24.1.2 垂直于弦的直径
【A层 基础夯实】
知识点1 垂径定理及其推论
1.下列说法中,错误的是 (B)
A.直径相等的两个圆是等圆
B.平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧
C.圆中最长的弦是直径
D.一条弦把圆分成两条弧,这两条弧可能是等弧
2.如图,AB是☉O的直径,OD垂直于弦AC于点D,DO的延长线交☉O于点E.若AC=4,DE=4,则BC的长是 (C)
A.1 B. C.2 D.4
3.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),点B在y轴正半轴上,以点B为圆心,BA长为半径作弧,交x轴正半轴于点C,则点C的坐标为 (2,0) .
4.如图,在以O为圆心半径不同的两个圆中,大圆和小圆的半径分别为6和4,大圆的弦AB交小圆于点C,D.若AC=3,则CD的长为 .
知识点2 垂径定理的应用
5.在直径为10 m的圆柱形油槽内注入一些油后,截面如图所示,液面宽AB=6 m,如果继续向油槽内注油,使液面宽为8 m,那么液面上升了 (B)
A.1 m B.1 m或7 m
C.2 m D.2 m或6 m
6.如图,将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上,测得瓶高AB=20 cm,底面直径BC=12 cm,球的最高点到瓶底面的距离为32 cm,则球的半径为 7.5 cm(玻璃瓶厚度忽略不计).
7.如图,OA=OB,AB交☉O于点C,D,OE是半径,且OE⊥AB于点F.
(1)求证:AC=BD;
(2)若CD=4,EF=1,求☉O的半径.
【解析】(1)∵OE⊥AB,
∴CF=DF,
∵OA=OB,
∴AF=BF,
∴AF-CF=BF-DF,
∴AC=BD;
(2)如图,连接OC,
∵OE⊥AB,∴CF=CD=2,
设☉O的半径是r,
∵CO2=CF2+OF2,
∴r2=22+(r-1)2,∴r=,
∴☉O的半径是.
【B层 能力进阶】
8.一次综合实践主题为:只用一张矩形纸条和刻度尺,如何测量一次性纸杯杯口的直径 小聪同学所在的学习小组想到了如下方法:如图,将纸条拉直并紧贴杯口,纸条的上下边沿分别与杯口相交于C,D,A,B四点,然后利用刻度尺量得该纸条的宽为4.25 cm,AB=2.5 cm,CD=6 cm.请你帮忙计算纸杯的直径为(B)
A.6 cm B. cm C.7 cm D. cm
9.☉O的直径CD=10,AB是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为M,OM∶OC=3∶5,则AC的长为 4 .
10.已知☉O的半径为10 cm,弦MN∥EF,且MN=12 cm,EF=16 cm,则弦MN和EF之间的距离为 2或14 cm.
11.如图,CD为☉O的直径,CD⊥AB,垂足为F,AE⊥BC,垂足为E,连接AC.
(1)求∠B的度数;
(2)若CE=,求☉O的半径.
【解析】(1)∵AE⊥BC,AE过圆心O,
∴CE=BE,
∴AC=AB,
同理AC=BC,
∴AB=AC=BC,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠B=60°;
(2)∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,
∵CD⊥AB,AC=BC,
∴∠DCB=∠ACB=30°,
∴OC=2OE,
∵CE=,OC2=OE2+CE2,
即(2OE)2=OE2+()2,
解得OE=1(负数舍去),
∴OC=2OE=2,
即☉O的半径为2.
【C层 素养冲A+(选做)】
12.根据素材解决问题.
设计货船通过圆形桥拱的方案
素 材 1 图1中有一座圆拱石桥,图2是其圆形桥拱的示意图,测得水面宽AB=16 m,拱顶离水面的距离CD=4 m.
素 材 2 如图3,一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH,测得EF=3 m,EH=10 m.因水深足够,货船可以根据需要运载货物.据调查,船身下降的高度y(米)与货船增加的载重量x(吨)满足函数关系式y=x.
问题解决
任务1 确定桥 拱半径 求圆形桥拱的半径
任务2 拟定设 计方案 根据图3状态,货船能否通过圆形桥拱 若能,最多还能卸载多少吨货物 若不能,至少要增加多少吨货物才能通过
【解析】任务1:设圆心为点O,则点O在CD延长线上,延长CD,则CD经过点O,连接AO,如图,
设桥拱的半径为r m,则OD=(r-4)m,
∵OC⊥AB,
∴AD=BD=AB=8 m,
∵OD2+AD2=OA2,
∴(r-4)2+82=r2,
∴r=10,
∴圆形桥拱的半径为10 m.
