22.3 实际问题与二次函数
第2课时
知识点1 抛物线形建筑问题
1.如图,一抛物线形拱桥,当拱顶到水面的距离为2米时,水面宽度为4米;那么当水位上升1米后,水面的宽度为 米.
知识点2 抛物线形运动轨迹问题
2.如图,铅球的出手点C距地面1米,出手后的运动路线是抛物线,出手后4秒钟达到最大高度3米,则铅球运行路线的解析式为 ( )
A.h=-t2 B.h=-t2+t
C.h=-t2+t+1 D.h=-t2+2t+1
3.在某次羽毛球比赛中,某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=-x2+x+1的一部分(如图),其中出球点B离地面O点的距离是1米,球落地点A到O点的距离是 ( )
A.1米 B.3米 C.4米 D.米
4.从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的关系式是:h=30t-5t2,这个函数图象如图所示,则小球从第3 s到第5 s的垂直运动路径长为 ( )
A.15 m B.20 m C.25 m D.30 m
5.如图,以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时,小球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系:h=-5t2+20t,则当小球飞行高度达到最高时,飞行时间t= s,最高h= m.
6.如图,水池中心点O处竖直安装一水管,水管喷头喷出抛物线形水柱,喷头上下移动时,抛物线形水柱随之竖直上下平移,水柱落点与点O在同一水平面.安装师傅调试发现,喷头高2.5 m时,水柱落点距O点2.5 m;喷头高4 m时,水柱落点距O点3 m.那么喷头高 m时,水柱落点距O点4 m.
7.物理课上我们学习了物体的竖直上抛运动,若从地面竖直向上抛一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动的时间t(单位:s)之间的函数关系如图所示,下列结论:
①小球在空中经过的路程是40 m;
②h与t之间的函数关系式为h=(t-3)2+40;
③小球的运动时间为6 s;
④小球的高度h=20 m时,t=1.5 s.其中正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.某课外科技活动小组研制了一种航模飞机,通过试验,收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x(单位:m)、飞行高度y(单位:m)随飞行时间t(单位:s)变化的数据如表.
飞行时间t/s 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离x/m 0 10 20 30 40 …
飞行高度y/m 0 22 40 54 64 …
探究发现 x与t,y与t之间的数量关系可以用我们已经学过的函数来描述.直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围).
问题解决 如图,活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机.根据上面的探究发现解决下列问题.
(1)若发射平台相对于安全线的高度为0 m,求飞机落到安全线时飞行的水平距离;
(2)在安全线上设置回收区域MN,AM=125 m,MN=5 m.若飞机落到MN内(不包括端点M,N),求发射平台相对于安全线的高度的变化范围.
9.(应用意识、抽象能力、运算能力)如图①,灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶,为绿化带浇水.喷水口H离地竖直高度为h(单位:m),如图②,可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象,把绿化带横截面抽象为矩形DEFG,其水平宽度DE=3 m,竖直高度为EF的长.下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的,上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2 m,高出喷水口0.5 m,灌溉车到l的距离OD为d(单位:m).若当h=
1.5 m,EF=0.5 m时,解答下列问题.
(1)求上边缘抛物线的函数解析式,并求喷出水的最大射程OC;
(2)求出上、下边缘两个抛物线高度差的最大值;
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,直接写出d的取值范围.
素养提升攻略
链接生活
弹道导弹的飞行轨迹
知识链接:弹道导弹飞行轨迹可以分为三个阶段.第一阶段:导弹点火后,垂直向上飞行阶段,此阶段飞行时间3至5分钟不等;第二阶段:导弹进入安全预定高度,以抛物线路线飞行阶段(最高点称为轨道的远地点);第三阶段:发动机熄火后,导弹箭头与弹体分离,以惯性飞向目标阶段.
素养训练7应用意识、运算能力
某洲际导弹发射后,计算机隔一段时间(单位:分)对导弹离地高度(单位:千米)进行数据采集,对这些数据进行列表统计后得到如下表格:
时间x 0 1 3 4 5 9 12 14 15 16 25 …
离地高度y 0 24 218 386 600 984 1 146 1 194 1 200 1 194 600 …
已知导弹在第n分钟(n为整数)开始进入飞行第二阶段,在下落过程中距离地面120千米时进入第三阶段.
