22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第1课时
知识点1 二次函数y=ax2+k的图象和性质
1.抛物线y=x2-2的顶点坐标是(D)
A.(-2,0) B.(2,0)
C.(0,2) D.(0,-2)
2.若将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度,所得抛物线的解析式为(A)
A.y=2x2+3 B.y=2x2-3
C.y=2(x-3)2 D.y=2(x+3)2
3.关于抛物线y=x2-2.
(1)该抛物线的顶点坐标是 (0,-2) ,对称轴是直线x= 0 .
(2)若A(-2,y1),B(-1,y2),C(-3,y3)为抛物线上的三点,则y1,y2,y3的大小关系是 y24.二次函数y=ax2+8与直线y=3x+1的图象交于点P(2,m).
(1)求a,m的值;
【解析】(1)∵点P(2,m)在y=3x+1的图象上,
∴m=3×2+1=7,
∴点P(2,7),代入y=ax2+8,
∴a=-;
(2)写出二次函数的解析式,并指出x取何值时y随x的增大而增大
【解析】(2)由(1)得:a=-,
∴二次函数解析式为y=-x2+8,
∵函数y=-x2+8的图象开口向下,对称轴为y轴,
∴当x<0时,y随x的增大而增大;
(3)写出该抛物线的顶点坐标和对称轴.
【解析】(3)y=-x2+8的顶点坐标为(0,8),对称轴为y轴.
知识点2 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
5.对于二次函数y=-2(x+3)2的图象,下列说法正确的是(B)
A.开口向上
B.对称轴是直线x=-3
C.当x>-4时,y随x的增大而减小
D.顶点坐标为(-2,-3)
6.已知二次函数y=2(x-h)2的图象上,当x>3时,y随x的增大而增大,则h的取值范围是 h≤3 .
7.已知抛物线y=-x2+1,则当1≤x≤3时,y的最大值是(B)
A.1 B. C. D.-2
8.已知A,B,C三点都在二次函数y=-的图象上,则y1,y2,y3的大小关系为(B)
A.y1C.y39.若二次函数y=ax2+2的图象经过P(1,3),Q(m,n)两点,则代数式n2-4m2-4n+9的最小值为(A)
A.1 B.2 C.3 D.4
10.(名师原创)已知二次函数y=a(x-m)2(a<0)的图象经过点A(-1,p),B(3,q),且pA.-1 B.- C.0 D.
11.如图,两条抛物线y1=-x2+1与y2=-x2-1分别经过点(-2,-1),(2,-3),则平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为 8 .
12.若把抛物线y=a(x-4)2向左平移6个单位长度后得到抛物线y=-3(x-h)2,且知抛物线y=a(x-4)2的顶点为A,且与y轴交于点B,抛物线y=-3(x-h)2的顶点为M,则S△MAB= 144 .
13.已知,如图直线l经过A(4,0)和B(0,4)两点,抛物线y=a(x-h)2的顶点为P(1,0),直线l与抛物线的交点为M.
(1)求直线l的函数解析式;
【解析】(1)设直线l的函数解析式为y=kx+b,
把A(4,0),B(0,4)分别代入解析式得
,解得,所以y=-x+4;
(2)若S△AMP=3,求抛物线的解析式.
【解析】(2)设M点的坐标为(m,n),
∵S△AMP=3,∴×(4-1)n=3,解得n=2,
把M(m,2)代入y=-x+4,
即2=-m+4,得m=2,∴M(2,2),
∵抛物线y=a(x-h)2的顶点为P(1,0),
可得y=a(x-1)2,把M(2,2)代入y=a(x-1)2,
得2=a(2-1)2,解得a=2.
∴抛物线的解析式为y=2(x-1)2.
14.抛物线y=2x2+n与直线y=2x-1交于点(m,3).
(1)求m和n的值;
【解析】(1)把(m,3)代入y=2x-1得2m-1=3,解得m=2,
把(2,3)代入y=2x2+n得2×4+n=3,解得n=-5;
(2)求抛物线y=2x2+n的顶点坐标和对称轴;
【解析】(2)抛物线的解析式为y=2x2-5,它的顶点坐标为(0,-5),对称轴为y轴;
(3)当x取何值时,二次函数y=2x2+n中,y随x的增大而减小;
【解析】(3)当x<0时,二次函数y=2x2-5中y随x的增大而减小;
(4)函数y=2x2+n与y=2x-1的图象是否还有其他交点 若有,请求出该交点;若没有,请说明理由.
【解析】(4)函数y=2x2+n与y=2x-1的图象还有其他交点.
解方程组得或,
所以函数y=2x2+n与直线y=2x-1的图象还有一个交点,交点坐标为(-1,-3).
15.在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+c(a≠0)与x轴交于A,B两点,点B的坐标是(2,0),顶点C的坐标是(0,4),M是抛物线上一动点,且位于第一象限,直线AM与y轴交于点G.