任务2:根据题图3状态,货船不能通过圆形桥拱,至少要增加(900-500)吨的货物才能通过.理由:
当EH是☉O的弦时,EH与OC的交点为M,连接OE,OH,如图,
∵四边形EFGH为矩形,
∴EH∥FG,
∵OC⊥AB,
∴OM⊥EH.
∴EM=EH=5 m,
∴OM==5 m,
∵OD=6 m,
∴DM=5-6<3,
∴根据题图3状态,货船不能通过圆形桥拱,
∴船在水面部分可以下降的高度y=3-(5-6)=(9-5) m.
∵y=x,
∴x=100(9-5)=(900-500)吨,
∴至少要增加(900-500)吨的货物才能通过.
素养提升攻略
开放探索
如图,大蚂蚁沿着大圆爬一圈,小蚂蚁沿着两个小圆各爬了一圈.谁爬的路程长 请通过计算说明.
素养训练11运算能力、应用意识、模型观念
如图,AB是☉O的直径,把AB分成几条相等的线段,以每条线段为直径分别画小圆,设AB=a,那么☉O的周长l=πa.
计算:(1)把AB分成两条相等的线段,每个小圆的周长l2=πa=l;
(2)把AB分成三条相等的线段,每个小圆的周长l3= ;
(3)把AB分成四条相等的线段,每个小圆的周长l4= ;
(4)把AB分成n条相等的线段,每个小圆的周长ln= .
结论:把大圆的直径分成n条相等的线段,以每条线段为直径分别画小圆,那么每个小圆周长是大圆周长的 .请仿照上面的探索方法和步骤,计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系.
【解析】把大圆的直径分成n条相等的线段,以每条线段为直径分别画小圆,那么每个小圆周长是ln=π(a)=l,即每个小圆周长是大圆周长的;根据圆的面积公式依次求得每个小圆的面积和大圆的面积后比较.
(2)l
(3)l
(4)每个小圆面积=π=·,而大圆的面积=π=πa2,即每个小圆的面积是大圆面积的.
答案:l
综合实践
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1:图1中有一座圆拱石桥,图2是其圆形桥拱的示意图,测得水面宽AB=16 m,拱顶离水面的距离CD=4 m.
素材2:如图3,一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH,测得EF=3 m,EH=10 m.因水深足够,货船可以根据需要运载货物.据调查,船身下降的高度y(米)与货船增加的载重量x(吨)满足函数解析式y=x.
素养训练12模型观念、运算能力、创新意识
任务1:求圆形桥拱的半径.
任务2:根据图3状态,货船能否通过圆形拱桥 若能,最多还能卸载多少吨货物 若不能,至少要增加多少吨货物才能通过
【解析】
任务1,设圆心为点O,则点O在CD延长线上,延长CD,则CD经过点O,连接AO,如图,设桥拱的半径为r m,则OD=(r-4)m,
∵OC⊥AB,∴AD=BD=AB=8 m,∵OD2+AD2=OA2,
∴(r-4)2+82=r2,∴r=10,∴圆形桥拱的半径为10 m.
任务2,根据图3状态,货船不能通过圆形桥拱,至少要增加(900-500)吨的货物才能通过.理由:
当EH是☉O的弦时,EH与OC的交点为M,连接OE,OH,
∵四边形EFGH为矩形,∴EH∥FG,∵OC⊥AB,∴OM⊥EH.∴EM=EH=5,
∴OM==5 m,∵OD=6 m,∴DM=5-6<3,
∴根据图3状态,货船不能通过圆形桥拱,
∴船在水面部分可以下降的高度y=3-(5-6)=(9-5)m.∵y=x,
∴x=100(9-5)=(900-500)吨,
∴至少要增加(900-500)吨的货物才能通过.
涨知识了
弦心距指从圆心到弦的距离(如图中的OC,OC'),弦心距与圆心角、弧、弦之间有如下关系:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们对应的其余各组量也相等.
素养训练13推理能力、几何直观、运算能力
[概念理解]
(1)如图1,在☉O中,半径是5,弦AB=8,则这条弦的弦心距OC长为 .
(2)通过大量的做题探究,小明发现:在同一个圆中,如果两条弦相等,那么这两条弦的弦心距也相等.但是小明想证明时却遇到了麻烦.请结合图2帮助小明完成证明过程.如图2,在☉O中,AB=CD,OM⊥AB,ON⊥CD,求证:OM=ON.
[概念应用]
如图3,在☉O中AB=CD=16,☉O的直径为20,且弦AB垂直于弦CD于点E,请应用上面得出的结论求OE的长.
【解析】[概念理解](1)如图,连接OB,
∵CO⊥AB,∴BC=AC,∠BCO=90°,
∵AB=8,∴BC=4,
∵BO=5,∴CO==3.
