22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第2课时
知识点1 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
1.(2023·兰州中考)已知二次函数y=-3(x-2)2-3,下列说法正确的是 ( )
A.对称轴为直线x=-2
B.顶点坐标为(2,3)
C.函数的最大值是-3
D.函数的最小值是-3
2.二次函数y=(x+1)2-2的图象大致是 ( )
3.已知二次函数y=(x+m)2+2,当x>2时,y的值随x值的增大而增大,则实数m的取值范围是 .
4.已知二次函数y=-(x+1)2+4.
(1)该函数图象的开口向 ,顶点坐标为 ,对称轴为直线 ,函数图象与x轴的交点坐标为 ,与y轴的交点坐标为 .
(2)在如图所示的坐标系中画出该二次函数的图象.
(3)根据图象判断,当y>0时,x的取值范围是 .
(4)若点(-4,y1)与(-2,y2)是此二次函数图象上两点,则y1 y2.(填“>”“<”或“=”)
知识点2 抛物线的平移
5.抛物线y=-2(x-1)2-1可由抛物线y=-2(x+2)2+3平移得到,那么平移的步骤是 ( )
A.右移3个单位长度,再下移4个单位长度
B.右移3个单位长度,再上移4个单位长度
C.左移3个单位长度,再下移4个单位长度
D.左移3个单位长度,再上移4个单位长度
6.把抛物线y=3x2向右平移4个单位长度后,得到的抛物线的解析式为 ;把新得到的抛物线再向下平移3个单位长度后得到的抛物线的解析式为 .
知识点3 利用顶点式y=a(x-h)2+k求二次函数解析式
7.已知顶点为(2,4)的抛物线过点(4,0),此抛物线的解析式是 ( )
A.y=-(x-2)2+4 B.y=(x-2)2-4
C.y=(x-2)2+4 D.y=-(x-2)2-4
8.已知一条抛物线的形状与y=x2相同,对称轴是直线x=-1,且与y轴交于点(0,-2),求该抛物线的函数解析式.
9.抛物线y=2(x-1)2+c过(-2,y1),(0,y2),三点,则y1,y2,y3的大小关系是 ( )
A.y2>y3>y1 B.y1>y2>y3
C.y2>y1>y3 D.y1>y3>y2
10.二次函数y=a(x-2)2+c与一次函数y=cx+a在同一坐标系中的大致图象是 ( )
11.已知二次函数y=a(x-1)2-a(a≠0),当-1≤x≤4时,y的最小值为-4,则a的值为 ( )
A.或4 B.-或
C.-或4 D.-或4
12.已知点P(x,y)在二次函数y=2(x+1)2-3的图象上,当-2
13.在平面直角坐标系中,设二次函数y=-(x-2m)2+3-m(m是实数).
(1)当m=2时,判断函数图象与x轴有几个交点;
(2)小明说二次函数图象的顶点在直线y=-x+3上,你认为他的说法正确吗 为什么
(3)已知点P(a+1,c),Q(4m-5+a,c)都在该二次函数图象上,求a的值.
14.(易错警示题)已知抛物线L1:y=a(x+1)2-4(a≠0)经过点A(1,0).
(1)求抛物线L1的函数解析式.
(2)将抛物线L1向上平移m(m>0)个单位长度得到抛物线L2.若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上,求m的值.
15.(推理能力,几何直观)如图,已知点M(x1,y1),N(x2,y2)在二次函数y=a(x-2)2-1(a>0)的图象上,且x2-x1=3.
(1)若二次函数的图象经过点(3,1).
①求这个二次函数的解析式;
②若y1=y2,求顶点到MN的距离.
(2)当x1≤x≤x2时,二次函数的最大值与最小值的差为1,点M,N在对称轴的异侧,求a的取值范围.
素养提升攻略
趣味探究
如图1,“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动,杯子的叠放方式如图1所示:每层都是杯口朝下排成一行,自下向上逐层递减一个杯子,直至顶层只有一个杯子.爱思考的小丽发现叠放所需杯子的总数y随着第一层(最底层)杯子的个数x的变化而变化.
