24.2.2 直线和圆的位置关系
第2课时
【A层 基础夯实】
知识点1 圆的切线的判定
1.已知☉O的半径为5,直线EF经过☉O上一点P(点E,F在点P的两旁),下列条件能判定直线EF与☉O相切的是 ( )
A.OP=5
B.OE=OF
C.O到直线EF的距离是4
D.OP⊥EF
2.如图,AB是☉O的直径,AD,BD是弦,点P在BA的延长线上,且∠PDA=∠PBD,求证:PD是☉O的切线.
知识点2 切线的性质
3.如图,AB是☉O的切线,B为切点,AO与☉O交于点C,若∠ABC=35°,则∠OCB的度数为( )
A.65° B.55° C.35° D.50°
4.(2022·河池中考)如图,AB是☉O的直径,PA与☉O相切于点A,∠ABC=25°,OC的延长线交PA于点P,则∠P的度数是 ( )
A.25° B.35° C.40° D.50°
5.如图,☉O与AB相切于点B,连接AO交☉O于点E,过点B作BF∥OA交☉O于点F,连接EF.若∠A=40°,则∠OEF的度数为 .
6.如图,OA是☉O的半径,BC是☉O的弦,OA⊥BC于点D,AE是☉O的切线,AE交OC的延长线于点E.若∠AOC=45°,BC=2,则线段AE的长为 .
7.如图,AB,CD是☉O中两条互相垂直的直径,垂足为O,E为上一点,连接AE交CD于点M,过点E作☉O的切线,分别交DC,AB的延长线于F,G.
(1)求证:EF=MF;
(2)若☉O的半径为6,FE=8,求AM的长.
【B层 能力进阶】
8.如图所示,AB为☉O的直径,C,D是☉O上的点,CD⊥AB,垂足为点G,∠CDB=30°,过点C作☉O的切线交AB延长线于点E,在不添加辅助线的情况下,角度为30°的角的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
9.如图,AB是☉O的直径,AC是弦,CD与AB交于点E.☉O的切线CF交AB的延长线于点F,且CF=EF.
(1)求证:点D是的中点;
(2)连接BD,取BD的中点G,连接AG.若CF=8,BF=4,求AG的长.
【
10.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点D,过点D作EF⊥AC于点E,交AB的延长线于点F.
(1)求证:EF是☉O的切线;
(2)当AB=5,BC=6时,求DE的长.
【C层 素养冲A+(选做)】
11.如图,在平面直角坐标系中,AB∥OC,A(0,2),C(-4,0),且AB=2.以BC为直径作☉O1交OC于点D,过点D作直线DE交线段OA于点E,且∠EDO=30°.
(1)求证:DE是☉O1的切线;
(2)若线段BC上存在一点P,使以点P为圆心,PC为半径的☉P与y轴相切,求点P的坐标.24.2.2 直线和圆的位置关系
第2课时
【A层 基础夯实】
知识点1 圆的切线的判定
1.已知☉O的半径为5,直线EF经过☉O上一点P(点E,F在点P的两旁),下列条件能判定直线EF与☉O相切的是 (D)
A.OP=5
B.OE=OF
C.O到直线EF的距离是4
D.OP⊥EF
2.如图,AB是☉O的直径,AD,BD是弦,点P在BA的延长线上,且∠PDA=∠PBD,求证:PD是☉O的切线.
【解析】连接OD,如图,
∵AB是☉O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠ODA+∠BDO=90°.
∵OD=OB,
∴∠OBD=∠ODB,
∴∠ODA+∠OBD=90°.
∵∠PDA=∠PBD,
∴∠ODA+∠PDA=90°,
∴∠ODP=90°,
∴OD⊥PD.
∵OD为☉O的半径,
∴PD是☉O的切线.
知识点2 切线的性质
3.如图,AB是☉O的切线,B为切点,AO与☉O交于点C,若∠ABC=35°,则∠OCB的度数为(B)
A.65° B.55° C.35° D.50°
4.(2022·河池中考)如图,AB是☉O的直径,PA与☉O相切于点A,∠ABC=25°,OC的延长线交PA于点P,则∠P的度数是 (C)
A.25° B.35° C.40° D.50°
5.如图,☉O与AB相切于点B,连接AO交☉O于点E,过点B作BF∥OA交☉O于点F,连接EF.若∠A=40°,则∠OEF的度数为 25° .
6.如图,OA是☉O的半径,BC是☉O的弦,OA⊥BC于点D,AE是☉O的切线,AE交OC的延长线于点E.若∠AOC=45°,BC=2,则线段AE的长为 .
7.如图,AB,CD是☉O中两条互相垂直的直径,垂足为O,E为上一点,连接AE交CD于点M,过点E作☉O的切线,分别交DC,AB的延长线于F,G.
(1)求证:EF=MF;
(2)若☉O的半径为6,FE=8,求AM的长.
