22.2 二次函数与一元二次方程
知识点1 二次函数与一元二次方程
1.二次函数y=-x2+2kx+3的图象与x轴的交点个数为 ( )
A.0 B.1
C.2 D.以上都不对
2.若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1,0),(2,0),则关于x的方程ax2+bx+c=0的解为 ( )
A.x1=-1,x2=2 B.x1=-2,x2=1
C.x1=1,x2=2 D.x1=-1,x2=-2
3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,当y<0时,自变量x的取值范围是 ( )
A.x<-3 B.x>1
C.x<-3或x>1 D.-3
4.若对称轴为直线x=-2的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(1,0),则一元二次方程ax2+bx+c=0的根是 .
5.若抛物线y=x2+6x-m与x轴有公共点,则m的取值范围为 .
知识点2 图象法求一元二次方程的近似值
6.下表列出了函数y=ax2+bx+c(a≠0)中自变量x与函数y的部分对应值.根据表中数据,判断一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解在哪两个相邻的整数之间 ( )
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 1 2 1 -2 -7 …
A.1与2之间 B.-2与-1之间
C.-1与0之间 D.0与1之间
7.根据抛物线y=x2+3x-1与x轴的交点坐标,可以求出下列方程中哪个方程的近似解 ( )
A.x2+3x-1=0 B.x2+3x+1=0
C.3x2+x-1=0 D.x2-3x+1=0
8.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,是常数,且a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如表:
x … -1 0 1 2 …
y … m 2 2 n …
且当x=时,对应的函数值y<0,有以下结论:①abc>0;②当x≤0时,y随x的增大而增大;③关于x的方程ax2+bx+c=0有异号两实根,而且负实数根在-和0之间;④3m-n<-.其中正确的结论是 ( )
A.②③ B.③④
C.②③④ D.①②③④
9.(名师原创)如图,抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)与直线y2=kx+m的交点为A(1,-3),B(6,1).当y1>y2时,x的取值范围是 ( )
A.1C.x<-3或x>1 D.x<1或x>6
10.已知函数y=-x2+bx+c的部分图象如图所示,则不等式x2-bx-c>0的解集是 ( )
A.-4C.-31
11.抛物线y=-x2+bx+c与x轴相交于(m,0),(n,0)两点(mA.m+n=p+q,n-mB.m+n=p+q,n-m>q-p
C.m+nD.m+nq-p
12.若二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(2,0),且其对称轴为x=-1,则使函数值y>0成立的x的取值范围是 .
13.如图,抛物线y1的顶点坐标为(1,4),与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B.直线AB的解析式为y2=kx+b(k≠0).
(1)求抛物线y1的解析式为 ;
(2)当y1>y2时,x的取值范围是 ;
(3)当x的取值范围是 时,y1和y2都随着x的增大而减小;
(4)当0≤x≤3时,y1的取值范围是 ;
(5)当y1>0时,x的取值范围是 .
14.如图,一名学生推铅球,铅球行进高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的关系是y=-(x-10)(x+4),则铅球推出的距离OA= m.
15.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点D是抛物线上的一点,且与点C关于抛物线的对称轴对称,直线y=kx+m(k≠0)经过B,D两点,求直线BD的函数解析式;
(3)根据图象直接写出不等式组kx+m≥ax2+bx+c>0的解集.
16.(运算能力、推理能力)已知关于x的一元二次方程x2+(k-5)x+1-k=0,其中k为常数.
(1)求证:无论k为何值,方程总有两个不相等实数根;
(2)已知函数y=x2+(k-5)x+1-k的图象不经过第三象限,求k的取值范围;
(3)若原方程的一个根大于3,另一个根小于3,求k的最大整数值.
素养提升攻略
涨知识了
镜面函数
新定义:在平面直角坐标系中,有一条直线x=m,对于任意一个函数,作该函数自变量大于m的部分关于直线x=m的轴对称图形,与原函数中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新的函数图象,则这个新函数叫做原函数关于直线x=m的“镜面函数”.例如,图①是函数y=x+1的图象,则它关于直线x=0的“镜面函数”的图象如图②所示,且它的“镜面函数”的解析式为y=,也可以写成y=|x|+1.
素养训练5几何直观、运算能力、创新意识
通过阅读以上材料,完成以下问题.
(1)在图中画出函数y=-2x+1关于直线x=1的“镜面函数”的图象.
(2)函数y=x2-2x+2关于直线x=-1的“镜面函数”与直线y=-x+m有三个公共点,求m的值.
(3)已知抛物线y=ax2-4ax+2(a<0),关于直线x=0的“镜面函数”图象上的两点P(x1,y1),Q(x2,y2),当t-1≤x1≤t+1,x2≥4时,均满足y1≥y2,直接写出t的取值范围为 .
