∠EBB'=∠FBB',
∵∠BGE=90°=∠BGF,BG=BG,
∴△BGF≌△BGE(ASA),
∴GE=GF=EF=,
∴OG=OE+GE=,G(0,-),
在y=-x2中,令y=-得-=-x2,
解得x=或x=-,
∴B(,-),把B(,-)代入y=kx-3得-=k-3,解得k=-,
综上所述,k的值为或-.22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
知识点1 二次函数y=ax2的图象和性质
1.二次函数y=-2x2的图象是 ( )
2.如图是四个二次函数的图象,则a,b,c,d的大小关系为 ( )
A.dC.c3.已知二次函数y=x2,在-1≤x≤4内,函数的最小值为 .
4.分别指出抛物线y=x2与y=-x2的开口方向、对称轴、顶点坐标和y随x的增大而变化的情况,并在同一平面直角坐标系中画出它们的图象.
知识点2 求二次函数y=ax2的解析式
5.如图平面直角坐标系中,函数图象的解析式是 ( )
A.y=x2 B.y=x2
C.y=x2 D.y=x2
6.抛物线y=ax2经过点(1,-2),那么这个抛物线的开口向 .
7.抛物线y=ax2与直线y=-x交于(1,m),抛物线的解析式为 .
8.二次函数y=ax2与直线y=2x-1的图象交于点P(1,m)
(1)求a,m的值;
(2)写出二次函数的解析式,并指出x取何值时y随x的增大而增大
(3)写出该抛物线的顶点坐标和对称轴.
9.已知点A(-2,y1),B(1,y2),C(3,y3)在二次函数y=-2x2图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 ( )
A.y1C.y210.二次函数y=ax2与一次函数y=ax-a在同一坐标系中的大致图象可能是 ( )
11.定义运算“※”为:a※b=,
如:1※(-2)=-1×(-2)2=-4.则函数y=2※x的图象大致是 ( )
12.已知点A(-2,y1),B(3,y2),C(,y3)均在二次函数y=(k2+1)x2(k为常数)的图象上,则y1,y2,y3的大小关系为 .
13.如图,正方形的边长为4,以正方形中心为原点建立平面直角坐标系,作出函数y=2x2与y=-2x2的图象,则阴影部分的面积是 .
14.已知函数y=(k-2)是关于x的二次函数,
(1)求满足条件的k的值;
(2)当k为何值时,抛物线有最高点 求出这个最高点.此时,x为何值时,y随x的增大而增大
(3)当k为何值时,函数有最小值 最小值是多少 此时,x为何值时,y随x的增大而减小
15.(推理能力、运算能力)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx-3(k≠0)与抛物线y=-x2相交于A,B两点(点A在点B的左侧),点B关于y轴的对称点为B'.
(1)当k=2时,求A,B两点的坐标;
(2)连接OA,OB,AB',BB',若△B'AB的面积与△OAB的面积相等,求k的值.