23.2 中心对称
23.2.1 中心对称
知识点1 中心对称的概念和性质
1.(2023·北京海淀区期中)下列四幅图案中,与原图的一笔画“天鹅”成中心对称的图案是( )
2.如图,△ABC与△A'B'C'关于O成中心对称,下列结论中不一定成立的是( )
A.∠ABC=∠A'C'B' B.OA=OA'
C.BC=B'C' D.OC=OC'
3.如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC经过中心对称变换得到△A'B'C',那么对称中心的坐标为( )
A.(0,0) B.(-1,0)
C.(-1,-1) D.(0,-1)
4.如图,△ABC与△DEF关于点O对称,则:
(1)点A的对称点是点 ;
(2)△ABC △DEF;
(3)OA= ,OB= ,OC= ;
(4)点 是线段AD,BE,CF的中点.
5.如图,△ABC与△DEC关于点C成中心对称,AG为△ABC的高,若CE=5,AG=2,则S△DEC= .
知识点2 画一个图形关于某点成中心对称的图形
6.如图,四边形ABCD与四边形A'B'C'D'关于某点中心对称,找出它们的对称中心,
7.图①、图②、图③均是10×6的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点,点A,B,C,D,P均在格点上,只用无刻度的直尺,分别在给定的网格中按下列要求作图,保留作图痕迹.
(1)在图①中,作以点P为对称中心的平行四边形ABEF.
(2)在图②中,作四边形ABCD的边BC上的高AM.
(3)在图③中,在四边形ABCD的边CD上找一点N,连接AN,使∠DAN=45°.
8.如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB,BC的垂线,交各边于点E,F,G,H,则四边形EFGH的周长为( )
A.3+ B.2+2
C.2+ D.1+
9.如图,将△ABC绕点C(0,-1)旋转180°得到△A'B'C,若点A的坐标为(-4,-3),则点A'的坐标为 .
10.如图,直线a,b垂直相交于点O,曲线C关于点O成中心对称,点A的对称点是点A',AB⊥a于点B,A'D⊥b于点D.若OB=3,OD=2,则阴影部分的面积之和为 .
11.(2023·日照质检)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC=4,BD=16,将△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C,则点A与点B'之间的距离为 .
12.已知:如图,三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称,三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称,点E,D,M都在线段AF上,BM的延长线交CF于点P.
(1)求证:AC=CD;
(2)若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F与∠MCD的数量关系,并说明理由.
13.(几何直观,运算能力)如图,A,B为x轴上的两点,以AB为边作矩形ABCD,且A,C的坐标分别为(-8,0),(-2,4),现将矩形ABCD向右平移4个单位长度后,再向上平移个单位长度得到矩形EFGH.
(1)若a=4,请求出点H的坐标.
(2)若将矩形ABCD与矩形EFGH理解为关于点P中心对称,且点P的坐标为(-3,m),求m的值.23.2 中心对称
23.2.1 中心对称
知识点1 中心对称的概念和性质
1.(2023·北京海淀区期中)下列四幅图案中,与原图的一笔画“天鹅”成中心对称的图案是(A)
2.如图,△ABC与△A'B'C'关于O成中心对称,下列结论中不一定成立的是(A)
A.∠ABC=∠A'C'B' B.OA=OA'
C.BC=B'C' D.OC=OC'
3.如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC经过中心对称变换得到△A'B'C',那么对称中心的坐标为(B)
A.(0,0) B.(-1,0)
C.(-1,-1) D.(0,-1)
4.如图,△ABC与△DEF关于点O对称,则:
(1)点A的对称点是点 D ;
(2)△ABC ≌ △DEF;
(3)OA= OD ,OB= OE ,OC= OF ;
(4)点 O 是线段AD,BE,CF的中点.
5.如图,△ABC与△DEC关于点C成中心对称,AG为△ABC的高,若CE=5,AG=2,则S△DEC= 5 .
知识点2 画一个图形关于某点成中心对称的图形
6.如图,四边形ABCD与四边形A'B'C'D'关于某点中心对称,找出它们的对称中心,
【解析】连接CC',DD'交于点O,点O即为所求.
7.图①、图②、图③均是10×6的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点,点A,B,C,D,P均在格点上,只用无刻度的直尺,分别在给定的网格中按下列要求作图,保留作图痕迹.
(1)在图①中,作以点P为对称中心的平行四边形ABEF.
(2)在图②中,作四边形ABCD的边BC上的高AM.
(3)在图③中,在四边形ABCD的边CD上找一点N,连接AN,使∠DAN=45°.
【解析】(1)如图①,平行四边形ABEF即为所求;
(2)如图②,高AM即为所求;
(3)如图③,点N即为所求.
8.如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB,BC的垂线,交各边于点E,F,G,H,则四边形EFGH的周长为(A)
A.3+ B.2+2
C.2+ D.1+
9.如图,将△ABC绕点C(0,-1)旋转180°得到△A'B'C,若点A的坐标为(-4,-3),则点A'的坐标为 (4,1) .
10.如图,直线a,b垂直相交于点O,曲线C关于点O成中心对称,点A的对称点是点A',AB⊥a于点B,A'D⊥b于点D.若OB=3,OD=2,则阴影部分的面积之和为 6 .
11.(2023·日照质检)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC=4,BD=16,将△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C,则点A与点B'之间的距离为 10 .
12.已知:如图,三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称,三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称,点E,D,M都在线段AF上,BM的延长线交CF于点P.
(1)求证:AC=CD;
【解析】(1)∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称,
∴△ABM≌△ACM,∴AB=AC,
又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称,
∴△ABE≌△DCE,∴AB=DC,∴AC=CD;
(2)若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F与∠MCD的数量关系,并说明理由.
【解析】(2)∠F=∠MCD.
理由:由(1)可得∠BAE=∠CAE=∠CDE,
∠CMA=∠BMA,
∵∠BAC=2∠MPC,∠BMA=∠PMF,
∴设∠MPC=α,则∠BAE=∠CAE=∠CDE=α,
设∠BMA=β,则∠PMF=∠CMA=β,
∴∠F=∠CPM-∠PMF=α-β,
∠MCD=∠CDE-∠DMC=α-β,
∴∠F=∠MCD.
13.(几何直观,运算能力)如图,A,B为x轴上的两点,以AB为边作矩形ABCD,且A,C的坐标分别为(-8,0),(-2,4),现将矩形ABCD向右平移4个单位长度后,再向上平移个单位长度得到矩形EFGH.
(1)若a=4,请求出点H的坐标.
【解析】(1)∵点A(-8,0)向右平移4个单位长度后,再向上平移==2个单位长度得到点E,
∴点E的坐标为(-4,2),
∵点C(-2,4)向右平移4个单位长度后,再向上平移==2个单位长度得到点G,
∴点G的坐标为(2,6),∴点H的坐标为(-4,6);
(2)若将矩形ABCD与矩形EFGH理解为关于点P中心对称,且点P的坐标为(-3,m),求m的值.
【解析】(2)连接AG,DF,它们的交点为点P,如图,
由题意得A(-8,0),G(2,4+),
∴AG的中点P的坐标为(-3,2+),
∵点P的坐标为(-3,m),
∴m=2+=.