开放探索
知识背景
初中阶段的函数学习中,我们学习函数的过程总是“确定函数的解析式——画函数图象——利用函数图象研究其性质——运用函数图象解决问题”,运用这一过程可以完成对一些未知函数图象和性质的探究.
素养训练6抽象能力、几何直观
某班数学兴趣小组对函数y=|x2-2x|的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整.
(1)自变量x的取值范围取自全体实数,x与y的几组对应值列表如下,其中m= .
x …… -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 ……
y …… 3 m 0 0.75 1 0.75 0 1.25 3 ……
(2)根据上表数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分.
(3)观察函数图象,写出函数的一条性质 .
(4)进一步探究函数图象解决问题.
①方程|x2-2x|=有 个实数根;
②在第(2)问的平面直角坐标系中画出直线y=-x+1,根据图象写出方程|x2-2x|=-x+1的一个正数根约为 .(精确到0.1) 22.2 二次函数与一元二次方程
知识点1 二次函数与一元二次方程
1.二次函数y=-x2+2kx+3的图象与x轴的交点个数为(C)
A.0 B.1
C.2 D.以上都不对
2.若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1,0),(2,0),则关于x的方程ax2+bx+c=0的解为(A)
A.x1=-1,x2=2 B.x1=-2,x2=1
C.x1=1,x2=2 D.x1=-1,x2=-2
3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,当y<0时,自变量x的取值范围是(D)
A.x<-3 B.x>1
C.x<-3或x>1 D.-34.若对称轴为直线x=-2的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(1,0),则一元二次方程ax2+bx+c=0的根是 x1=-5,x2=1 .
5.若抛物线y=x2+6x-m与x轴有公共点,则m的取值范围为 m≥-9 .
知识点2 图象法求一元二次方程的近似值
6.下表列出了函数y=ax2+bx+c(a≠0)中自变量x与函数y的部分对应值.根据表中数据,判断一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解在哪两个相邻的整数之间(D)
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 1 2 1 -2 -7 …
A.1与2之间 B.-2与-1之间
C.-1与0之间 D.0与1之间
7.根据抛物线y=x2+3x-1与x轴的交点坐标,可以求出下列方程中哪个方程的近似解(A)
A.x2+3x-1=0 B.x2+3x+1=0
C.3x2+x-1=0 D.x2-3x+1=0
8.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,是常数,且a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如表:
x … -1 0 1 2 …
y … m 2 2 n …
且当x=时,对应的函数值y<0,有以下结论:①abc>0;②当x≤0时,y随x的增大而增大;③关于x的方程ax2+bx+c=0有异号两实根,而且负实数根在-和0之间;④3m-n<-.其中正确的结论是(C)
A.②③ B.③④
C.②③④ D.①②③④
9.(名师原创)如图,抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)与直线y2=kx+m的交点为A(1,-3),B(6,1).当y1>y2时,x的取值范围是(D)
A.1C.x<-3或x>1 D.x<1或x>6
10.已知函数y=-x2+bx+c的部分图象如图所示,则不等式x2-bx-c>0的解集是(D)
A.-4C.-31
11.抛物线y=-x2+bx+c与x轴相交于(m,0),(n,0)两点(mA.m+n=p+q,n-mB.m+n=p+q,n-m>q-p
C.m+nD.m+nq-p
12.若二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(2,0),且其对称轴为x=-1,则使函数值y>0成立的x的取值范围是 -413.如图,抛物线y1的顶点坐标为(1,4),与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B.直线AB的解析式为y2=kx+b(k≠0).
(1)求抛物线y1的解析式为 y1=-(x-1)2+4 ;
(2)当y1>y2时,x的取值范围是 0(3)当x的取值范围是 x>1 时,y1和y2都随着x的增大而减小;
(4)当0≤x≤3时,y1的取值范围是 0 ≤y1 ≤4 ;
(5)当y1>0时,x的取值范围是-114.如图,一名学生推铅球,铅球行进高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的关系是y=-(x-10)(x+4),则铅球推出的距离OA= 10 m.
15.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
【解析】(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(-3,0),B(1,0),C(0,3)三点,
∴,解得,
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3;
(2)点D是抛物线上的一点,且与点C关于抛物线的对称轴对称,直线y=kx+m(k≠0)经过B,D两点,求直线BD的函数解析式;
【解析】(2)抛物线的对称轴为直线x=-1,
∵点D是抛物线上的一点,且与点C关于抛物线的对称轴对称,∴D(-2,3),
∵直线y=kx+m(k≠0)经过B,D两点,
∴,解得,
∴直线BD的函数解析式为y=-x+1;
(3)根据图象直接写出不等式组kx+m≥ax2+bx+c>0的解集.
