第二十三章 旋转
23.1 图形的旋转
知识点1 旋转的概念
1.有下列现象:①高层公寓电梯的上升;②风车的转动;③钟摆的运动;④荡秋千运动.其中属于旋转的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.…依次观察左边的三个图形,并判断照此规律从左向右的第四个图形是( )
知识点2 旋转的性质
3.如图,将△ABC绕点A旋转得到△ADE,若∠B=90°,∠C=30°,AB=2,则DE= .
4.如图,E是正方形ABCD的边CD上一点,过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F,连接EF.
(1)△ABF可以由△ADE顺时针旋转得到,则旋转中心是点 ,旋转角是 度.
(2)试说明△AEF的形状.
(3)若AD=4,DE=1,求EF的长.
知识点3 旋转作图
5.如图,在正方形网格中有△ABC,△ABC绕O点按逆时针方向旋转90°后的图案应该是( )
6.(名师原创)如图,在平面直角坐标系中,点A和B的坐标分别为(2,0),(0,-4),若将线段AB绕点A顺时针方向旋转90°得到线段AC,则点C的坐标为 .
7.如图,△ABC在平面直角坐标系中,各顶点坐标分别为A(-1,4),B(-3,2),C(-2,1).
(1)画出△ABC向下平移5个单位长度得到的△A1B1C1.并写出点A1的坐标;
(2)画出△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2,并写出点A2的坐标;
(3)画出△ABC绕点O旋转180°得到的△A3B3C3.并写出点A3的坐标.
8.(2023·佛山质检)如图,在△ABC中,∠B=37°,将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处,使点B落在BC的延长线上的D点处,则∠BDE=( )
A.84° B.80° C.77° D.74°
9.如图,在等腰直角△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D为斜边AB上一点,将△BCD绕点C逆时针旋转90°得到△ACE,则下列说法错误的是( )
A.∠EAC=∠B
B.△EDC是等腰直角三角形
C.BD2+AD2=CD2
D.∠AED=∠ACD
10.如图,将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB'C'D'的位置,此时AC'的中点恰好与D点重合,AB'交CD于点E.若AB=3,则△AEC的面积为( )
A.2 B. C.3 D.1.5
11.如图,在△ABC中,AB=10,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1,则阴影部分的面积为 .
12.如图,正方形OABC的两边OA,OC分别在x轴、y轴上,点D(5,3)在边AB上,以点C为旋转中心,把△CDB旋转90°,则旋转后点D的对应点D'的坐标是 .
13.(推理能力、几何直观)阅读下面材料,并解决问题:
(1)如图①等边△ABC内有一点P,若点P到顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,求
∠APB的度数.
为了解决本题,我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP'处,此时△ACP'≌△ABP,这样就可以利用旋转变换,将三条线段PA,PB,PC转化到一个三角形中,从而求出∠APB= ;
(2)基本运用
请你利用第(1)题的解答方法,解答下面问题:
已知如图②,△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E,F为BC上的点且∠EAF=45°,求证:EF2=BE2+FC2;
(3)能力提升
如图③,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,∠ABC=30°,点O为Rt△ABC内一点,连接AO,BO,CO,且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,求OA+OB+OC的值.第二十三章 旋转
23.1 图形的旋转
知识点1 旋转的概念
1.有下列现象:①高层公寓电梯的上升;②风车的转动;③钟摆的运动;④荡秋千运动.其中属于旋转的有(D)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.…依次观察左边的三个图形,并判断照此规律从左向右的第四个图形是(D)
知识点2 旋转的性质
3.如图,将△ABC绕点A旋转得到△ADE,若∠B=90°,∠C=30°,AB=2,则DE= 2 .
4.如图,E是正方形ABCD的边CD上一点,过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F,连接EF.
(1)△ABF可以由△ADE顺时针旋转得到,则旋转中心是点 ,旋转角是 度.
【解析】(1)△ABF可以由△ADE绕旋转中心点A,按顺时针方向旋转90度得到;
答案:A 90
(2)试说明△AEF的形状.
【解析】(2)根据(1)得AE=AF,∠EAF=90°,
∴△AEF是等腰直角三角形;
(3)若AD=4,DE=1,求EF的长.
【解析】(3)∵AD=4,DE=1,
∴AE==,
∴AF=,∵AE=AF,∠EAF=90°,
∴EF==.
