22.3 实际问题与二次函数
第1课时
知识点1 图形面积与二次函数
1.用一根长60 cm的铁丝围成一个矩形,那么矩形的面积y( cm2)与它的一边长x(cm)之间的函数解析式为(C)
A.y=x2-30x(0B.y=-x2+30x(0≤x<30)
C.y=-x2+30x(0D.y=-x2+30x(02.已知一个直角三角形的两直角边之和是20 cm,则这个直角三角形面积的最大值是(B)
A.25 cm2 B.50 cm2 C.75 cm2 D.不确定
3.(名师原创)在一个边长为2的正方形中挖去一个小正方形,使小正方形四周剩下部分的宽度均为x,若剩下的面积为y,那么y关于x的函数解析式是 y=-4x2+8x .
4.某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两墙边足够长),用20 m长的篱笆围成一个矩形花园(篱笆只围AB,BC两边),设AB=x m,花园的面积为y m2.
(1)求y关于x的函数解析式;
【解析】(1)由题意得:AD=20-x,
则y=AD·AB=x(20-x)=-x2+20x(0(2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是12 m和6 m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积y的最大值.
【解析】(2)∵在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是12 m和6 m,
∴∴6≤x≤8.
∵y=-x2+20x=-(x-10)2+100.
∴当x=8时,y最大=-(8-10)2+100=96(m2).
答:花园面积的最大值是96 m2.
知识点2 商品利润与二次函数
5.某商店销售一种练习本所获得的总利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数解析式为y=-2(x-2)2+48,则下列叙述正确的是(A)
A.当x=2时,利润有最大值48元
B.当x=-2时,利润有最大值48元
C.当x=2时,利润有最小值48元
D.当x=-2时,利润有最小值48元
6.超市销售的某商品进价为10元/件.在销售过程中发现,该商品每天的销售量y(件)与售价x(元/件)之间满足函数关系式y=-5x+150(10≤x≤30),则利润w和售价x之间的函数关系式为 w=-5x2+200x-1 500(10≤x≤30) ,该商品售价定为 20 元/件时,每天销售该商品获利最大.
7.某商场销售A,B两种商品,每件进价均为20元.调查发现,如果售出A种20件,B种10件,销售总额为840元;如果售出A种10件,B种15件,销售总额为660元.
(1)求A,B两种商品的销售单价;
【解析】(1)设A种商品的销售单价为a元,B种商品的销售单价为b元,
由题意可得,解得.
答:A种商品的销售单价为30元,B种商品的销售单价为24元;
(2)经市场调研,A种商品按原售价销售,可售出40件,原售价每降价1元,销售量可增加10件;B种商品的售价不变,A种商品售价不低于B种商品售价.设A种商品降价m元,如果A,B两种商品销售量相同,求m取何值时,商场销售A,B两种商品可获得总利润最大 最大利润是多少
【解析】(2)设利润为w元,
由题意可得w=(30-m-20)(40+10m)+(24-20)(40+10m)=-10(m-5)2+810,
∵A种商品售价不低于B种商品售价,
∴30-m≥24,解得m≤6,
∴当m=5时,w取得最大值,此时w=810.
答:m取5时,商场销售A,B两种商品可获得总利润最大,最大利润是810元.
8.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10 cm,BC=8 cm,点P从点A沿AC向点C以1 cm/s的速度运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止),在运动过程中,四边形PABQ的面积的最小值为(D)
A.19 cm2 B.16 cm2 C.12 cm2 D.15 cm2
9.如图,在矩形ABCD中,AB=10,BC=5,点P从点A出发,沿线段AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动;点Q从点B出发,沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动.P,Q两点同时出发,设点P运动的时间为t(单位:秒),△APQ的面积为y.则y关于t的函数解析式为 y=-t2+5t(0≤t≤5) .
10.农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售,为了得到日销售量p(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系,经过市场调查获得部分数据如表:
销售价格x(元/千克) 30 35 40 45 50
日销售量p(千克) 600 450 300 150 0
(1)请你根据表中的数据,用所学过的一次函数、二次函数的知识确定p与x之间的函数解析式;
【解析】本题考查二次函数的应用,化为顶点式求最值.
(1)假设p与x成一次函数关系,设函数关系式为p=kx+b,
则,
解得k=-30,b=1 500,∴p=-30x+1 500,
检验:当x=35时,p=450;
当x=45时,p=150;
当x=50时,p=0,符合一次函数解析式,
∴所求的函数解析式为p=-30x+1 500;
(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格,才能使日销售利润最大
【解析】(2)设日销售利润w=p(x-30)=(-30x+1 500)(x-30).
即w=-30x2+2 400x-45 000=-30(x-40)2+3 000,
∵-30<0,
∴当x=40时,w有最大值,最大值为3 000,
故这批农产品的销售价格定为40元,才能使日销售利润最大.
11.(几何直观、抽象能力、运算能力)如图,在矩形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,
AD=BC=10 cm,AB=4 cm,动点P从点B出发,以每秒1 cm的速度沿B→A→D的方向,向终点D运动;动点Q从点B出发以每秒1 cm的速度沿B→C的方向向终点C运动.以PQ为边向右上方作正方形PQMN,其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动,设点P,Q同时出发,运动时间为t秒(t>0).
(1)当0(2)当点N落在AD边上时,求t的值;
(3)当正方形PQMN与长方形ABCD的重叠部分为四边形时,求重叠部分的面积S(用含t的代数式表示);
(4)请直接写出当t满足什么条件时,正方形PQMN与长方形ABCD的重叠部分为三角形.
