24.1.3 弧、弦、圆心角
【A层 基础夯实】
知识点1 圆心角的概念及应用
1.图中∠ACB是圆心角的是(B)
2.如图,MN为☉O的弦,∠M=50°,则∠MON等于 (D)
A.50° B.55°
C.65° D.80°
3.如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,且点C,D在AB的异侧,连接AD,OD,OC.若所对圆心角的度数为70°,且AD∥OC,求所对圆心角的度数.
【解析】∵所对圆心角的度数为70°,
∴∠AOC=70°,
∵AD∥OC,∴∠A=∠AOC=70°,
∵OA=OD,∴∠D=∠A=70°,
∴∠AOD=180°-70°-70°=40°.
∴所对圆心角的度数为40°.
知识点2 弧、弦、圆心角之间的关系
4.在同圆或等圆中,若的长度等于的长度,则下列说法正确的有 (D)
①所对的圆心角等于所对的圆心角;②和是等弧;③所对的弦长等于所对的弦长.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
5.如图,∠AOB=90°,C,D是的三等分点,连接AB分别交OC,OD于点E,F.
(1)求出∠AEC的度数;
(2)求证:AE=BF=CD.
【解析】(1)连接AC,DB,
∵C,D是的三等分点,
∴AC=CD=DB,
又∵∠AOB=90°,
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=30°,
∵OA=OB,∠AOB=90°,
∴∠OAB=∠OBA=45°,
∴∠AEC=∠AOC+∠OAB=30°+45°=75°;
(2)∵∠AOC=∠COD=∠DOB=30°,∠AEC=75°,
又∵OA=OC,
∴∠ACO=(180°-∠AOC)=(180°-30°)=75°,
∴∠AEC=∠ACO,
∴AE=AC,
同理可得BF=DB,
∴AE=BF=CD.
【B层 能力进阶】
6.在☉O中,如果=2,那么弦AB与弦CD之间的关系是 (C)
A.AB=2CD B.AB>2CD
C.AB<2CD D.无法确定
7.如图,在☉O中,AB,CD是两条弦,OM⊥CD,ON⊥AB,如果AB=CD,则下列结论不正确的是 (C)
A.∠AON=∠DOM
B.AN=DM
C.OM=DM
D.OM=ON
8.如图,☉O在△ABC三边上截得的弦长相等,即DE=FG=MN,∠A=50°,则∠BOC= (C)
A.100° B.110° C.115° D.120°
9.如图,AB是半圆O的直径,以弦AC为折痕折叠后,恰好经过点O,则∠AOC等于 (A)
A.120° B.125° C.130° D.145°
10.(名师原创)如图,点C是直径AB的三等分点(AC11.如图,AB是☉O的直径,=,∠COD=60°.
(1)△AOC是等边三角形吗 请说明理由.
(2)求证:OC∥BD.
【解析】(1)△AOC是等边三角形.
理由:∵=,
∴∠AOC=∠COD=60°.
又∵OA=OC,
∴△AOC是等边三角形.
(2)∵∠AOC=∠COD=60°,
∴∠BOD=180°-(∠AOC+∠COD)=60°,
∵OD=OB,∴△ODB为等边三角形,
∴∠ODB=60°,
∵∠ODB=∠COD=60°,
∴OC∥BD.
12.如图,AB为☉O的弦,半径OC,OD分别交AB于点E,F,且=.
(1)求证:AE=BF;
(2)作半径ON⊥AB于点M,若AB=12,MN=3,求OM的长.
【解析】(1)连接OA,OB,如图1所示:
∵OA=OB,
∴∠A=∠B,
∵=,
∴∠AOE=∠BOF,
在△AOE和△BOF中,,
∴△AOE≌△BOF(ASA),
∴AE=BF.
(2)连接OA,如图2所示:
∵OM⊥AB,
∴AM=AB=6,
设OM=x,则OA=ON=x+3,
在Rt△AOM中,由勾股定理得:
62+x2=(x+3)2,
解得x=4.5,
∴OM=4.5.
【C层 素养冲A+(选做)】
13.(教材再开发·教材P84思考改编)如图1,A,B是☉O上的两点,∠AOB=120°,C是的中点.
(1)求证:四边形OACB是菱形.
拓展延伸
(2)如图2,将线段OA绕圆心O逆时针旋转30°,得到线段OA',OA'交AC于点E,连接BE,若CE=1,求BE的长.
【解析】(1)连接OC,
∵∠AOB=120°,C是的中点,
∴∠AOC=∠BOC=60°,
∵OA=OC,
∴△ACO是等边三角形,
∴OA=AC,同理OB=BC,
∴OA=AC=BC=OB,
∴四边形OACB是菱形.
(2)连接OC,
由(1)知∠AOC=60°,
∵将线段OA绕圆心O逆时针旋转30°,得到线段OA',
∴∠AOA'=30°,
∴∠A'OC=∠AOC-∠A'OA=30°,∠BOE=∠AOB-∠AOA'=90°,
∴OE平分∠AOC,
∴OE⊥AC,
∴AE=CE=AC=1,
∴AC=BC=OB=2,
∴OE==,
∴BE===.24.1.3 弧、弦、圆心角
【A层 基础夯实】
知识点1 圆心角的概念及应用
1.图中∠ACB是圆心角的是( )
2.如图,MN为☉O的弦,∠M=50°,则∠MON等于 ( )
A.50° B.55°
C.65° D.80°
3.如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,且点C,D在AB的异侧,连接AD,OD,OC.若所对圆心角的度数为70°,且AD∥OC,求所对圆心角的度数.
知识点2 弧、弦、圆心角之间的关系
4.在同圆或等圆中,若的长度等于的长度,则下列说法正确的有 ( )
①所对的圆心角等于所对的圆心角;②和是等弧;③所对的弦长等于所对的弦长.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
5.如图,∠AOB=90°,C,D是的三等分点,连接AB分别交OC,OD于点E,F.
(1)求出∠AEC的度数;
(2)求证:AE=BF=CD.
【B层 能力进阶】
6.在☉O中,如果=2,那么弦AB与弦CD之间的关系是 ( )
A.AB=2CD B.AB>2CD
C.AB<2CD D.无法确定
7.如图,在☉O中,AB,CD是两条弦,OM⊥CD,ON⊥AB,如果AB=CD,则下列结论不正确的是 ( )
A.∠AON=∠DOM
B.AN=DM
C.OM=DM
D.OM=ON
8.如图,☉O在△ABC三边上截得的弦长相等,即DE=FG=MN,∠A=50°,则∠BOC= ( )
A.100° B.110° C.115° D.120°
9.如图,AB是半圆O的直径,以弦AC为折痕折叠后,恰好经过点O,则∠AOC等于 ( )
A.120° B.125° C.130° D.145°
10.(名师原创)如图,点C是直径AB的三等分点(AC11.如图,AB是☉O的直径,=,∠COD=60°.
(1)△AOC是等边三角形吗 请说明理由.
(2)求证:OC∥BD.
12.如图,AB为☉O的弦,半径OC,OD分别交AB于点E,F,且=.
(1)求证:AE=BF;
(2)作半径ON⊥AB于点M,若AB=12,MN=3,求OM的长.
【C层 素养冲A+(选做)】
13.(教材再开发·教材P84思考改编)如图1,A,B是☉O上的两点,∠AOB=120°,C是的中点.
(1)求证:四边形OACB是菱形.
拓展延伸
(2)如图2,将线段OA绕圆心O逆时针旋转30°,得到线段OA',OA'交AC于点E,连接BE,若CE=1,求BE的长.
