24.2.2 直线和圆的位置关系
第1课时
【A层 基础夯实】
知识点1 判定直线和圆的位置关系
1.已知☉O的半径是6,圆心到直线l的距离d=5,则直线l与☉O的位置关系是 (C)
A.相离 B.相切 C.相交 D.无法判断
2.在平面直角坐标系中,以点A(2,1)为圆心,1为半径的圆与y轴的位置关系是 (A)
A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定
3.在Rt△ABC,∠BAC=90°,AB=8,AC=6,以A为圆心,半径长度为4.8的圆与直线BC的公共点的个数为 1 .
4.已知☉O的半径是一元二次方程x2-7x+12=0的一个根,圆心O到直线l的距离d=3,则直线l与☉O的位置关系是 相交或相切 .
5.如图所示,正方形ABCD的边长为2,AC和BD相交于点O,过O作EF∥AB,交BC于E,交AD于F,则以点B为圆心,为半径的圆与直线AC,EF的位置关系分别是什么
【解析】由题中已知条件,得BO⊥AC,BO=BD==,即点B到AC的距离为,与☉B的半径相等,
∴直线AC与☉B相切.
∵EF∥AB,∠ABC=90°,
∴BE⊥EF,垂足为E,且BE=BC=×2=1<,∴直线EF与☉B相交.
知识点2 根据直线和圆的位置关系求值
6.若直线l与半径为4的☉O相交,则圆心O到直线l的距离d可能为 (A)
A.3 B.4 C.4.5 D.5
7. (名师原创)已知矩形ABCD中,AB=4,BC=3,以点B为圆心,r为半径作圆,且☉B与边CD有唯一公共点,则r的取值范围是 3≤r≤5 .
8.已知圆心O到直线m的距离为d,☉O的半径为r.
(1)当d,r是方程x2-9x+20=0的两根时,判断直线m与☉O的位置关系.
(2)当d,r是方程x2-4x+p=0的两根时,直线m与☉O相切,求p的值.
【解析】(1)解方程x2-9x+20=0得 d=5,r=4或d=4,r=5,
当d=5,r=4时,d>r,此时直线m与☉O相离;
当d=4,r=5时,d
(2)当直线m与☉O相切时,d=r,
即16-4p=0,解得p=4.
【B层 能力进阶】
9.☉O的半径为5,点A在直线l上.若OA=5,则直线l与☉O的位置关系是(C)
A.相切 B.相交 C.相切或相交 D.相离
10.如图,已知☉O圆心是数轴原点,半径为1,∠AOB=45°,点P在数轴上运动,若过点P且与OA平行的直线与☉O有公共点,设OP=x,则x的取值范围是 (C)
A.-1≤x≤1 B.-≤x≤
C.0
11.如图所示,在直角坐标系中,A点坐标为(-3,-2),☉A的半径为1,P为x轴上一动点,PQ切☉A于点Q,则当PQ最小时,P点的坐标为(D)
A.(-4,0) B.(-2,0)
C.(-4,0)或(-2,0) D.(-3,0)
12.如图,P是抛物线y=x2-4x+3上的一动点,以P为圆心,1个单位长度为半径作☉P,且☉P与x轴相切,满足条件的圆共有 3 个.
13.如图,已知∠APB=30°,OP=3 cm,☉O的半径为1 cm,若圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动.
(1)当圆心O移动的距离为1 cm时,则☉O与直线PA的位置关系是什么
(2)若圆心O的移动距离是d,当☉O与直线PA相交时,则d的取值范围是什么
【解析】(1)如图,当点O向左移动1 cm时,PO'=PO-O'O=3-1=2(cm),
作O'C⊥PA于C,
∵∠P=30°,
∴O'C=PO'=1 cm,
∵圆的半径为1 cm,
∴☉O与直线PA的位置关系是相切;
(2)如图,当点O由O'向左继续移动时,PA与圆相交,
当移动到O″时,相切,
此时O″P=PO'=2 cm,
∵OP=3 cm,
∴OO'=1 cm,OO″=OP+O″P=3+2=5(cm).
∴点O移动的距离d的范围满足1 cm【C层 素养冲A+(选做)】
14.我们在研究问题时,可以改变研究的对象,提出一些新的问题,解决这些新的问题又可以获得一些新的发现.比如,研究了“直线与圆的位置关系”后,我们可以这样改变研究的对象:
(1)把研究对象“直线”改为“射线”,可以提出下面的问题:
如图是射线AB和☉O.改变射线AB的位置,如果以它们公共点的个数情况以及端点A与O的位置关系作为标准,请尝试将射线AB和O的位置关系进行分类(要求:每一种类型画出一个示意图).
