24.1.4 圆周角
【A层 基础夯实】
知识点1 圆周角定理及推论
1.下列语句中:①平分弦的直径垂直于弦;②相等的圆心角所对的弧相等;③长度相等的两条弧是等弧;④圆是轴对称图形,任何一条直径都是它的对称轴;⑤在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆周角相等,不正确的有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.如图,点A,B,C在☉O上,∠C=40°.则∠AOB的度数是 ( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
3.如图,AB是☉O的直径,∠ACD=∠CAB,AD=2,AC=4,则☉O的半径为 ( )
A. B.2 C.2 D.3
4.如图,AB,CD为☉O的两条弦,若∠B+∠C=90°,AB2+CD2=100,则☉O的半径为 .
知识点2 圆内接四边形的性质
5.如图,四边形ABCD内接于☉O,若∠A=80°,则∠C的度数是 ( )
A.80° B.100° C.110° D.120°
6.(易错警示题)如图,∠AOB=110°,弦AB所对的圆周角为 .
7.如图,A是☉O上一点,BC是直径,点D在☉O上且平分.
(1)连接AD,求证:AD平分∠BAC;
(2)若CD=5,AB=8,求AC的长.
【B层 能力进阶】
8.如图,点A,B,C,D,E在☉O上,AB=CD,∠AOB=42°,则∠CED= ( )
A.48° B.24° C.22° D.21°
9.如图,在☉O中,C是的中点,D是优弧ADB上一点,若∠AOB=110°,则∠D的度数为 ( )
A.70° B.55° C.40° D.27.5°
10.如图,AB为☉O的直径,P为BA延长线上的一点,D在☉O上(不与点A,点B重合),连接PD交☉O于点C,且PC=OB.设∠P=α,∠B=β,下列说法正确的是 ( )
A.α+β=90° B.3α+2β=180°
C.5α+4β=180° D.β-α=30°
11.以O为中心点的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放,量角器的0刻度线与斜边AB重合.点D为斜边AB上一点,作射线CD交于点E,如果点E所对应的读数为52°,那么∠BCD的大小为 ( )
A.52° B.60° C.64° D.69°
12.如图,在☉O中,直径AB交弦CD于点E,点A,F是的三等分点,连接CF交AB于点G.若☉O的半径为6,CE=2,则AG的长为 .
13.如图,AB是☉O的直径,CD=CB,CE⊥AB于点E,连接BD交CE于点F.
(1)求证:CF=BF;
(2)若CD=4,AC=8,求弦BD的长.
【C层 素养冲A+(选做)】
14.【特例感知】
(1)如图①,AB是☉O的直径,∠BAC是☉O的圆周角,AD平分∠BAC交☉O于点D,连接CD,BD.已知BD=3,∠BAD=30°,则∠BDC的度数为 °,点D到直线AC的距离为 ;
【类比迁移】
(2)如图②,∠BAC是☉O的圆周角,AD平分∠BAC交☉O于点D,过点D作DM⊥AB,垂足为M,探索线段AB,AC,AM之间的数量关系,并说明理由;
【问题解决】
(3)如图③,四边形ABCD为☉O的内接四边形,∠BAD=90°,AC平分∠BAD,AB=5,AD+AC=15,求线段AC的长.24.1.4 圆周角
【A层 基础夯实】
知识点1 圆周角定理及推论
1.下列语句中:①平分弦的直径垂直于弦;②相等的圆心角所对的弧相等;③长度相等的两条弧是等弧;④圆是轴对称图形,任何一条直径都是它的对称轴;⑤在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆周角相等,不正确的有(D)
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.如图,点A,B,C在☉O上,∠C=40°.则∠AOB的度数是 (D)
A.50° B.60° C.70° D.80°
3.如图,AB是☉O的直径,∠ACD=∠CAB,AD=2,AC=4,则☉O的半径为 (A)
A. B.2 C.2 D.3
4.如图,AB,CD为☉O的两条弦,若∠B+∠C=90°,AB2+CD2=100,则☉O的半径为 5 .
知识点2 圆内接四边形的性质
5.如图,四边形ABCD内接于☉O,若∠A=80°,则∠C的度数是 (B)
A.80° B.100° C.110° D.120°
6.(易错警示题)如图,∠AOB=110°,弦AB所对的圆周角为 55°或125° .
7.如图,A是☉O上一点,BC是直径,点D在☉O上且平分.
(1)连接AD,求证:AD平分∠BAC;
(2)若CD=5,AB=8,求AC的长.
【解析】(1)∵点D在☉O上且平分,
∴=,
∴∠BAD=∠CAD,
∴AD平分∠BAC;
(2)∵BC是直径,
∴∠BAC=∠BDC=90°,
∵点D在☉O上且平分,
∴=,
∴BD=CD=5,
∴BC==10,
∵AB=8,
∴AC==6.