(1)该导弹在发射时间x= 分达到轨道的远地点,此时距离地面的高度是 千米.
(2)求出第二阶段曲线的解析式,并求出n的值.
(3)求导弹发射多少时间后发动机熄火.(结果保留根号)
链接生活
如何确定隧道中警示灯带的安装方案
素材1:2022年9月底,温州市府东路过江通道工程正式开工,建成后将成为温州瓯江第一条超大直径江底行车隧道.假设隧道顶部横截面可视为抛物线,如图1,隧道底部宽AB为10 m,高OC为5 m.
素材2:货车司机长时间在隧道内行车容易疲劳驾驶,为了安全,拟在隧道顶部安装上下长度为20 cm的警示灯带,沿抛物线安装(如图2).为了实效,相邻两条灯带的水平间距均为0.8 m(灯带宽度可忽略);普通货车的高度大约为2.5 m(载货后高度),货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于50 cm.灯带安装好后成轴对称分布.
素养训练8应用意识、模型观念、创新意识
任务1:确定隧道形状,在图1中建立合适的直角坐标系,求抛物线的函数解析式.
任务2:探究安装范围,在建立的坐标系中,在安全的前提下,确定灯带安装点的横、纵坐标的取值范围.
任务3:拟定设计方案求出同一个横截面下,最多能安装几条灯带,并根据所建立的坐标系,求出最右边一条灯带安装点的横坐标.22.3 实际问题与二次函数
第2课时
知识点1 抛物线形建筑问题
1.如图,一抛物线形拱桥,当拱顶到水面的距离为2米时,水面宽度为4米;那么当水位上升1米后,水面的宽度为 2 米.
知识点2 抛物线形运动轨迹问题
2.如图,铅球的出手点C距地面1米,出手后的运动路线是抛物线,出手后4秒钟达到最大高度3米,则铅球运行路线的解析式为(C)
A.h=-t2 B.h=-t2+t
C.h=-t2+t+1 D.h=-t2+2t+1
3.在某次羽毛球比赛中,某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=-x2+x+1的一部分(如图),其中出球点B离地面O点的距离是1米,球落地点A到O点的距离是(C)
A.1米 B.3米 C.4米 D.米
4.从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的关系式是:h=30t-5t2,这个函数图象如图所示,则小球从第3 s到第5 s的垂直运动路径长为(B)
A.15 m B.20 m C.25 m D.30 m
5.如图,以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时,小球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系:h=-5t2+20t,则当小球飞行高度达到最高时,飞行时间t= 2 s,最高h= 20 m.
6.如图,水池中心点O处竖直安装一水管,水管喷头喷出抛物线形水柱,喷头上下移动时,抛物线形水柱随之竖直上下平移,水柱落点与点O在同一水平面.安装师傅调试发现,喷头高2.5 m时,水柱落点距O点2.5 m;喷头高4 m时,水柱落点距O点3 m.那么喷头高 8 m时,水柱落点距O点4 m.
7.物理课上我们学习了物体的竖直上抛运动,若从地面竖直向上抛一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动的时间t(单位:s)之间的函数关系如图所示,下列结论:
①小球在空中经过的路程是40 m;
②h与t之间的函数关系式为h=(t-3)2+40;
③小球的运动时间为6 s;
④小球的高度h=20 m时,t=1.5 s.其中正确的有(A)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.某课外科技活动小组研制了一种航模飞机,通过试验,收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x(单位:m)、飞行高度y(单位:m)随飞行时间t(单位:s)变化的数据如表.
飞行时间t/s 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离x/m 0 10 20 30 40 …
飞行高度y/m 0 22 40 54 64 …
探究发现 x与t,y与t之间的数量关系可以用我们已经学过的函数来描述.直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围).
问题解决 如图,活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机.根据上面的探究发现解决下列问题.