(2)把研究对象“圆”改为“正方形”,可以提出下面的问题:
①在直线和正方形的各种位置关系中,它们的公共点个数有哪几种情况
②已知正方形ABCD的边长是1,其中心到直线l的距离是d,当正方形ABCD与直线l有且只有一个公共点时,d的取值范围是 .
【解析】(1)共6种情况,如图①~图⑥.
(2)①公共点个数共有4种情况:没有公共点,1个公共点,2个公共点,无数个公共点;
②由题意,作出图形如下:
由题可知,BC=1,设O是正方形的中心.
则OB=·=,
所以答案:素养提升攻略
数学史料
阿基米德折弦定理
阿基米德(Archimedes,公元前287~公元前212年,古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一,他与牛顿、高斯并称为三大数学王子.阿拉伯Al-Binmi(973~1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容,苏联在1964年根据Al-Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》,第一题就是阿基米德折弦定理.
阿基米德折弦定理:如图1,AB和BC是☉O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦),AB>BC,D是的中点,则从D向AB所作垂线的垂足E是折弦ABC的中点,即AE=EB+BC.
素养训练15推理能力、模型观念、几何直观
下面是运用“补短法”证明AE=EB+BC的部分证明过程.
证明:如图2,延长CB到点F,使得CF=AE,连接DA,DB,DC和DF.
∵D是的中点,∴DA=DC.
任务:
(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分;
(2)已知等边△ABC内接于☉O,AB=6,D为☉O上一点,∠ABD=45°,AE⊥BD于点E,求△BDC的周长是 .
【解析】(1)证明:如题图2,延长CB到点F,使得CF=AE,连接DA,DB,DC和DF.
∵D是的中点,∴DA=DC,
∵∠A=∠C,AE=CF,∴△ADE≌△CDF(SAS),
∴DE=DF,∠F=∠DEA,∵DE⊥AB,∴∠F=∠DEB=90°,
∵DB=DB,∴Rt△DBF≌Rt△DBE(HL),
∴BF=BE,
∴CF=BC+BF=BC+BE,
∴AE=BC+BE;
(2)如图,等边△ABC内接于☉O,
∵AB=AC=BC=6,
∴=,
∵AE⊥BD,
∴BE=DE+CD,
∵∠ABE=45°,
∴△ABE是等腰直角三角形,
∴BE=AB=3,
∴△BDC的周长=BD+CD+BC=2BE+BC=6+6.
答案:6+6
涨知识了
垂距点
点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上,过点P向x轴,y轴作垂线段,若垂线段的长度的和为4,则点P叫做“垂距点”.
素养训练16运算能力、几何直观、模型观念
阅读上面的材料,回答下列问题:
(1)在点A(2,2),B(,-),C(-1,5)中,是“垂距点”的点为 ;
(2)求函数y=2x+3的图象上的“垂距点”的坐标;
(3)☉T的圆心T的坐标为(1,0),半径为r.若☉T上存在“垂距点”,则r的取值范围是 .
【解析】(1)∵|2|+|2|=4, ||+|-|=4,|-1|+|5|=6≠4,∴是“垂距点”的点为A,B.
答案:A,B
(2)设函数y=2x+3的图象上的“垂距点”的坐标(a,2a+3),依题意得,|a|+|2a+3|=4.
①当a>0时,a+(2a+3)=4,解得a=,∴此时“垂距点”的坐标为(,);
②当-③当a<-时,-a-(2a+3)=4,解得a=-,
∴此时“垂距点”的坐标为(-,-).
∴综上所述,函数y=2x+3的图象上的“垂距点”的坐标是(,),(-,-).
(3)设“垂距点”的坐标为(x,y),则|x|+|y|=4(xy≠0),
当x>0,y>0时,x+y=4,即y=-x+4(0当x<0,y>0时,-x+y=4,即y=x+4(-4当x<0,y<0时,-x-y=4,即y=-x-4(-4当x>0,y<0时,x-y=4,即y=x-4(0画出该函数图象,如图所示.
当☉T与DE相切时,过点T作TN⊥直线DE于点N,易证△DNT为等腰直角三角形,
∴TN=TD=×|4-1|=;当☉T过点F(-4,0)时,☉T上不存在“垂距点”,
此时r=FT=|1-(-4)|=5.∴若☉T上存在“垂距点”,则r的取值范围是答案:第1课时
【A层 基础夯实】
知识点1 判定直线和圆的位置关系
1.已知☉O的半径是6,圆心到直线l的距离d=5,则直线l与☉O的位置关系是 ( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.无法判断
2.在平面直角坐标系中,以点A(2,1)为圆心,1为半径的圆与y轴的位置关系是 ( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定
3.在Rt△ABC,∠BAC=90°,AB=8,AC=6,以A为圆心,半径长度为4.8的圆与直线BC的公共点的个数为 .