如图2,小明从“形”的角度出发,将要计算总数的杯子用黑色圆表示,再借助“补”的思想,补充相同数量的白色圆,使每层圆的数量相同,进而求出y与x的关系式.
素养训练3抽象能力、运算能力
通过阅读以上材料,完成以下问题:
(1)写出y与x的关系式,并判断它是什么函数;
(2)现有36个杯子,按图1中的方式叠放,求第一层杯子的个数.
链接生活
抛物线与汽车前灯
把抛物线沿它的对称轴旋转一周,就会形成一个抛物面,如图所示的汽车前灯的反光曲面就是这种“抛物镜面”,它是由过等腰直角三角形(△ABC)顶点的抛物线绕着对称轴旋转一周所形成的,我们将抛物线和线段AB所围成的封闭图形称为“碗形”,记作“碗形ABC”,其中抛物线部分叫“标准线”,记作“标准线ACB”,抛物线的顶点C称为“碗顶”,直角三角形的斜边AB的长度称为“碗宽”,碗顶C到AB的距离称为“碗高”.
素养训练4几何直观、模型观念、运算能力
通过阅读以上材料,完成以下问题.
(1)若碗形ABC的碗宽是20 cm,则碗高是 cm(直接写出结果).
(2)碗形ABC的碗宽为4 cm,点A与坐标原点重合,点B在x轴的正半轴上,点C在x轴下方,求标准线ACB的函数解析式(不需要写出自变量的取值范围).22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第2课时
知识点1 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
1.(2023·兰州中考)已知二次函数y=-3(x-2)2-3,下列说法正确的是(C)
A.对称轴为直线x=-2
B.顶点坐标为(2,3)
C.函数的最大值是-3
D.函数的最小值是-3
2.二次函数y=(x+1)2-2的图象大致是(C)
3.已知二次函数y=(x+m)2+2,当x>2时,y的值随x值的增大而增大,则实数m的取值范围是 m≥-2 .
4.已知二次函数y=-(x+1)2+4.
(1)该函数图象的开口向 ,顶点坐标为 ,对称轴为直线 ,函数图象与x轴的交点坐标为 ,与y轴的交点坐标为 .
【解析】(1)∵a=-1,故抛物线开口向下,顶点坐标为(-1,4),对称轴为直线x=-1,
令y=0,即y=-x2-2x+3=0,解得x=1或-3,故函数图象与x轴的交点坐标为(1,0),(-3,0),令x=0,则y=3,故与y轴的交点坐标为(0,3);
答案:下 (-1,4) x=-1 (1,0),(-3,0) (0,3)
(2)在如图所示的坐标系中画出该二次函数的图象.
【解析】(2)根据抛物线与坐标轴的交点和顶点坐标,描点作出函数图象:
(3)根据图象判断,当y>0时,x的取值范围是 .
【解析】(3)根据图象,当y>0时,x的取值范围是-3答案:-3(4)若点(-4,y1)与(-2,y2)是此二次函数图象上两点,则y1 y2.(填“>”“<”或“=”)
【解析】(4)点(-4,y1)在x轴下方,而点(-2,y2)在x轴上方,故y1答案:<
知识点2 抛物线的平移
5.抛物线y=-2(x-1)2-1可由抛物线y=-2(x+2)2+3平移得到,那么平移的步骤是(A)
A.右移3个单位长度,再下移4个单位长度
B.右移3个单位长度,再上移4个单位长度
C.左移3个单位长度,再下移4个单位长度
D.左移3个单位长度,再上移4个单位长度
6.把抛物线y=3x2向右平移4个单位长度后,得到的抛物线的解析式为 y=3(x-4)2 ;把新得到的抛物线再向下平移3个单位长度后得到的抛物线的解析式为 y=3(x-4)2-3 .
