22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第1课时
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.已知抛物线的解析式为y=-x2-6x-7,则这条抛物线的顶点坐标是 ( )
A.(2,3) B.(-3,2)
C.(-3,-2) D.(3,-2)
2.下列关于抛物线y=x2+2x-3的说法正确的是
①开口方向向上;
②对称轴是直线x=-2;
③当x<-1时,y随x的增大而减小;
④当x<-1或x>3时,y>0. ( )
A.①③ B.①④
C.①③④ D.①②③④
3.已知二次函数y=x2-2x-3的自变量x1,x2,x3对应的函数值分别为y1,y2,y3.当x1A.y3C.y34.二次函数y=-x2-3x+4的最大值是 .
5.已知二次函数y=2x2-4x-6.
(1)用配方法将y=2x2-4x-6化成y=a(x-h)2+k的形式;
(2)在平面直角坐标系中,画出这个二次函数的图象;
(3)当x取何值时,y随x的增大而减小;
(4)当x取何值时,y=0,y>0,y<0;
(5)当0(6)求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积.
知识点2 抛物线y=ax2+bx+c与系数的对应关系
6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论正确的是 ( )
A.a>0,b>0,c>0 B.a<0,b<0,c>0
C.a<0,b>0,c>0 D.a>0,b<0,c<0
7.已知二次函数y=-x2+(m-4)x+m,当x<-1时,y随x的增大而增大,则实数m的取值范围是 ( )
A.m<-2 B.m≤-2
C.m>2 D.m≥2
8.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则下列结论正确的有 ( )
①abc>0;
②2a+b=0;
③b2<4ac;
④4a+2b+c>0;
⑤a+b≥am2+bm(m为任意实数)
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
9.(名师原创)已知二次函数y=x2-2x-3,当y≥5时,自变量x的取值范围是
.
10.在平面直角坐标系中,设函数y=ax2+(a-1)x-1(a是常数,a≠0),则以下结论正确的是 .(填序号)
①无论a取何值,该函数图象必定经过两个定点.
②如果在-111.已知抛物线y=-x2+2mx-m2+3m+1(m为常数).
(1)当抛物线的顶点在第二象限时,求m的取值范围.
(2)当-2≤x≤1时,y先随x的增大而增大,后随x的增大而减小,且当x=1时y有最小值,求整数m的值.
12.已知抛物线y=ax2-2ax-3+2a2(a≠0).
(1)求这条抛物线的对称轴;
(2)若该抛物线的顶点在x轴上,求其解析式;
(3)设点P(m,y1),Q(3,y2)在抛物线上,若y113.(运算能力、抽象能力、创新意识)已知关于x的函数y1=2kx-2k(k为常数,且k≠0)与函数y2=x2-2x+3,定义y1与y2的“和函数”为y=y1+y2.
(1)若k=3,则y1与y2的“和函数”的解析式为 ;
(2)若y1与y2的“和函数”为y=x2-bx+5,求k,b的值;
(3)若y1与y2的“和函数”的顶点为P(m,n),求n关于m的解析式.22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第1课时
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.已知抛物线的解析式为y=-x2-6x-7,则这条抛物线的顶点坐标是(B)
A.(2,3) B.(-3,2)
C.(-3,-2) D.(3,-2)
2.下列关于抛物线y=x2+2x-3的说法正确的是
①开口方向向上;
②对称轴是直线x=-2;
③当x<-1时,y随x的增大而减小;
④当x<-1或x>3时,y>0.(A)
A.①③ B.①④
C.①③④ D.①②③④
3.已知二次函数y=x2-2x-3的自变量x1,x2,x3对应的函数值分别为y1,y2,y3.当x1A.y3C.y34.二次函数y=-x2-3x+4的最大值是 .
5.已知二次函数y=2x2-4x-6.
(1)用配方法将y=2x2-4x-6化成y=a(x-h)2+k的形式;
【解析】(1)y=2x2-4x-6
=2(x2-2x)-6
=2(x-1)2-8;
(2)在平面直角坐标系中,画出这个二次函数的图象;
【解析】(2)当y=0时,则2(x-1)2-8=0,
解得x1=-1,x2=3,
故图象与x轴交点坐标为:(-1,0),(3,0),
当x=0时,y=-6,
故图象与y轴交点坐标为:(0,-6),
如图所示:
(3)当x取何值时,y随x的增大而减小;
【解析】(3)当x<1时,y随x的增大而减小;
(4)当x取何值时,y=0,y>0,y<0;
【解析】(4)当x=-1或3时,y=0,
当x<-1或x>3时,y>0,
当-1(5)当0【解析】(5)当0x=1时,y=-8,x=4时,y=10,
故y的取值范围是-8≤y<10;
(6)求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积.
