22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第2课时
知识点1 设一般式求二次函数解析式
1.已知二次函数y=ax2+4x+c(a≠0),当x=-2时,函数值是-1;当x=1时,函数值是5.则此二次函数的解析式为(A)
A.y=2x2+4x-1 B.y=x2+4x-2
C.y=-2x2+4x+1 D.y=2x2+4x+1
2.如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+5x+4-a2的图象,那么a的值是(B)
A.2 B.-2 C.- D.±2
3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(-1,-1),B(0,2),C(1,3),则二次函数的解析式为 y=-x2+2x+2 .
4.已知某二次函数图象经过(0,-3),(-3,0),(1,0)三点,求该二次函数的解析式和顶点坐标.
【解析】设二次函数解析式为y=ax2+bx+c,
由(0,-3),(-3,0),(1,0)在其图象上,
得,解得,
∴二次函数的解析式为y=x2+2x-3,
化为顶点式可得y=(x+1)2-4,
∴顶点坐标为(-1,-4).
知识点2 灵活选择设法求二次函数解析式
5.顶点为(-2,1),与y=x2-4x+3的形状、开口方向均相同的抛物线的解析式为 y=(x+2)2+1 .
6.如图,在直角坐标系中,已知直线y=-x+4与y轴交于A点,与x轴交于B点,C点坐标为(-2,0).
(1)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式;
【解析】(1)当x=0时,y=-x+4=4,
则A(0,4),当y=0时,-x+4=0,解得x=8,则B(8,0),设抛物线解析式为y=a(x+2)(x-8),把A(0,4)代入得a×2×(-8)=4,
解得a=-,
∴抛物线解析式为y=-(x+2)(x-8),即y=-x2+x+4.
(2)如果M为抛物线的顶点,连接AM,BM,求四边形AOBM的面积.
【解析】(2)∵y=-(x-3)2+,
∴M,作MD⊥x轴于点D,如图,四边形AOBM的面积=
S梯形AODM+S△BDM=×(4+)×3+×5×=31.
7.已知抛物线y=ax2+bx经过点A(-3,-3),且该抛物线的对称轴经过点A,则该抛物线的解析式为(D)
A.y=-x2-2x B.y=-x2+2x
C.y=x2-2x D.y=x2+2x
8.已知一个二次函数,当x=1时,y有最大值8,其图象的形状、开口方向与抛物线y=-2x2相同,则这个二次函数的解析式是(D)
A.y=-2x2-x+3 B.y=-2x2+4
C.y=-2x2+4x+8 D.y=-2x2+4x+6
9.如图,抛物线C1:y=x2+2x-3与抛物线C2:y=ax2+bx+c组成一个开口向上的“月牙线”,抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A,B(点B在点A右侧),与y轴的交点分别为C,D.如果BD=CD,那么抛物线C2的解析式是 y= .
10.已知函数y=-x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(0,-3),(-6,-3).
(1)求二次函数的解析式和顶点坐标.
【解析】(1)把(0,-3),(-6,-3)代入y=-x2+bx+c,
得b=-6,c=-3.
∴二次函数的解析式为y=-x2-6x-3,
配方得y=-(x+3)2+6,顶点坐标为(-3,6);
(2)当-4≤x≤0时,求y的最大值与最小值之和.
【解析】(2)∵y=-(x+3)2+6,∴二次函数对称轴为直线x=-3,
又∵-4≤x≤0,函数开口向下,
∴当x=-3时,y有最大值为6,
当x=0时,y有最小值为-3,
最大值与最小值之和为6+(-3)=3;
(3)当m≤x≤0时,若y的最大值与最小值之和为2,求m的值.
【解析】(3)①当-3当x=m时,y有最大值为-m2-6m-3,
∴-m2-6m-3+(-3)=2,
∴m=-2或m=-4(舍去).
②当m≤-3时,
当x=-3时,y有最大值为6,
∵y的最大值与最小值之和为2,
∴y的最小值为-4,∴-(m+3)2+6=-4,
∴m=-3-或m=-3+(舍去).
综上所述,m=-2或-3-.
11.(几何直观,运算能力,抽象能力)若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-2,0),B(0,-4),其对称轴为直线x=1,与x轴的另一交点为C.