知识点3 利用顶点式y=a(x-h)2+k求二次函数解析式
7.已知顶点为(2,4)的抛物线过点(4,0),此抛物线的解析式是(A)
A.y=-(x-2)2+4 B.y=(x-2)2-4
C.y=(x-2)2+4 D.y=-(x-2)2-4
8.已知一条抛物线的形状与y=x2相同,对称轴是直线x=-1,且与y轴交于点(0,-2),求该抛物线的函数解析式.
【解析】∵抛物线的形状与y=x2相同,对称轴是直线x=-1,
∴设抛物线为y=(x+1)2+k或抛物线为y=-(x+1)2+k,
∵抛物线与y轴交于点(0,-2),
∴-2=(0+1)2+k或-2=-(0+1)2+k,解得k=-或k=-.
∴抛物线的解析式为y=(x+1)2-或y=-(x+1)2-.
9.抛物线y=2(x-1)2+c过(-2,y1),(0,y2),三点,则y1,y2,y3的大小关系是(D)
A.y2>y3>y1 B.y1>y2>y3
C.y2>y1>y3 D.y1>y3>y2
10.二次函数y=a(x-2)2+c与一次函数y=cx+a在同一坐标系中的大致图象是(B)
11.已知二次函数y=a(x-1)2-a(a≠0),当-1≤x≤4时,y的最小值为-4,则a的值为(D)
A.或4 B.-或
C.-或4 D.-或4
12.已知点P(x,y)在二次函数y=2(x+1)2-3的图象上,当-213.在平面直角坐标系中,设二次函数y=-(x-2m)2+3-m(m是实数).
(1)当m=2时,判断函数图象与x轴有几个交点;
【解析】(1)当m=2时,y=-(x-4)2+1,
令y=0,则-(x-4)2+1=0,
解得x=4±,
∴函数图象与x轴有2个交点;
(2)小明说二次函数图象的顶点在直线y=-x+3上,你认为他的说法正确吗 为什么
【解析】(2)小明说法正确,理由如下:
由题意得,顶点坐标是(2m,3-m),
当x=2m时,y=-×2m+3=-m+3,
∴顶点(2m,3-m)在直线y=-x+3上.
故小明说法正确;
(3)已知点P(a+1,c),Q(4m-5+a,c)都在该二次函数图象上,求a的值.
【解析】(3)∵P(a+1,c),Q(4m-5+a,c)都在二次函数的图象上,
∴对称轴是直线x==a+2m-2,
∴a+2m-2=2m,
∴a=2.
14.(易错警示题)已知抛物线L1:y=a(x+1)2-4(a≠0)经过点A(1,0).
(1)求抛物线L1的函数解析式.
【解析】本题考查二次函数的性质、待定系数法、平移变换等知识,通过平移规律得到方程求解.
(1)把A(1,0)代入y=a(x+1)2-4
得:a(1+1)2-4=0,解得a=1,
∴y=(x+1)2-4=x2+2x-3;
(2)将抛物线L1向上平移m(m>0)个单位长度得到抛物线L2.若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上,求m的值.
【解析】(2)抛物线L1:y=(x+1)2-4的顶点为(-1,-4),
将抛物线L1向上平移m(m>0)个单位长度得到抛物线L2,则抛物线L2的顶点为(-1,-4+m),
而(-1,-4+m)关于原点的对称点为(1,4-m),把(1,4-m)代入y=x2+2x-3得:
12+2×1-3=4-m,
解得m=4.
15.(推理能力,几何直观)如图,已知点M(x1,y1),N(x2,y2)在二次函数y=a(x-2)2-1(a>0)的图象上,且x2-x1=3.
(1)若二次函数的图象经过点(3,1).
①求这个二次函数的解析式;
②若y1=y2,求顶点到MN的距离.