【解析】(6)函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积为×4×6=12.
知识点2 抛物线y=ax2+bx+c与系数的对应关系
6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论正确的是(C)
A.a>0,b>0,c>0 B.a<0,b<0,c>0
C.a<0,b>0,c>0 D.a>0,b<0,c<0
7.已知二次函数y=-x2+(m-4)x+m,当x<-1时,y随x的增大而增大,则实数m的取值范围是(D)
A.m<-2 B.m≤-2
C.m>2 D.m≥2
8.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则下列结论正确的有(B)
①abc>0;
②2a+b=0;
③b2<4ac;
④4a+2b+c>0;
⑤a+b≥am2+bm(m为任意实数)
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
9.(名师原创)已知二次函数y=x2-2x-3,当y≥5时,自变量x的取值范围是
x≥4或x≤-2 .
10.在平面直角坐标系中,设函数y=ax2+(a-1)x-1(a是常数,a≠0),则以下结论正确的是 ①② .(填序号)
①无论a取何值,该函数图象必定经过两个定点.
②如果在-111.已知抛物线y=-x2+2mx-m2+3m+1(m为常数).
(1)当抛物线的顶点在第二象限时,求m的取值范围.
【解析】(1)∵y=-x2+2mx-m2+3m+1
=-(x-m)2+3m+1,
∴抛物线y=-x2+2mx-m2+3m+1的顶点坐标为(m,3m+1),
∵抛物线的顶点在第二象限,
∴,解得-(2)当-2≤x≤1时,y先随x的增大而增大,后随x的增大而减小,且当x=1时y有最小值,求整数m的值.
【解析】(2)∵当-2≤x≤1时,y先随x的增大而增大,后随x的增大而减小,且抛物线对称轴x=m,
∴-2当x=-2时,y=-m2-m-3,
当x=1时,y=-m2+5m,
∵当x=1时y有最小值,
∴-m2+5m≤-m2-m-3,
解得m≤-,
∴-2∵m为整数,
∴m=-1.
12.已知抛物线y=ax2-2ax-3+2a2(a≠0).
(1)求这条抛物线的对称轴;
【解析】(1)∵抛物线y=ax2-2ax-3+2a2=a(x-1)2+2a2-a-3(a≠0),
∴抛物线的对称轴为直线x=1;
(2)若该抛物线的顶点在x轴上,求其解析式;
【解析】(2)∵抛物线的顶点在x轴上,
∴2a2-a-3=0,解得a=或a=-1,
∴抛物线的解析式为y=x2-3x+或y=-x2+2x-1;
(3)设点P(m,y1),Q(3,y2)在抛物线上,若y1【解析】(3)∵抛物线的对称轴为直线x=1,则Q(3,y2)关于x=1对称点的坐标为(-1,y2),
∴当a>0,-1当a<0,m<-1或m>3时,y113.(运算能力、抽象能力、创新意识)已知关于x的函数y1=2kx-2k(k为常数,且k≠0)与函数y2=x2-2x+3,定义y1与y2的“和函数”为y=y1+y2.
(1)若k=3,则y1与y2的“和函数”的解析式为 ;
【解析】(1)∵k=3,
∴y1=6x-6,
∵y2=x2-2x+3,
∴y=y1+y2
=6x-6+x2-2x+3
=x2+4x-3,
则y1与y2的“和函数”的解析式为y=x2+4x-3;
答案:y=x2+4x-3
(2)若y1与y2的“和函数”为y=x2-bx+5,求k,b的值;
【解析】(2)∵y1=2kx-2k(k为常数,且k≠0),y2=x2-2x+3,
∴y=y1+y2
=2kx-2k+x2-2x+3
=x2+(2k-2)x+(3-2k),
∵y1与y2的“和函数”为y=x2-bx+5,
∴x2+(2k-2)x+(3-2k)=x2-bx+5,
∴2k-2=-b,3-2k=5,
∴k=-1,b=4;
(3)若y1与y2的“和函数”的顶点为P(m,n),求n关于m的解析式.
【解析】(3)∵y1=2kx-2k(k为常数,且k≠0),y2=x2-2x+3,
∴y=y1+y2
=2kx-2k+x2-2x+3
=x2+(2k-2)x+(3-2k),
∵y1与y2的“和函数”的顶点为P(m,n),
∴m==1-k①,
n==-k2+2②,
由①得,k=1-m③,
把③代入②,得n=-(1-m)2+2,
整理得,n=-m2+2m+1.