【解析】(3)根据题中函数图象可知,当直线BD不在抛物线下方,且抛物线在x轴上方时,-3∴不等式组kx+m≥ax2+bx+c>0的解集为:-316.(运算能力、推理能力)已知关于x的一元二次方程x2+(k-5)x+1-k=0,其中k为常数.
(1)求证:无论k为何值,方程总有两个不相等实数根;
【解析】(1)∵Δ=(k-5)2-4(1-k)=k2-6k+21=(k-3)2+12>0,
∴无论k为何值,方程总有两个不相等实数根;
(2)已知函数y=x2+(k-5)x+1-k的图象不经过第三象限,求k的取值范围;
【解析】(2)∵二次函数y=x2+(k-5)x+1-k的图象不经过第三象限,二次项系数a=1,
∴抛物线开口方向向上,
∵Δ=(k-3)2+12>0,
∴抛物线与x轴有两个交点,
设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1,x2,
∴x1+x2=5-k>0,x1·x2=1-k≥0,
解得k≤1,
即k的取值范围是k≤1;
(3)若原方程的一个根大于3,另一个根小于3,求k的最大整数值.
【解析】(3)设方程的两个根分别是x1,x2,
根据题意得(x1-3)(x2-3)<0,
即x1·x2-3(x1+x2)+9<0,
又x1+x2=5-k,x1·x2=1-k,
代入得,1-k-3(5-k)+9<0,
解得k<.
则k的最大整数值为2.
素养提升攻略
涨知识了
镜面函数
新定义:在平面直角坐标系中,有一条直线x=m,对于任意一个函数,作该函数自变量大于m的部分关于直线x=m的轴对称图形,与原函数中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新的函数图象,则这个新函数叫做原函数关于直线x=m的“镜面函数”.例如,图①是函数y=x+1的图象,则它关于直线x=0的“镜面函数”的图象如图②所示,且它的“镜面函数”的解析式为y=,也可以写成y=|x|+1.
素养训练5几何直观、运算能力、创新意识
通过阅读以上材料,完成以下问题.
(1)在图中画出函数y=-2x+1关于直线x=1的“镜面函数”的图象.
【解析】(1)如图,即为函数y=-2x+1关于直线x=1的“镜面函数”的图象,
(2)函数y=x2-2x+2关于直线x=-1的“镜面函数”与直线y=-x+m有三个公共点,求m的值.
【解析】(2)如图1,对于y=x2-2x+2,当x=-1时,y=5,当直线y=-x+m经过点(-1,5)时,m=4,
此时y=x2-2x+2关于直线x=-1的“镜面函数”与直线y=-x+m有三个公共点,当直线y=-x+m与原抛物线只有一个交点时,则有-x+m=x2-2x+2,
整理得,x2-x+2-m=0,
此时,Δ=(-1)2-4(2-m)=0,
解得m=,综上,m的值为4或.
(3)已知抛物线y=ax2-4ax+2(a<0),关于直线x=0的“镜面函数”图象上的两点P(x1,y1),Q(x2,y2),当t-1≤x1≤t+1,x2≥4时,均满足y1≥y2,直接写出t的取值范围为 .
【解析】(3)根据题意可知,该抛物线的“镜面函数”为:y=,
函数图象如图所示:
当x2=4时,如图2,点Q关于直线x=2的对称点为Q'(0,y2),关于x=0的对称点为Q″(-4,y2),
若当t-1≤x1≤t+1,x2≥4时,均满足y1≥y2,则需满足,
解得-3≤t≤3.
答案:-3≤t≤3
开放探索
知识背景
初中阶段的函数学习中,我们学习函数的过程总是“确定函数的解析式——画函数图象——利用函数图象研究其性质——运用函数图象解决问题”,运用这一过程可以完成对一些未知函数图象和性质的探究.
素养训练6抽象能力、几何直观
某班数学兴趣小组对函数y=|x2-2x|的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整.
(1)自变量x的取值范围取自全体实数,x与y的几组对应值列表如下,其中m= .
x …… -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 ……
y …… 3 m 0 0.75 1 0.75 0 1.25 3 ……
【解析】(1)把x=-0.5代入y=|x2-2x|,得y=|0.52-2×(-0.5)|=1.25,即m=1.25.
答案:1.25
(2)根据上表数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分.
【解析】(2)如图所示,
(3)观察函数图象,写出函数的一条性质 .
答案:当x>2时,y随x的增大而增大
(4)进一步探究函数图象解决问题.
①方程|x2-2x|=有 个实数根;
②在第(2)问的平面直角坐标系中画出直线y=-x+1,根据图象写出方程|x2-2x|=-x+1的一个正数根约为 .(精确到0.1)
【解析】(4)①由函数图象知,函数图象与y=有4个交点,所以对应的方程|x2-2x|=有4个实数根.
答案:4
②如图,
由图象和题表可知方程|x2-2x|=-x+1的一个正数根约为0.4.
答案:0.4