24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
【A层 基础夯实】
知识点1 点和圆的位置关系
1.已知点P在半径为5 cm的圆内,则点P到圆心的距离可以是 (A)
A.2 cm B.5 cm C.6 cm D.7 cm
2.点P是非圆上一点,若点P到☉O上的点的最小距离是4 cm,最大距离是9 cm,则☉O的半径是 6.5 cm或2.5 cm .
3.如图,点O到直线AB的距离为8 cm,点C,D都在直线AB上,OA⊥AB,若AD=6 cm,CD=2 cm,AB=5 cm,以O为圆心,10 cm为半径作圆,试判断A,B,C,D四点与☉O的位置关系.
【解析】连接DO,CO,BO,
∵OA⊥AB,AD=6 cm,AO=8 cm,
∴DO=10 cm,
∵AC=8 cm,AO=8 cm,AB=5 cm,
∴CO=8 cm>10 cm,BO= cm<10 cm,AO=8 cm<10 cm,
∴点A在圆内,点B在圆内,点C在圆外,点D在圆上.
知识点2 三角形的外接圆
4.如图,已知点O是△ABC的外心,∠A=40°,连接BO,CO,则∠BOC的度数是 (C)
A.60° B.70° C.80° D.90°
5.如图,☉O的半径为1,△ABC内接于☉O.若∠A=60°,∠B=75°,则AB= .
知识点3 反证法
6.我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°”.假设三角形中没有一个内角小于或等于60°,即三个内角都大于60°,则三角形的三个内角的和大于180°.这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾,所以在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°.上述推理使用的证明方法是(A)
A.反证法 B.比较法
C.综合法 D.分析法
7.用反证法证明命题“若☉O的半径为r,点P到圆心的距离为d,且d>r,则点P在☉O的外部”,首先应假设 点P在☉O上或在☉O内部 .
【B层 能力进阶】
8.如图,☉O是Rt△ABC的外接圆,OE⊥AB交☉O于点E,垂足为点D,AE,CB的延长线交于点F.若OD=3,AB=8,则FC的长是(A)
A.10 B.8 C.6 D.4
9.如图,点A,B的坐标分别为A(2,0),B(0,2),点C为坐标平面内一点,BC=1,点M为线段AC的中点,连接OM,则OM的最大值为(B)
A.+1 B.+
C.2+1 D.2-
10.如图,抛物线y=x2-4与x轴交于A,B两点,P是以点C(0,3)为圆心,2为半径的圆上的动点,Q是线段PA的中点,连接OQ.则线段OQ的最大值是 3.5 .
11.如图,已知矩形ABCD的边AB=3 cm、BC=4 cm,以点A为圆心,4 cm为半径作☉A,则点B,C,D与☉A有怎样的位置关系.
【解析】连接AC,∵AB=3 cm,BC=AD=4 cm,∴AC=5 cm,∴点B在☉A内,点D在☉A上,点C在☉A外.
12.如图,AD为△ABC外接圆的直径,AD⊥BC,垂足为点F,∠ABC的平分线交AD于点E,连接BD,CD.
(1)求证:BD=CD;
(2)请判断B,E,C三点是否在以D为圆心,以DB为半径的圆上 并说明理由.
【解析】(1)∵AD为△ABC外接圆的直径,AD⊥BC,
∴由垂径定理得=,
∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得:BD=CD.
(2)B,E,C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上.
理由:由(1)知:=,∴∠1=∠2,
又∵∠2=∠3,∴∠1=∠3,
∵BE是∠ABC的平分线,
∴∠4=∠5,
∵∠DBE=∠3+∠4,∠DEB=∠1+∠5,
∴∠DBE=∠DEB,
∴DB=DE.
由(1)知:BD=CD,
∴DB=DE=DC,
∴B,E,C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上.
【C层 素养冲A+(选做)】
13.以下为一个合作学习小组在一次数学研讨中的过程记录,请阅读后完成下方的问题.
试题分析:
(Ⅰ)如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是△ABC外一点,且AD=AC.求∠BDC的度数.
小丽:我发现AB=AC=AD.则点B,C,D到点A的距离相等,所以点B,C,D在以点A为圆心、线段AB长为半径的圆上……
猜想证明
(Ⅱ)如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D,A在BC同侧.
猜想:若∠BDC= ,则点D在以点A为圆心、线段AB长为半径的圆上.
对于这个猜想的证明,小华有自己的想法:
以点A为圆心,AB长为半径画圆.根据点与圆的位置关系,知道点D可能在☉A内,或点D在☉A上,或点D在☉A外.故只要证明点D不在☉A内,也不在☉A外,就可以确定点D一定在☉A上.
(Ⅲ)进一步猜想:
如图2,在△ABC中,∠BAC=β,AB=AC,点D,A在BC同侧.若∠BDC= ,则点D在以点A为圆心、线段AB长为半径的圆上.
(Ⅳ)对(Ⅲ)中的猜想进行证明.
问题1.完成(Ⅰ)中的求解过程;
问题2.补全猜想证明中的两个猜想:
(Ⅱ) ;(Ⅲ) .