知识点3 旋转作图
5.如图,在正方形网格中有△ABC,△ABC绕O点按逆时针方向旋转90°后的图案应该是(A)
6.(名师原创)如图,在平面直角坐标系中,点A和B的坐标分别为(2,0),(0,-4),若将线段AB绕点A顺时针方向旋转90°得到线段AC,则点C的坐标为 (-2,2) .
7.如图,△ABC在平面直角坐标系中,各顶点坐标分别为A(-1,4),B(-3,2),C(-2,1).
(1)画出△ABC向下平移5个单位长度得到的△A1B1C1.并写出点A1的坐标;
(2)画出△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2,并写出点A2的坐标;
(3)画出△ABC绕点O旋转180°得到的△A3B3C3.并写出点A3的坐标.
【解析】(1)如图,△A1B1C1即为所求.
点A1的坐标为(-1,-1).
(2)如图,△A2B2C2即为所求.
点A2的坐标为(4,1).
(3)如图,△A3B3C3即为所求.
点A3的坐标为(1,-4).
8.(2023·佛山质检)如图,在△ABC中,∠B=37°,将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处,使点B落在BC的延长线上的D点处,则∠BDE=(D)
A.84° B.80° C.77° D.74°
9.如图,在等腰直角△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D为斜边AB上一点,将△BCD绕点C逆时针旋转90°得到△ACE,则下列说法错误的是(C)
A.∠EAC=∠B
B.△EDC是等腰直角三角形
C.BD2+AD2=CD2
D.∠AED=∠ACD
10.如图,将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB'C'D'的位置,此时AC'的中点恰好与D点重合,AB'交CD于点E.若AB=3,则△AEC的面积为(B)
A.2 B. C.3 D.1.5
11.如图,在△ABC中,AB=10,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1,则阴影部分的面积为 25 .
12.如图,正方形OABC的两边OA,OC分别在x轴、y轴上,点D(5,3)在边AB上,以点C为旋转中心,把△CDB旋转90°,则旋转后点D的对应点D'的坐标是 (-2,0)或(2,10) .
13.(推理能力、几何直观)阅读下面材料,并解决问题:
(1)如图①等边△ABC内有一点P,若点P到顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,求
∠APB的度数.
为了解决本题,我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP'处,此时△ACP'≌△ABP,这样就可以利用旋转变换,将三条线段PA,PB,PC转化到一个三角形中,从而求出∠APB= ;
【解析】(1)∵△ACP'≌△ABP,
∴AP'=AP=3,CP'=BP=4,∠AP'C=∠APB,
由题意知旋转角∠PAP'=60°,
∴△APP'为等边三角形,
PP'=AP=3,∠AP'P=60°,
易证△PP'C为直角三角形,且∠PP'C=90°,
∴∠APB=∠AP'C=∠AP'P+∠PP'C=60°+90°=150°;
答案:150°
(2)基本运用
请你利用第(1)题的解答方法,解答下面问题:
已知如图②,△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E,F为BC上的点且∠EAF=45°,求证:EF2=BE2+FC2;
【解析】(2)如图,把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE',
由旋转的性质得,AE'=AE,CE'=BE,∠CAE'=∠BAE,∠ACE'=∠B,∠EAE'=90°,
∵∠EAF=45°,
∴∠E'AF=∠CAE'+∠CAF=∠BAE+∠CAF=∠BAC-∠EAF=90°-45°=45°,
∴∠EAF=∠E'AF,
在△EAF和△E'AF中,,
∴△EAF≌△E'AF(SAS),∴EF=E'F,
∵∠CAB=90°,AB=AC,
∴∠B=∠ACB=45°,
∴∠E'CF=45°+45°=90°,
由勾股定理得,E'F2=CE'2+FC2,
即EF2=BE2+FC2.
(3)能力提升
如图③,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,∠ABC=30°,点O为Rt△ABC内一点,连接AO,BO,CO,且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,求OA+OB+OC的值.
【解析】(3)如图,将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A'O'B处,连接OO',
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,∠ABC=30°,
∴AB=2,
∴BC==,
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°至△A'O'B,∴△A'O'B如图所示,
∠A'BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°,
A'B=AB=2,BO'=BO,A'O'=AO,
∴△BOO'是等边三角形,
∴BO=OO',∠BOO'=∠BO'O=60°,
∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,
∴∠COB+∠BOO'=∠BO'A'+∠BOO'=120°+60°=180°,
∴C,O,A',O'四点共线,
在Rt△A'BC中,A'C===,
∴OA+OB+OC=A'O'+OO'+OC=A'C=.