(1)求该抛物线的解析式;
【解析】本题考查二次函数的图象和性质,用待定系数法求函数解析式,利用方程思想求解.
(1)∵抛物线y=ax2+c(a≠0)与x轴交于点B(2,0),顶点C的坐标是(0,4),
∴,解得,
∴该抛物线的解析式为y=-x2+4;
(2)如图,N是抛物线上一点,且位于第二象限,连接OM,记△AOG,△MOG的面积分别为S1,S2.当S1=2S2,且直线CN∥AM时,求证:点N与点M关于y轴对称.
【解析】(2)过点M作MD⊥y轴,垂足为D,
当△AOG与△MOG都以OG为底时,
∵S1=2S2,∴OA=2MD,
当y=0时,-x2+4=0,解得x=±2,
∵点B的坐标是(2,0),∴A(-2,0),
∴OA=2,MD=1,
设点M的坐标为(m,-m2+4),
∵点M在第一象限,∴m=1,
∴-m2+4=3,即M(1,3),
设直线AM的解析式为y=kx+b,
∴,解得,
∴直线AM的解析式为y=x+2,
∵CN∥AM,∴设直线CN的解析式为y=x+t,∵C(0,4),
∴t=4,即直线CN的解析式为y=x+4,将其代入y=-x2+4中,得x+4=-x2+4,
解得x=0或-1,
∵点N在第二象限,∴N(-1,3),
∵M(1,3),∴点N与点M关于y轴对称.22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第1课时
知识点1 二次函数y=ax2+k的图象和性质
1.抛物线y=x2-2的顶点坐标是 ( )
A.(-2,0) B.(2,0)
C.(0,2) D.(0,-2)
2.若将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度,所得抛物线的解析式为 ( )
A.y=2x2+3 B.y=2x2-3
C.y=2(x-3)2 D.y=2(x+3)2
3.关于抛物线y=x2-2.
(1)该抛物线的顶点坐标是 ,对称轴是直线x= .
(2)若A(-2,y1),B(-1,y2),C(-3,y3)为抛物线上的三点,则y1,y2,y3的大小关系是 .
4.二次函数y=ax2+8与直线y=3x+1的图象交于点P(2,m).
(1)求a,m的值;
(2)写出二次函数的解析式,并指出x取何值时y随x的增大而增大
(3)写出该抛物线的顶点坐标和对称轴.
知识点2 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
5.对于二次函数y=-2(x+3)2的图象,下列说法正确的是 ( )
A.开口向上
B.对称轴是直线x=-3
C.当x>-4时,y随x的增大而减小
D.顶点坐标为(-2,-3)
6.已知二次函数y=2(x-h)2的图象上,当x>3时,y随x的增大而增大,则h的取值范围是 .
7.已知抛物线y=-x2+1,则当1≤x≤3时,y的最大值是 ( )
A.1 B. C. D.-2
8.已知A,B,C三点都在二次函数y=-的图象上,则y1,y2,y3的大小关系为 ( )
A.y1C.y39.若二次函数y=ax2+2的图象经过P(1,3),Q(m,n)两点,则代数式n2-4m2-4n+9的最小值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.(名师原创)已知二次函数y=a(x-m)2(a<0)的图象经过点A(-1,p),B(3,q),且pA.-1 B.- C.0 D.
11.如图,两条抛物线y1=-x2+1与y2=-x2-1分别经过点(-2,-1),(2,-3),则平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为 .
12.若把抛物线y=a(x-4)2向左平移6个单位长度后得到抛物线y=-3(x-h)2,且知抛物线y=a(x-4)2的顶点为A,且与y轴交于点B,抛物线y=-3(x-h)2的顶点为M,则S△MAB= .
13.已知,如图直线l经过A(4,0)和B(0,4)两点,抛物线y=a(x-h)2的顶点为P(1,0),直线l与抛物线的交点为M.
(1)求直线l的函数解析式;
(2)若S△AMP=3,求抛物线的解析式.
14.抛物线y=2x2+n与直线y=2x-1交于点(m,3).
(1)求m和n的值;
(2)求抛物线y=2x2+n的顶点坐标和对称轴;
(3)当x取何值时,二次函数y=2x2+n中,y随x的增大而减小;
(4)函数y=2x2+n与y=2x-1的图象是否还有其他交点 若有,请求出该交点;若没有,请说明理由.
15.在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+c(a≠0)与x轴交于A,B两点,点B的坐标是(2,0),顶点C的坐标是(0,4),M是抛物线上一动点,且位于第一象限,直线AM与y轴交于点G.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)如图,N是抛物线上一点,且位于第二象限,连接OM,记△AOG,△MOG的面积分别为S1,S2.当S1=2S2,且直线CN∥AM时,求证:点N与点M关于y轴对称.