(1)若发射平台相对于安全线的高度为0 m,求飞机落到安全线时飞行的水平距离;
【解析】探究发现:x与t是一次函数关系,y与t是二次函数关系,
设x=kt(k≠0),y=at2+bt(a≠0),
由题意得10=2k,,解得k=5,,∴x=5t,y=-t2+12t,
问题解决:(1)依题意,得-t2+12t=0,
解得t1=0(舍),t2=24,
当t=24时,x=120.
答:飞机落到安全线时飞行的水平距离为120 m.
(2)在安全线上设置回收区域MN,AM=125 m,MN=5 m.若飞机落到MN内(不包括端点M,N),求发射平台相对于安全线的高度的变化范围.
【解析】(2)设发射平台相对于安全线的高度为n m,飞机相对于安全线的飞行高度y'=-t2+12t+n,
∵125∴25在y'=-t2+12t+n中,
当t=25,y'=0时,n=12.5;
当t=26,y'=0时,n=26.
∴12.5答:发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5 m且小于26 m.
9.(应用意识、抽象能力、运算能力)如图①,灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶,为绿化带浇水.喷水口H离地竖直高度为h(单位:m),如图②,可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象,把绿化带横截面抽象为矩形DEFG,其水平宽度DE=3 m,竖直高度为EF的长.下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的,上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2 m,高出喷水口0.5 m,灌溉车到l的距离OD为d(单位:m).若当h=
1.5 m,EF=0.5 m时,解答下列问题.
(1)求上边缘抛物线的函数解析式,并求喷出水的最大射程OC;
【解析】(1)由题意得A(2,2)是上边缘抛物线的顶点,
设y=a(x-2)2+2,
∵抛物线过点(0,1.5),
∴1.5=4a+2,∴a=-,
∴上边缘抛物线的函数解析式为y=-(x-2)2+2,
当y=0时,0=-(x-2)2+2,
解得x1=6,x2=-2(舍去),
∴喷出水的最大射程OC为6 m;
(2)求出上、下边缘两个抛物线高度差的最大值;
【解析】(2)∵对称轴为直线x=2,
∴点(0,1.5)的对称点为(4,1.5),
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4 m得到的,
∴点B的坐标为(2,0),
∵上边缘抛物线y=-(x-2)2+2在0下边缘抛物线在0∴当x=2时,上、下边缘两个抛物线高度差的最大值为2;
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,直接写出d的取值范围.
【解析】(3)∵EF=0.5,
∴点F的纵坐标为0.5,
∴0.5=-(x-2)2+2,
解得x=2±2,∵x>0,∴x=2+2,
当x>2时,上边缘抛物线y随x的增大而减小,
∴当2≤x≤6时,要使y≥0.5,
则x≤2+2,
∵当0≤x≤2时,上边缘抛物线y随x的增大而增大,且x=0时,y=1.5>0.5,
∴当0≤x≤6时,要使y≥0.5,0≤x≤2+2,
∵DE=3,灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,
∴d的最大值为2+2-3=2-1,
再看下边缘抛物线,喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是d≥OB,
∴d的最小值为2,
综上所述,d的取值范围是2≤d≤2-1.
素养提升攻略
链接生活
弹道导弹的飞行轨迹
知识链接:弹道导弹飞行轨迹可以分为三个阶段.第一阶段:导弹点火后,垂直向上飞行阶段,此阶段飞行时间3至5分钟不等;第二阶段:导弹进入安全预定高度,以抛物线路线飞行阶段(最高点称为轨道的远地点);第三阶段:发动机熄火后,导弹箭头与弹体分离,以惯性飞向目标阶段.
素养训练7应用意识、运算能力
某洲际导弹发射后,计算机隔一段时间(单位:分)对导弹离地高度(单位:千米)进行数据采集,对这些数据进行列表统计后得到如下表格:
时间x 0 1 3 4 5 9 12 14 15 16 25 …
离地高度y 0 24 218 386 600 984 1 146 1 194 1 200 1 194 600 …
已知导弹在第n分钟(n为整数)开始进入飞行第二阶段,在下落过程中距离地面120千米时进入第三阶段.