【解析】(1)①∵二次函数y=a(x-2)2-1(a>0)经过点(3,1),∴1=a-1,∴a=2,∴二次函数的解析式为y=2(x-2)2-1;
②∵y1=y2,∴M,N关于抛物线的对称轴对称,∵对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2,-1),且x2-x1=3,∴x1=,x2=,
当x=时,y=2(-2)2-1=,
∴当y1=y2时,顶点到MN的距离为+1=;
(2)当x1≤x≤x2时,二次函数的最大值与最小值的差为1,点M,N在对称轴的异侧,求a的取值范围.
【解析】(2)①若M,N在对称轴的异侧,y1≥y2,x1≤x≤x2,x2-x1=3,
∴x2=x1+3>2,∴x1>-1,2-x1≥x2-2,∴x1≤,
∴-1∵函数的最大值为y1=a(x1-2)2-1,最小值为-1,
∴y1-(-1)=1,∴y1=0,
∴a=,∵≤(x1-2)2<9,
∴②若M,N在对称轴的异侧,y1∵x2-2>2-x1,x2=3+x1,
∴x1>,∴∵函数的最大值为y2=a(x2-2)2-1,最小值为-1,
∴y2-(-1)=1,∴y2=0,
∵x2=x1+3,∴a=,
∵<(x1+1)2<9,
∴综上所述,素养提升攻略
趣味探究
如图1,“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动,杯子的叠放方式如图1所示:每层都是杯口朝下排成一行,自下向上逐层递减一个杯子,直至顶层只有一个杯子.爱思考的小丽发现叠放所需杯子的总数y随着第一层(最底层)杯子的个数x的变化而变化.
如图2,小明从“形”的角度出发,将要计算总数的杯子用黑色圆表示,再借助“补”的思想,补充相同数量的白色圆,使每层圆的数量相同,进而求出y与x的关系式.
素养训练3抽象能力、运算能力
通过阅读以上材料,完成以下问题:
(1)写出y与x的关系式,并判断它是什么函数;
【解析】(1)依题意,y=(x+1)x=x2+x,它是二次函数;
(2)现有36个杯子,按图1中的方式叠放,求第一层杯子的个数.
【解析】(2)当y=36时,x2+x=36,
解得x1=8,x2=-9(舍去).
答:第一层杯子的个数为8.
链接生活
抛物线与汽车前灯
把抛物线沿它的对称轴旋转一周,就会形成一个抛物面,如图所示的汽车前灯的反光曲面就是这种“抛物镜面”,它是由过等腰直角三角形(△ABC)顶点的抛物线绕着对称轴旋转一周所形成的,我们将抛物线和线段AB所围成的封闭图形称为“碗形”,记作“碗形ABC”,其中抛物线部分叫“标准线”,记作“标准线ACB”,抛物线的顶点C称为“碗顶”,直角三角形的斜边AB的长度称为“碗宽”,碗顶C到AB的距离称为“碗高”.
素养训练4几何直观、模型观念、运算能力
通过阅读以上材料,完成以下问题.
(1)若碗形ABC的碗宽是20 cm,则碗高是 cm(直接写出结果).
【解析】(1)∵碗形ABC的碗宽是20 cm,∴AB=20(cm),
在Rt△ABC中,AC=10(cm),
设碗高是x cm,则AC2=·AB·x,∴x=10.
答案:10
(2)碗形ABC的碗宽为4 cm,点A与坐标原点重合,点B在x轴的正半轴上,点C在x轴下方,求标准线ACB的函数解析式(不需要写出自变量的取值范围).
【解析】(2)∵碗形ABC的碗宽为4,即AB=4,∴B(4,0),
如图,过点C作CE⊥x轴,
∵在等腰Rt△ABC中,BC=AC=2,设碗高是yc cm,则AC2=AB·yc,∴CE=yc=2,
∵△ABC是等腰三角形,
∴AE=BE=AB=2,∴C(2,-2).
设标准线ACB的函数解析式为y=a(x-2)2-2,
将点B(4,0)代入得,4a-2=0,
解得a=.
∴标准线ACB的函数解析式为y=(x-2)2-2=x2-2x.