4.已知☉O的半径是一元二次方程x2-7x+12=0的一个根,圆心O到直线l的距离d=3,则直线l与☉O的位置关系是 .
5.如图所示,正方形ABCD的边长为2,AC和BD相交于点O,过O作EF∥AB,交BC于E,交AD于F,则以点B为圆心,为半径的圆与直线AC,EF的位置关系分别是什么
知识点2 根据直线和圆的位置关系求值
6.若直线l与半径为4的☉O相交,则圆心O到直线l的距离d可能为 ( )
A.3 B.4 C.4.5 D.5
7. (名师原创)已知矩形ABCD中,AB=4,BC=3,以点B为圆心,r为半径作圆,且☉B与边CD有唯一公共点,则r的取值范围是 .
8.已知圆心O到直线m的距离为d,☉O的半径为r.
(1)当d,r是方程x2-9x+20=0的两根时,判断直线m与☉O的位置关系.
(2)当d,r是方程x2-4x+p=0的两根时,直线m与☉O相切,求p的值.
【B层 能力进阶】
9.☉O的半径为5,点A在直线l上.若OA=5,则直线l与☉O的位置关系是( )
A.相切 B.相交 C.相切或相交 D.相离
10.如图,已知☉O圆心是数轴原点,半径为1,∠AOB=45°,点P在数轴上运动,若过点P且与OA平行的直线与☉O有公共点,设OP=x,则x的取值范围是 ( )
A.-1≤x≤1 B.-≤x≤
C.0
11.如图所示,在直角坐标系中,A点坐标为(-3,-2),☉A的半径为1,P为x轴上一动点,PQ切☉A于点Q,则当PQ最小时,P点的坐标为( )
A.(-4,0) B.(-2,0)
C.(-4,0)或(-2,0) D.(-3,0)
12.如图,P是抛物线y=x2-4x+3上的一动点,以P为圆心,1个单位长度为半径作☉P,且☉P与x轴相切,满足条件的圆共有 个.
13.如图,已知∠APB=30°,OP=3 cm,☉O的半径为1 cm,若圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动.
(1)当圆心O移动的距离为1 cm时,则☉O与直线PA的位置关系是什么
(2)若圆心O的移动距离是d,当☉O与直线PA相交时,则d的取值范围是什么
【C层 素养冲A+(选做)】
14.我们在研究问题时,可以改变研究的对象,提出一些新的问题,解决这些新的问题又可以获得一些新的发现.比如,研究了“直线与圆的位置关系”后,我们可以这样改变研究的对象:
(1)把研究对象“直线”改为“射线”,可以提出下面的问题:
如图是射线AB和☉O.改变射线AB的位置,如果以它们公共点的个数情况以及端点A与O的位置关系作为标准,请尝试将射线AB和O的位置关系进行分类(要求:每一种类型画出一个示意图).
(2)把研究对象“圆”改为“正方形”,可以提出下面的问题:
①在直线和正方形的各种位置关系中,它们的公共点个数有哪几种情况
②已知正方形ABCD的边长是1,其中心到直线l的距离是d,当正方形ABCD与直线l有且只有一个公共点时,d的取值范围是 .
素养提升攻略
数学史料
阿基米德折弦定理
阿基米德(Archimedes,公元前287~公元前212年,古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一,他与牛顿、高斯并称为三大数学王子.阿拉伯Al-Binmi(973~1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容,苏联在1964年根据Al-Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》,第一题就是阿基米德折弦定理.
阿基米德折弦定理:如图1,AB和BC是☉O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦),AB>BC,D是的中点,则从D向AB所作垂线的垂足E是折弦ABC的中点,即AE=EB+BC.
素养训练15推理能力、模型观念、几何直观
下面是运用“补短法”证明AE=EB+BC的部分证明过程.
证明:如图2,延长CB到点F,使得CF=AE,连接DA,DB,DC和DF.
∵D是的中点,∴DA=DC.
任务:
(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分;
(2)已知等边△ABC内接于☉O,AB=6,D为☉O上一点,∠ABD=45°,AE⊥BD于点E,求△BDC的周长是 .
涨知识了
垂距点
点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上,过点P向x轴,y轴作垂线段,若垂线段的长度的和为4,则点P叫做“垂距点”.
素养训练16运算能力、几何直观、模型观念
阅读上面的材料,回答下列问题:
(1)在点A(2,2),B(,-),C(-1,5)中,是“垂距点”的点为 ;
(2)求函数y=2x+3的图象上的“垂距点”的坐标;
(3)☉T的圆心T的坐标为(1,0),半径为r.若☉T上存在“垂距点”,则r的取值范围是 .