(1)该导弹在发射时间x= 分达到轨道的远地点,此时距离地面的高度是 千米.
【解析】(1)根据题中表格数据可得在第15分钟时,离地高度y最大,为1 200千米,即此时为轨道的远地点.
答案:15 1 200
(2)求出第二阶段曲线的解析式,并求出n的值.
【解析】(2)设第二阶段的曲线函数解析式为y=ax2+bx+c,
代入点(15,1 200),(16,1 194),(25,600),可得,解得,
所以第二阶段的曲线函数解析式为y=-6x2+180x-150,
将x=1,3,4,5,…分别代入函数解析式中求值,
当x值为3,4时,得到的值与表中给的值不符,且4之后的值都符合.
所以是在第5分钟进入第二阶段,∴n的值为5;
(3)求导弹发射多少时间后发动机熄火.(结果保留根号)
【解析】(3)由题意得发动机熄火,即y的值为120,
把y=120代入函数解析式中,即
120=-6x2+180x-150,
解得:x=15±6,舍去较小值,
即x=15+6,
∴导弹在发射(15+6)分钟后发动机熄火.
链接生活
如何确定隧道中警示灯带的安装方案
素材1:2022年9月底,温州市府东路过江通道工程正式开工,建成后将成为温州瓯江第一条超大直径江底行车隧道.假设隧道顶部横截面可视为抛物线,如图1,隧道底部宽AB为10 m,高OC为5 m.
素材2:货车司机长时间在隧道内行车容易疲劳驾驶,为了安全,拟在隧道顶部安装上下长度为20 cm的警示灯带,沿抛物线安装(如图2).为了实效,相邻两条灯带的水平间距均为0.8 m(灯带宽度可忽略);普通货车的高度大约为2.5 m(载货后高度),货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于50 cm.灯带安装好后成轴对称分布.
素养训练8应用意识、模型观念、创新意识
任务1:确定隧道形状,在图1中建立合适的直角坐标系,求抛物线的函数解析式.
【解析】任务1:
以O为原点,以AB所在直线为x轴,以OC所在直线为y轴建立如图1所示的直角坐标系,∴顶点C为(0,5),
设抛物线的解析式为y=ax2+5,
∵抛物线过A(-5,0),
把A(-5,0)代入解析式得25a+5=0,
解得a=-,∴抛物线的函数解析式为y=-x2+5.
任务2:探究安装范围,在建立的坐标系中,在安全的前提下,确定灯带安装点的横、纵坐标的取值范围.
【解析】任务2:∵普通货车的高度大约为2.5 m,货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于50 cm,∴当悬挂点的纵坐标y≥2.5+0.2+0.5=3.2,
即悬挂点的纵坐标的最小值是3.2 m,
当y=3.2时,-x2+5=3.2,解得x=±3,∴悬挂点的横坐标的取值范围是-3≤x≤3.
任务3:拟定设计方案求出同一个横截面下,最多能安装几条灯带,并根据所建立的坐标系,求出最右边一条灯带安装点的横坐标.
【解析】任务3:
方案一:如图2(坐标轴的横轴),从顶点处开始悬挂灯带,
∵-3≤x≤3,相邻两盏灯带悬挂点的水平间距均为0.8 m,
∴若顶点一侧悬挂4条灯带时,0.8×4>3,若顶点一侧悬挂3条灯带时,0.8×3=2.4<3,∴顶点一侧最多悬挂3条灯带,∵灯挂满后成轴对称分布,
∴共可挂7条灯带,∴最右边一条灯带的横坐标为0.8×3=2.4;
方案二:如图3,
∵若顶点一侧悬挂5条灯带时,0.4+0.8×(5-1)>3,若顶点一侧悬挂4条灯带时,0.4+0.8×(4-1)<3,
∴顶点一侧最多悬挂4条灯带,
∵灯挂满后成轴对称分布,∴共可挂8条灯带,∴最右边一条灯带的横坐标为0.4+0.8×3=2.8.
综上,最多可挂8条灯带,最右边一条灯带安装点的横坐标为2.8.