【解析】(1)AP=AB-BP=4-t(0答案:(4-t)
(2)如图1,∵BP=t,BQ=t,AB=4,
∴AP=4-t,
∵四边形PQMN是正方形,
∴∠NPQ=90°,
∴∠APN+∠BPQ=90°,
∵∠APN+∠ANP=90°,∴∠BPQ=∠ANP,
∵PN=PQ,
∴△APN≌△BQP(AAS),∴AP=BQ,∴4-t=t,∴t=2;
(3)由(2)知,0∴0∴S=PQ2==2t2;
如图2,当P点运动到A点处,t=4,此时正方形PQMN与长方形ABCD的重叠部分为三角形,
如图3,当M点运动到D点处时,
∵CQ=10-t,2CQ=PM,PM=14-t,
∴2(10-t)=14-t,解得t=6,
∴当t=6时,正方形PQMN与长方形ABCD的重叠部分为三角形,∴4≤t≤6时,正方形PQMN与长方形ABCD的重叠部分为三角形;
如图4,当Q点运动到C点时,t=10,此时正方形PQMN与长方形ABCD的重叠部分为三角形;
∴6如图5,S=S矩形ABCD-S梯形ABQP-S△CQG
=4×10-×(t-4+t)×4-×(10-t)2
=-t2+6t-2;
综上所述:当0(4)由(3)可知当4≤t≤6时,正方形PQMN与长方形ABCD的重叠部分为三角形;
当t=10时,正方形PQMN与长方形ABCD的重叠部分为三角形;
综上所述:当4≤t≤6或t=10时,正方形PQMN与长方形ABCD的重叠部分为三角形.22.3 实际问题与二次函数
第1课时
知识点1 图形面积与二次函数
1.用一根长60 cm的铁丝围成一个矩形,那么矩形的面积y( cm2)与它的一边长x(cm)之间的函数解析式为 ( )
A.y=x2-30x(0B.y=-x2+30x(0≤x<30)
C.y=-x2+30x(0D.y=-x2+30x(02.已知一个直角三角形的两直角边之和是20 cm,则这个直角三角形面积的最大值是 ( )
A.25 cm2 B.50 cm2 C.75 cm2 D.不确定
3.(名师原创)在一个边长为2的正方形中挖去一个小正方形,使小正方形四周剩下部分的宽度均为x,若剩下的面积为y,那么y关于x的函数解析式是 .
4.某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两墙边足够长),用20 m长的篱笆围成一个矩形花园(篱笆只围AB,BC两边),设AB=x m,花园的面积为y m2.
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是12 m和6 m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积y的最大值.
知识点2 商品利润与二次函数
5.某商店销售一种练习本所获得的总利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数解析式为y=-2(x-2)2+48,则下列叙述正确的是 ( )
A.当x=2时,利润有最大值48元
B.当x=-2时,利润有最大值48元
C.当x=2时,利润有最小值48元
D.当x=-2时,利润有最小值48元
6.超市销售的某商品进价为10元/件.在销售过程中发现,该商品每天的销售量y(件)与售价x(元/件)之间满足函数关系式y=-5x+150(10≤x≤30),则利润w和售价x之间的函数关系式为 ,该商品售价定为 元/件时,每天销售该商品获利最大.
7.某商场销售A,B两种商品,每件进价均为20元.调查发现,如果售出A种20件,B种10件,销售总额为840元;如果售出A种10件,B种15件,销售总额为660元.
(1)求A,B两种商品的销售单价;
(2)经市场调研,A种商品按原售价销售,可售出40件,原售价每降价1元,销售量可增加10件;B种商品的售价不变,A种商品售价不低于B种商品售价.设A种商品降价m元,如果A,B两种商品销售量相同,求m取何值时,商场销售A,B两种商品可获得总利润最大 最大利润是多少
8.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10 cm,BC=8 cm,点P从点A沿AC向点C以1 cm/s的速度运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止),在运动过程中,四边形PABQ的面积的最小值为 ( )
A.19 cm2 B.16 cm2 C.12 cm2 D.15 cm2
9.如图,在矩形ABCD中,AB=10,BC=5,点P从点A出发,沿线段AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动;点Q从点B出发,沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动.P,Q两点同时出发,设点P运动的时间为t(单位:秒),△APQ的面积为y.则y关于t的函数解析式为 .
10.农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售,为了得到日销售量p(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系,经过市场调查获得部分数据如表:
销售价格x(元/千克) 30 35 40 45 50
日销售量p(千克) 600 450 300 150 0
(1)请你根据表中的数据,用所学过的一次函数、二次函数的知识确定p与x之间的函数解析式;
(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格,才能使日销售利润最大
11.(几何直观、抽象能力、运算能力)如图,在矩形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,
AD=BC=10 cm,AB=4 cm,动点P从点B出发,以每秒1 cm的速度沿B→A→D的方向,向终点D运动;动点Q从点B出发以每秒1 cm的速度沿B→C的方向向终点C运动.以PQ为边向右上方作正方形PQMN,其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动,设点P,Q同时出发,运动时间为t秒(t>0).
(1)当0(2)当点N落在AD边上时,求t的值;
(3)当正方形PQMN与长方形ABCD的重叠部分为四边形时,求重叠部分的面积S(用含t的代数式表示);
(4)请直接写出当t满足什么条件时,正方形PQMN与长方形ABCD的重叠部分为三角形.
