第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
【A层 基础夯实】
知识点1 圆的定义及其应用
1.下列图形为圆的是 (A)
2.下列条件中,能确定圆的是 (C)
A.以点O为圆心
B.以2 cm长为半径
C.以点O为圆心,以5 cm长为半径
D.经过已知点A
3.如图,BD=OD,∠B=38°,则∠AOD的度数为 28° .
4.已知:如图,在☉O中,AB为弦,C,D两点在AB上,且AC=BD.
求证:△OAC≌△OBD.
【解析】∵OA=OB,∴∠A=∠B,
∵在△OAC和△OBD中,,
∴△OAC≌△OBD(SAS).
5.如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,边OA,OB,OC,OD的中点分别为点E,G,H,F,求证:E,F,G,H四点在同一个圆上.
【证明】∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OB=OC=OD,
∵E,F,G,H分别是OA,OD,OB,OC的中点,
∴EO=FO=GO=HO,
∴E,F,G,H四点在同一个圆上.
知识点2 圆的有关概念
6.下列结论正确的是 (B)
A.半径相等的两条弧是等弧
B.半圆是弧
C.半径是弦
D.弧是半圆
7.下列说法:①直径是最长的弦;②弦是直径;③半径相等的两个半圆是等弧;④长度相等的两条弧是等弧;⑤半径相等的两个圆是等圆;其中说法正确的有 (C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.如图,圆中以A为一个端点的劣弧有 3 条.
知识点3 综合三角形、矩形的有关性质
9.如图,在扇形AOB中,D为上的点,连接AD并延长与OB的延长线交于点C,若CD=OA,∠O=75°,则∠A的度数为 (C)
A.35° B.52.5° C.70° D.72°
10.如图,☉O的半径OC⊥AB,D为上一点,DE⊥OC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,EF=3,求直径AB的长.
【解析】连接OD,∵OC⊥AB,DE⊥OC,DF⊥AB,
∴四边形OFDE是矩形,
∴OD=EF=3,∴AB=6.
【B层 能力进阶】
11.(名师原创)由所有到已知点O的距离大于或等于2,并且小于或等于3的点组成的图形的面积为(C)
A.4π B.9π C.5π D.13π
12.如图,点B,E在半圆O上,四边形OABC,四边形ODEF均为矩形.若AB=3,BC=4,则DF的长为 5 .
13.体育课上,小明和小丽的铅球成绩分别是6.4 m和5.1 m,小明投出的铅球落在区域 6 ~ 7 ,小丽投出的铅球落在区域 5 ~ 6 .
14.如图所示,在△ABC中BD,CE是两条高,求证:B,C,D,E四点在同一个圆上.
【证明】如图,取BC的中点O,连接DO,EO,
∵BD,CE分别是AC,AB边上的高,
∴BO=CO=DO=EO,
即B,C,D,E四点在同一个圆上.
【C层 素养冲A+(选做)】
15.如图,直线l经过☉O的圆心O,且与☉O交于A,B两点,点C在☉O上,且∠AOC=30°,点P是直线l上的一个动点(与圆心O不重合),直线CP与☉O相交于点Q.是否存在点P,使得QP=QO 若存在,求出相应的∠OCP的大小;若不存在,请简要说明理由.
【解析】(1)根据题意,画出图1,
在△QOC中,OC=OQ,
∴∠OQP=∠OCP,
在△OPQ中,QP=QO,
∴∠QOP=∠QPO,
又∵∠AOC=30°,
∴∠QPO=∠OCP+∠AOC=∠OCP+30°,
在△OPQ中,∠QOP+∠QPO+∠OQP=180°,
即(∠OCP+30°)+(∠OCP+30°)+∠OCP=180°,
整理得3∠OCP=120°,
∴∠OCP=40°;
(2)当P在线段OA的延长线上(如图2),
∵OC=OQ,
∴∠OQP=(180°-∠QOC)×(i),
∵OQ=PQ,
∴∠OPQ=(180°-∠OQP)×(ii),
在△OQP中,30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ=180°(iii),
把(i)(ii)代入(iii)得∠QOC=20°,则∠OQP=80°,
∴∠OCP=100°;
(3)当P在线段OA的反向延长线上(如图3),
∵OC=OQ,
∴∠OCP=∠OQC=(180°-∠COQ)×①,
∵OQ=PQ,
∴∠P=(180°-∠OQP)×②,
∵∠AOC=30°,
∴∠COQ+∠POQ=150°③,
∵∠P=∠POQ,2∠P=∠OQC=∠OCP④,
①②③④联立得∠P=10°,
∴∠OCP=180°-150°-10°=20°.
综上,存在点P,使得QP=QO,∠OCP的大小为40°或20°或100°.第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
【A层 基础夯实】
知识点1 圆的定义及其应用
1.下列图形为圆的是 ( )
2.下列条件中,能确定圆的是 ( )
A.以点O为圆心
B.以2 cm长为半径
C.以点O为圆心,以5 cm长为半径
D.经过已知点A
3.如图,BD=OD,∠B=38°,则∠AOD的度数为 .
4.已知:如图,在☉O中,AB为弦,C,D两点在AB上,且AC=BD.
求证:△OAC≌△OBD.
5.如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,边OA,OB,OC,OD的中点分别为点E,G,H,F,求证:E,F,G,H四点在同一个圆上.
知识点2 圆的有关概念
6.下列结论正确的是 ( )
A.半径相等的两条弧是等弧
B.半圆是弧
C.半径是弦
D.弧是半圆
7.下列说法:①直径是最长的弦;②弦是直径;③半径相等的两个半圆是等弧;④长度相等的两条弧是等弧;⑤半径相等的两个圆是等圆;其中说法正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.如图,圆中以A为一个端点的劣弧有 条.
知识点3 综合三角形、矩形的有关性质
9.如图,在扇形AOB中,D为上的点,连接AD并延长与OB的延长线交于点C,若CD=OA,∠O=75°,则∠A的度数为 ( )
A.35° B.52.5° C.70° D.72°
10.如图,☉O的半径OC⊥AB,D为上一点,DE⊥OC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,EF=3,求直径AB的长.
【B层 能力进阶】
11.(名师原创)由所有到已知点O的距离大于或等于2,并且小于或等于3的点组成的图形的面积为( )
A.4π B.9π C.5π D.13π
12.如图,点B,E在半圆O上,四边形OABC,四边形ODEF均为矩形.若AB=3,BC=4,则DF的长为 .
13.体育课上,小明和小丽的铅球成绩分别是6.4 m和5.1 m,小明投出的铅球落在区域 ~ ,小丽投出的铅球落在区域 ~ .
14.如图所示,在△ABC中BD,CE是两条高,求证:B,C,D,E四点在同一个圆上.
【C层 素养冲A+(选做)】
15.如图,直线l经过☉O的圆心O,且与☉O交于A,B两点,点C在☉O上,且∠AOC=30°,点P是直线l上的一个动点(与圆心O不重合),直线CP与☉O相交于点Q.是否存在点P,使得QP=QO 若存在,求出相应的∠OCP的大小;若不存在,请简要说明理由.