【解析】(1)如图,连接OE,
∵CD⊥AB,∠COA=90°,
∴∠A+∠AMO=90°,
∵EF是☉O的切线,
∴∠OEF=90°,即∠OEA+∠FEM=90°,
∵OA=OE,
∴∠A=∠OEA,
∴∠AMO=∠FEM,
又∵∠AMO=∠FME,
∴∠FEM=∠FME,
∴FE=FM;
(2)由(1)知∠OEF=90°,
∵OE=6,FE=8,
∴OF==10,
由(1)知FE=FM,
∴FM=FE=8,
∴OM=OF-FM=2,
∴在Rt△AOM中,AM==2,
即AM的长为2.
【B层 能力进阶】
8.如图所示,AB为☉O的直径,C,D是☉O上的点,CD⊥AB,垂足为点G,∠CDB=30°,过点C作☉O的切线交AB延长线于点E,在不添加辅助线的情况下,角度为30°的角的个数为(D)
A.2 B.3 C.4 D.5
9.如图,AB是☉O的直径,AC是弦,CD与AB交于点E.☉O的切线CF交AB的延长线于点F,且CF=EF.
(1)求证:点D是的中点;
(2)连接BD,取BD的中点G,连接AG.若CF=8,BF=4,求AG的长.
【解析】(1)连接OC,OD,
∵OC=OD,
∴∠OCD=∠ODC,
∵CF=EF,
∴∠FCE=∠FEC=∠OED,
∵CF是☉O的切线,
∴OC⊥CF,
∴∠OCD+∠FCE=90°,
∴∠ODC+∠OED=90°,
∴∠DOE=90°,
∴∠DOE=∠AOD=90°,
∴点D是的中点;
(2)作GH⊥AB于H点.
设☉O的半径为r,则OF=r+4,
在Rt△COF中,OC2+CF2=OF2,
∴r2+82=(r+4)2,
解得r=6,
∵OD⊥AB,GH⊥AB,
∴GH∥OD,
∵G是BD的中点,
∴GH是△OBD的中位线,
∴BH=OB=3,GH=OD=3,
∴AH=AB-BH=9,
在Rt△AHG中,AH2+HG2=AG2,
∴AG==3.
10.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点D,过点D作EF⊥AC于点E,交AB的延长线于点F.
(1)求证:EF是☉O的切线;
(2)当AB=5,BC=6时,求DE的长.
【解析】(1)∵AB=AC,∴∠C=∠OBD,
∵OD=OB,∴∠1=∠OBD,
∴∠1=∠C,∴OD∥AC,
∵EF⊥AC,∴EF⊥OD,且OD为☉O的半径,
∴EF是☉O的切线;
(2)连接AD,∵AB为☉O的直径,
∴∠ADB=90°,
又∵AB=AC,且BC=6,
∴CD=BD=BC=3,
在Rt△ACD中,AC=AB=5,CD=3,
根据勾股定理得:AD==4,
又S△ACD=AC·ED=AD·CD,
即×5·ED=×4×3,
∴ED=.
即DE的长为.
【C层 素养冲A+(选做)】
11.如图,在平面直角坐标系中,AB∥OC,A(0,2),C(-4,0),且AB=2.以BC为直径作☉O1交OC于点D,过点D作直线DE交线段OA于点E,且∠EDO=30°.
(1)求证:DE是☉O1的切线;
(2)若线段BC上存在一点P,使以点P为圆心,PC为半径的☉P与y轴相切,求点P的坐标.
【解析】(1)连接O1D,BD,如图,
∵A(0,2),C(-4,0),
∴OA=2,OC=4.
∵以BC为直径作☉O1交OC于点D,
∴∠BDC=90°.
∵AB∥OC,OC⊥OA,
∴AB⊥OA,
∴四边形ABDO为矩形,
∴OD=AB=2,BD=OA=2,
∴CD=OC-OD=2,
∴BC==4,
∴O1C=O1D=2,
∴△O1CD为等边三角形,
∴∠O1CD=∠O1DC=60°,
∵∠EDO=30°,
∴∠O1DE=180°-∠O1DC-∠EDO=90°,
∴O1D⊥DE,
∵O1D为☉O1的半径,
∴DE是☉O1的切线;
(2)∵线段BC上存在一点P,使以点P为圆心,PC为半径的☉P与y轴相切,
∴点P到y轴的距离等于PC.
过点P作PF⊥y轴于点F,PH⊥x轴于点H,如图,
则PF=PC.
由(1)知:∠BCO=60°,
∴CH=PC,PH=PC.
∵PF⊥y轴,PH⊥x轴,OA⊥OC,
∴四边形PHOF为矩形,
∴OH=PF=PC,
∴OC=CH+OH=PC+PC=4,
∴PC=,
∴PF=OH=,PH=×=,
∴点P的坐标为(-,).