答案:3
(2)如图,连接BO,OC,
∵OM⊥AB,∴BM=AM,∠BMO=90°,
∵ON⊥CD,∴CN=DN,∠CNO=90°,
∵AB=CD,∴BM=CN,
∵BO=CO,∴Rt△BOM≌Rt△CON(HL),
∴OM=ON.
[概念应用]如图,过点O作OG⊥CD交CD于点G,过点O作OH⊥AB交AB于点H,连接DO,
∵AB=CD=16,
∴GO=OH,
∵AB⊥CD,
∴∠GEH=90°,
∴四边形GEHO是正方形,
∴GE=GO,
∵CD=16,
∴DG=8,
∵☉O的直径为20,
∴DO=10,
∴GO==6,
∴GE=GO=6,
∴EO==6.
涨知识了
等垂弦
新定义:同一个圆中,互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦,等垂弦所在直线的交点叫做等垂点.
素养训练14推理能力、几何直观、运算能力
(1)如图1,AB,AC是☉O的等垂弦,OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D,E.求证:四边形ADOE是正方形.
(2)如图2,AB是☉O的弦,作OD⊥OA,OC⊥OB,分别交☉O于D,C两点,连接CD.求证:AB,CD是☉O的等垂弦.
(3)已知☉O的半径为10,AB,CD是☉O的等垂弦,P为等垂点.若AP=3BP,求AB的长.
【解析】(1)∵AB,AC是☉O的等垂弦,OD⊥AB,OE⊥AC,∴∠A=∠ADO=∠AEO=90°,
∴四边形ADOE是矩形,∵AB,AC是☉O的等垂弦,∴AB=AC,
∵OD⊥AB,OE⊥AC,∴AD=AB,AE=AC,∴AD=AE,
∴矩形ADOE是正方形.
(2)如图,设AB交CD于点E,连接AC,
∵OD⊥OA,OC⊥OB,
∴∠AOD=∠BOC=90°,
∴∠AOB=∠COD,
∴AB=CD,
∵∠BAC=∠BOC=45°,∠ACD=∠AOD=45°,
∴∠BEC=∠CAB+∠ACD=90°,
即AB⊥CD,
∵AB=CD,AB⊥CD,
∴AB,CD是☉O的等垂弦.
(3)若点P在☉O内,过点O作OH⊥AB,垂足为H,作OG⊥CD,垂足为G,连接OA,OD,如图,
∵AB,CD是☉O的等垂弦,
∴AB=CD,AB⊥CD,
∴四边形OHPG是矩形,
∵OH⊥AB,OG⊥CD,
∴AH=AB,DG=CD,∠AHO=∠DGO=90°,
∴AH=DG,
又∵OA=OD,
∴Rt△AHO≌Rt△DGO(HL),
∴OH=OG,
∴矩形OHPG为正方形,
∴OH=HP,
∵AP=3BP且AH=BH,
∴AH=2BP=2HP=2OH,
在Rt△AOH中,AO2=AH2+OH2,
即(2OH)2+OH2=AO2=100,
解得OH=2,
∴HP=2,
∴AB=4HP=8;
若点P在☉O外,过点O作OH⊥AB,垂足为H,作OG⊥CD,垂足为G,连接OA,OD,如图,
同理,AH=2,则AB=2AH=4;
综上,AB=8或4.24.1.2 垂直于弦的直径
【A层 基础夯实】
知识点1 垂径定理及其推论
1.下列说法中,错误的是 ( )
A.直径相等的两个圆是等圆
B.平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧
C.圆中最长的弦是直径
D.一条弦把圆分成两条弧,这两条弧可能是等弧
2.如图,AB是☉O的直径,OD垂直于弦AC于点D,DO的延长线交☉O于点E.若AC=4,DE=4,则BC的长是 ( )
A.1 B. C.2 D.4
3.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),点B在y轴正半轴上,以点B为圆心,BA长为半径作弧,交x轴正半轴于点C,则点C的坐标为 .
4.如图,在以O为圆心半径不同的两个圆中,大圆和小圆的半径分别为6和4,大圆的弦AB交小圆于点C,D.若AC=3,则CD的长为 .
知识点2 垂径定理的应用
5.在直径为10 m的圆柱形油槽内注入一些油后,截面如图所示,液面宽AB=6 m,如果继续向油槽内注油,使液面宽为8 m,那么液面上升了 ( )
A.1 m B.1 m或7 m
C.2 m D.2 m或6 m
6.如图,将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上,测得瓶高AB=20 cm,底面直径BC=12 cm,球的最高点到瓶底面的距离为32 cm,则球的半径为 cm(玻璃瓶厚度忽略不计).
7.如图,OA=OB,AB交☉O于点C,D,OE是半径,且OE⊥AB于点F.
(1)求证:AC=BD;
(2)若CD=4,EF=1,求☉O的半径.