【B层 能力进阶】
8.如图,点A,B,C,D,E在☉O上,AB=CD,∠AOB=42°,则∠CED= (D)
A.48° B.24° C.22° D.21°
9.如图,在☉O中,C是的中点,D是优弧ADB上一点,若∠AOB=110°,则∠D的度数为 (D)
A.70° B.55° C.40° D.27.5°
10.如图,AB为☉O的直径,P为BA延长线上的一点,D在☉O上(不与点A,点B重合),连接PD交☉O于点C,且PC=OB.设∠P=α,∠B=β,下列说法正确的是 (B)
A.α+β=90° B.3α+2β=180°
C.5α+4β=180° D.β-α=30°
11.以O为中心点的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放,量角器的0刻度线与斜边AB重合.点D为斜边AB上一点,作射线CD交于点E,如果点E所对应的读数为52°,那么∠BCD的大小为 (C)
A.52° B.60° C.64° D.69°
12.如图,在☉O中,直径AB交弦CD于点E,点A,F是的三等分点,连接CF交AB于点G.若☉O的半径为6,CE=2,则AG的长为 .
13.如图,AB是☉O的直径,CD=CB,CE⊥AB于点E,连接BD交CE于点F.
(1)求证:CF=BF;
(2)若CD=4,AC=8,求弦BD的长.
【解析】(1)∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠A=90°-∠ABC.
∵CE⊥AB,
∴∠CEB=90°,
∴∠ECB=90°-∠ABC,
∴∠ECB=∠A.
又∵CD=CB,
∴=,
∴∠DBC=∠A,
∴∠ECB=∠DBC,
∴CF=BF;
(2)连接OC,交BD于点G,
∵BC=CD,∴OC⊥BD,BD=2BG,
又∵∠ACB=90°,BC=CD=4,AC=8,
∴AB===20,
∴☉O的半径为10,
设OG=x,则CG=10-x,
由勾股定理得BG2=OB2-OG2=BC2-CG2,
即102-x2=(4)2-(10-x)2,解得x=6,
∴BG==8,∴BD=16.
【C层 素养冲A+(选做)】
14.【特例感知】
(1)如图①,AB是☉O的直径,∠BAC是☉O的圆周角,AD平分∠BAC交☉O于点D,连接CD,BD.已知BD=3,∠BAD=30°,则∠BDC的度数为 °,点D到直线AC的距离为 ;
【类比迁移】
(2)如图②,∠BAC是☉O的圆周角,AD平分∠BAC交☉O于点D,过点D作DM⊥AB,垂足为M,探索线段AB,AC,AM之间的数量关系,并说明理由;
【问题解决】
(3)如图③,四边形ABCD为☉O的内接四边形,∠BAD=90°,AC平分∠BAD,AB=5,AD+AC=15,求线段AC的长.
【解析】(1)如图①,
∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD=∠BAD=30°,
∴∠BAC=∠CAD+∠BAD=60°,
∴∠BDC=180°-∠BAC=120°,
∴∠BDC的度数为120°;
作DE⊥AB于点E,DF⊥AC交AC的延长线于点F,则DF=DE,
∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,
∵∠BAD=30°,BD=3,
∴AB=2BD=6,
∴AD===3,
∴×6×DE=×3×3=S△ABD,
∴DE=,
∴DF=,
∴点D到直线AC的距离为.
答案:120
(2)AB+AC=2AM,
理由:如图②,连接BD,CD,作DN⊥AC交AC的延长线于点N,
∵AD平分∠BAC,DM⊥AB,
∴DN=DM,
∵∠DCN+∠ACD=180°,∠B+∠ACD=180°,
∴∠DCN=∠B,
∵∠N=∠DMB=90°,
∴△DCN≌△DBM(AAS),
∴CN=BM,
∵∠N=∠AMD=90°,AD=AD,DN=DM,
∴Rt△ADN≌Rt△ADM(HL),
∴AN=AM,
∴AB+AC=AM+BM+AC=AM+CN+AC=AM+AN=2AM.
(3)如图③,作CG⊥AD于点G,CH⊥AB交AB的延长线于点H,
∵AC平分∠BAD,∴CG=CH,
∵∠D+∠ABC=180°,∠CBH+∠ABC=180°,
∴∠D=∠CBH,
∵∠CGD=∠H=90°,
∴△CGD≌△CHB(AAS),
∴DG=BH,
设DG=BH=x,
∵∠BAD=∠AGC=∠AHC=90°,
∴四边形AGCH是矩形,
∵CG=CH,
∴四边形AGCH是正方形,
∴AG=AH=CG,
∵AB=5,AD+AC=15,
∴CG=AG=AH=5+x,AD=AG+x=AH+x=5+2x,
∴AC=15-AD=15-(5+2x)=10-2x,
∵AG2+CG2=AC2,
∴(5+x)2+(5+x)2=(10-2x)2,
解得x1=15-10,x2=15+10(不符合题意,舍去),
∴AC=10-2×(15-10)=20-20,
∴线段AC的长为20-20.