问题3.证明上面(Ⅲ)中的猜想.
【解析】问题1:
如图,
∵AB=AC=AD,∴点B,C,D在以A为圆心,AB长为半径的圆上,
∴∠BDC=∠BAC,
∵∠BAC=90°,∴∠BDC=45°;
问题2:由问题1可知:在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D,A在BC同侧,
若∠BDC=45°,则点D在以点A为圆心、线段AB长为半径的圆上,
同理,由问题1可知:在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D,A在BC同侧,
若∠BDC=β,则点D在以点A为圆心、线段AB长为半径的圆上.
答案:(Ⅱ)45° (Ⅲ)β
问题3:
若点D在☉A外,如图,
∵点E在☉A上,∴∠BEC=∠A=β,
∵∠BEC>∠BDC,∠BDC=β,
∴点D在☉A外不成立,
若点D在☉A内,如图,
∵点E在☉A上,∴∠BEC=∠A=β,
又∵∠BEC<∠BDC,∠BDC=β,
∴点D在☉A内不成立,
综上所述,点D在☉A上.24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
【A层 基础夯实】
知识点1 点和圆的位置关系
1.已知点P在半径为5 cm的圆内,则点P到圆心的距离可以是 ()
A.2 cm B.5 cm C.6 cm D.7 cm
2.点P是非圆上一点,若点P到☉O上的点的最小距离是4 cm,最大距离是9 cm,则☉O的半径是 .
3.如图,点O到直线AB的距离为8 cm,点C,D都在直线AB上,OA⊥AB,若AD=6 cm,CD=2 cm,AB=5 cm,以O为圆心,10 cm为半径作圆,试判断A,B,C,D四点与☉O的位置关系.
知识点2 三角形的外接圆
4.如图,已知点O是△ABC的外心,∠A=40°,连接BO,CO,则∠BOC的度数是 ( )
A.60° B.70° C.80° D.90°
5.如图,☉O的半径为1,△ABC内接于☉O.若∠A=60°,∠B=75°,则AB= .
知识点3 反证法
6.我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°”.假设三角形中没有一个内角小于或等于60°,即三个内角都大于60°,则三角形的三个内角的和大于180°.这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾,所以在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°.上述推理使用的证明方法是( )
A.反证法 B.比较法
C.综合法 D.分析法
7.用反证法证明命题“若☉O的半径为r,点P到圆心的距离为d,且d>r,则点P在☉O的外部”,首先应假设 .
【B层 能力进阶】
8.如图,☉O是Rt△ABC的外接圆,OE⊥AB交☉O于点E,垂足为点D,AE,CB的延长线交于点F.若OD=3,AB=8,则FC的长是( )
A.10 B.8 C.6 D.4
9.如图,点A,B的坐标分别为A(2,0),B(0,2),点C为坐标平面内一点,BC=1,点M为线段AC的中点,连接OM,则OM的最大值为( )
A.+1 B.+
C.2+1 D.2-
10.如图,抛物线y=x2-4与x轴交于A,B两点,P是以点C(0,3)为圆心,2为半径的圆上的动点,Q是线段PA的中点,连接OQ.则线段OQ的最大值是 .
11.如图,已知矩形ABCD的边AB=3 cm、BC=4 cm,以点A为圆心,4 cm为半径作☉A,则点B,C,D与☉A有怎样的位置关系.
12.如图,AD为△ABC外接圆的直径,AD⊥BC,垂足为点F,∠ABC的平分线交AD于点E,连接BD,CD.
(1)求证:BD=CD;
(2)请判断B,E,C三点是否在以D为圆心,以DB为半径的圆上 并说明理由.
【C层 素养冲A+(选做)】
13.以下为一个合作学习小组在一次数学研讨中的过程记录,请阅读后完成下方的问题.
试题分析:
(Ⅰ)如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是△ABC外一点,且AD=AC.求∠BDC的度数.
小丽:我发现AB=AC=AD.则点B,C,D到点A的距离相等,所以点B,C,D在以点A为圆心、线段AB长为半径的圆上……
猜想证明
(Ⅱ)如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D,A在BC同侧.
猜想:若∠BDC= ,则点D在以点A为圆心、线段AB长为半径的圆上.
对于这个猜想的证明,小华有自己的想法:
以点A为圆心,AB长为半径画圆.根据点与圆的位置关系,知道点D可能在☉A内,或点D在☉A上,或点D在☉A外.故只要证明点D不在☉A内,也不在☉A外,就可以确定点D一定在☉A上.
(Ⅲ)进一步猜想:
如图2,在△ABC中,∠BAC=β,AB=AC,点D,A在BC同侧.若∠BDC= ,则点D在以点A为圆心、线段AB长为半径的圆上.
(Ⅳ)对(Ⅲ)中的猜想进行证明.
问题1.完成(Ⅰ)中的求解过程;
问题2.补全猜想证明中的两个猜想:
(Ⅱ) ;(Ⅲ) .
问题3.证明上面(Ⅲ)中的猜想.