【B层 能力进阶】
8.一次综合实践主题为:只用一张矩形纸条和刻度尺,如何测量一次性纸杯杯口的直径 小聪同学所在的学习小组想到了如下方法:如图,将纸条拉直并紧贴杯口,纸条的上下边沿分别与杯口相交于C,D,A,B四点,然后利用刻度尺量得该纸条的宽为4.25 cm,AB=2.5 cm,CD=6 cm.请你帮忙计算纸杯的直径为( )
A.6 cm B. cm C.7 cm D. cm
9.☉O的直径CD=10,AB是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为M,OM∶OC=3∶5,则AC的长为 .
10.已知☉O的半径为10 cm,弦MN∥EF,且MN=12 cm,EF=16 cm,则弦MN和EF之间的距离为 cm.
11.如图,CD为☉O的直径,CD⊥AB,垂足为F,AE⊥BC,垂足为E,连接AC.
(1)求∠B的度数;
(2)若CE=,求☉O的半径.
【C层 素养冲A+(选做)】
12.根据素材解决问题.
设计货船通过圆形桥拱的方案
素 材 1 图1中有一座圆拱石桥,图2是其圆形桥拱的示意图,测得水面宽AB=16 m,拱顶离水面的距离CD=4 m.
素 材 2 如图3,一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH,测得EF=3 m,EH=10 m.因水深足够,货船可以根据需要运载货物.据调查,船身下降的高度y(米)与货船增加的载重量x(吨)满足函数关系式y=x.
问题解决
任务1 确定桥 拱半径 求圆形桥拱的半径
任务2 拟定设 计方案 根据图3状态,货船能否通过圆形桥拱 若能,最多还能卸载多少吨货物 若不能,至少要增加多少吨货物才能通过
素养提升攻略
开放探索
如图,大蚂蚁沿着大圆爬一圈,小蚂蚁沿着两个小圆各爬了一圈.谁爬的路程长 请通过计算说明.
素养训练11运算能力、应用意识、模型观念
如图,AB是☉O的直径,把AB分成几条相等的线段,以每条线段为直径分别画小圆,设AB=a,那么☉O的周长l=πa.
计算:(1)把AB分成两条相等的线段,每个小圆的周长l2=πa=l;
(2)把AB分成三条相等的线段,每个小圆的周长l3= ;
(3)把AB分成四条相等的线段,每个小圆的周长l4= ;
(4)把AB分成n条相等的线段,每个小圆的周长ln= .
结论:把大圆的直径分成n条相等的线段,以每条线段为直径分别画小圆,那么每个小圆周长是大圆周长的 .请仿照上面的探索方法和步骤,计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系.
综合实践
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1:图1中有一座圆拱石桥,图2是其圆形桥拱的示意图,测得水面宽AB=16 m,拱顶离水面的距离CD=4 m.
素材2:如图3,一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH,测得EF=3 m,EH=10 m.因水深足够,货船可以根据需要运载货物.据调查,船身下降的高度y(米)与货船增加的载重量x(吨)满足函数解析式y=x.
素养训练12模型观念、运算能力、创新意识
任务1:求圆形桥拱的半径.
任务2:根据图3状态,货船能否通过圆形拱桥 若能,最多还能卸载多少吨货物 若不能,至少要增加多少吨货物才能通过
涨知识了
弦心距指从圆心到弦的距离(如图中的OC,OC'),弦心距与圆心角、弧、弦之间有如下关系:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们对应的其余各组量也相等.
素养训练13推理能力、几何直观、运算能力
[概念理解]
(1)如图1,在☉O中,半径是5,弦AB=8,则这条弦的弦心距OC长为 .
(2)通过大量的做题探究,小明发现:在同一个圆中,如果两条弦相等,那么这两条弦的弦心距也相等.但是小明想证明时却遇到了麻烦.请结合图2帮助小明完成证明过程.如图2,在☉O中,AB=CD,OM⊥AB,ON⊥CD,求证:OM=ON.
[概念应用]
如图3,在☉O中AB=CD=16,☉O的直径为20,且弦AB垂直于弦CD于点E,请应用上面得出的结论求OE的长.
涨知识了
等垂弦
新定义:同一个圆中,互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦,等垂弦所在直线的交点叫做等垂点.
素养训练14推理能力、几何直观、运算能力
(1)如图1,AB,AC是☉O的等垂弦,OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D,E.求证:四边形ADOE是正方形.
(2)如图2,AB是☉O的弦,作OD⊥OA,OC⊥OB,分别交☉O于D,C两点,连接CD.求证:AB,CD是☉O的等垂弦.
(3)已知☉O的半径为10,AB,CD是☉O的等垂弦,P为等垂点.若AP=3BP,求AB的长.