(1)求二次函数的解析式;
【解析】(1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点B(0,-4),∴c=-4,
∵对称轴为直线x=1,且经过点A(-2,0),
∴,解得,
∴抛物线的解析式为y=x2-x-4;
(2)若点M在直线AB上,且在第四象限,过点M作MN⊥x轴于点N.
①若点N在线段OC上,且MN=3NC,求点M的坐标;
②以MN为对角线作正方形MPNQ(点P在MN右侧),当点P在抛物线上时,求点M的坐标.
【解析】(2)①如图1中,设直线AB的解析式为y=kx+n,
∵A(-2,0),B(0,-4),
∴,解得,
∴直线AB的解析式为y=-2x-4,
∵A,C关于直线x=1对称,∴C(4,0),
设N(m,0),0≤m≤4,∵MN⊥x轴,
∴M(m,-2m-4),∴NC=4-m,
∵MN=3NC,∴2m+4=3(4-m),
∴m=,∴点M(,-);
②如图2中,连接PQ交MN于点E.
设M(t,-2t-4),则点N(t,0),
∵四边形MPNQ是正方形,
∴PQ⊥MN,NE=EP,NE=MN,
∴PQ∥x轴,
∴E(t,-t-2),∴NE=t+2,
∴ON+EP=ON+NE=t+t+2=2t+2,
∴P(2t+2,-t-2),
∵点P在抛物线y=x2-x-4上,
∴(2t+2)2-(2t+2)-4=-t-2,
解得t1=,t2=-2,∵点P在第四象限,
∴t=,∴点M坐标为(,-5).22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第2课时
知识点1 设一般式求二次函数解析式
1.已知二次函数y=ax2+4x+c(a≠0),当x=-2时,函数值是-1;当x=1时,函数值是5.则此二次函数的解析式为 ( )
A.y=2x2+4x-1 B.y=x2+4x-2
C.y=-2x2+4x+1 D.y=2x2+4x+1
2.如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+5x+4-a2的图象,那么a的值是 ( )
A.2 B.-2 C.- D.±2
3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(-1,-1),B(0,2),C(1,3),则二次函数的解析式为 .
4.已知某二次函数图象经过(0,-3),(-3,0),(1,0)三点,求该二次函数的解析式和顶点坐标.
知识点2 灵活选择设法求二次函数解析式
5.顶点为(-2,1),与y=x2-4x+3的形状、开口方向均相同的抛物线的解析式为 .
6.如图,在直角坐标系中,已知直线y=-x+4与y轴交于A点,与x轴交于B点,C点坐标为(-2,0).
(1)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式;
(2)如果M为抛物线的顶点,连接AM,BM,求四边形AOBM的面积.
7.已知抛物线y=ax2+bx经过点A(-3,-3),且该抛物线的对称轴经过点A,则该抛物线的解析式为 ( )
A.y=-x2-2x B.y=-x2+2x
C.y=x2-2x D.y=x2+2x
8.已知一个二次函数,当x=1时,y有最大值8,其图象的形状、开口方向与抛物线y=-2x2相同,则这个二次函数的解析式是 ( )
A.y=-2x2-x+3 B.y=-2x2+4
C.y=-2x2+4x+8 D.y=-2x2+4x+6
9.如图,抛物线C1:y=x2+2x-3与抛物线C2:y=ax2+bx+c组成一个开口向上的“月牙线”,抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A,B(点B在点A右侧),与y轴的交点分别为C,D.如果BD=CD,那么抛物线C2的解析式是 .
10.已知函数y=-x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(0,-3),(-6,-3).
(1)求二次函数的解析式和顶点坐标.
(2)当-4≤x≤0时,求y的最大值与最小值之和.
(3)当m≤x≤0时,若y的最大值与最小值之和为2,求m的值.
11.(几何直观,运算能力,抽象能力)若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-2,0),B(0,-4),其对称轴为直线x=1,与x轴的另一交点为C.
(1)求二次函数的解析式;
(2)若点M在直线AB上,且在第四象限,过点M作MN⊥x轴于点N.
①若点N在线段OC上,且MN=3NC,求点M的坐标;
②以MN为对角线作正方形MPNQ(点P在MN右侧),当点P在抛物线上时,求点M的坐标.
