24.2.2 直线和圆的位置关系
第3课时
【A层 基础夯实】
知识点1 切线长定理
1.如图,从☉O外一点P引☉O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B.如果∠APB=60°,PA=8,那么弦AB的长是 (B)
A.4 B.8 C.4 D.8
2.如图,PA,PB,DE分别切☉O于A,B,C,DE分别交PA,PB于D,E,已知PA=PB=8 cm,则△PDE的周长为 (A)
A.16 cm B.14 cm C.12 cm D.8 cm
3.如图,AB是☉O的直径,点C为☉O外一点,CA,CD是☉O的切线,A,D为切点,连接BD,AD.若∠ACD=48°,则∠DBA的大小是(D)
A.32° B.48° C.60° D.66°
4.如图,已知:四边形ABCD是☉O的外切四边形,G,H,E,F分别是切点,求证:AD+BC=AB+CD.
【证明】∵四边形ABCD是☉O的外切四边形,
∴AH=AE,BE=BF,CF=CG,DH=DG,
∴AH+DH+BF+CF=AE+DG+BE+CG,
即AD+BC=AB+CD.
知识点2 内切圆及其内心的性质
5.如图,☉O是△ABC的内切圆,D,E是切点,∠A=50°,∠C=60°,则∠DOE= (B)
A.70° B.110° C.120° D.130°
6.直角三角形的两条直角边长分别是5和12,则它的内切圆半径为 2 .
7.如图,I是△ABC的内心,AI的延长线交边BC于点D,交△ABC的外接圆于点E.
(1)BE与IE相等吗 请说明理由.
(2)连接BI,CI,CE,若∠BED=∠CED=60°,猜想四边形BECI是何种特殊四边形,并证明你的猜想.
【解析】(1)如图1,连接BI,
∵I是△ABC的内心,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∵∠BIE=∠1+∠3,∠IBE=∠5+∠4,
而∠5=∠2=∠1,∴∠BIE=∠IBE,
∴IE=BE.
(2)四边形BECI是菱形,
如图2,∵∠BED=∠CED=60°,
∴∠ABC=∠ACB=60°,
∴BE=CE,
∵I是△ABC的内心,
∴∠4=∠ABC=30°,∠ICD=30°,
∴∠4=∠ICD,
∴BI=IC,
由(1)证得IE=BE,∵∠BED=60°,
∴BE=CE=BI=IC,
∴四边形BECI是菱形.
【B层 能力进阶】
8.如图所示,☉O内切于△ABC,切点分别为点D,点E,点F,已知AB=BC,∠B=40°,连接DE,EF,则∠DEF的度数为(B)
A.40° B.55° C.65° D.70°
9.如图,在一张Rt△ABC纸片中,∠ACB=90°,BC=5,AC=12,☉O是它的内切圆.小明用剪刀沿着☉O的切线DE剪下一块三角形ADE,则△ADE的周长为 (D)
A.19 B.17 C.22 D.20
10.(名师原创)如图,四边形ABCD内接于☉O,点I是△ABC的内心,∠AIC=124°,点E在AD的延长线上,则∠CDE的度数为 68° .
11.如图,矩形ABCO的顶点A,C分别在x轴、y轴上,点B的坐标为(4,3),☉M是△AOC的内切圆,点N、点P分别是☉M,x轴上的动点,则BP+PN的最小值是 4 .
12.已知,如图,AB为☉O的直径,△ABC内接于☉O,BC>AC,点P是△ABC的内心,延长CP交☉O于点D,连接BP.
(1)求证:BD=PD;
(2)已知☉O的半径是3,CD=8,求BC的长.
【解析】(1)∵AB为☉O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵点P是△ABC的内心,
∴∠ACD=∠BCP=45°,∠CBP=∠EBP,
∴∠ABD=∠ACD=45°,
∵∠DPB=∠BCP+∠CBP=45°+∠CBP,∠DBP=∠ABD+∠EBP=45°+∠EBP,
∴∠DPB=∠DBP,
∴BD=PD;
(2)连接AD,过点B作BH⊥CD于H,如图所示:
∵AB是直径,∠ABD=45°,
∴AB=6,△ABD是等腰直角三角形,
∴BD=AB=×6=6,
∵∠BCD=45°,BH⊥CD,
∴∠BCH=∠CBH=45°,
∴BH=CH,∴BC=BH,
∵BD2=DH2+BH2,
∴36=(8-BH)2+BH2,
∴BH=4±,∵BC>AC,
∴BC=4+2.
【C层 素养冲A+(选做)】
13.如图,已知∠xOy=90°,线段AB=10,若点A在Oy上滑动,点B随着线段AB在射线Ox上滑动(A,B与O不重合),Rt△AOB的内切圆☉K分别与OA,OB,AB切于E,F,P.
(1)在上述变化过程中:Rt△AOB的周长,☉K的半径,△AOB的外接圆半径,这几个量中不会发生变化的是什么 并简要说明理由;
(2)当AE=4时,求☉K的半径r;
(3)当Rt△AOB的面积为S,AE为x,试求:S与x之间的函数关系,并求出S最大时直角边OA的长.
【解析】(1)不会发生变化的是△AOB的外接圆半径,
∵∠AOB=90°,
∴AB是△AOB的外接圆的直径,
AB的长不变,即△AOB的外接圆半径不变;
(2)☉K与Rt△AOB相切于E,F,P,连接EK,KF,
∴∠KEO=∠OFK=∠O=90°,
∴四边形EOFK是矩形,
又∵OE=OF,
∴四边形EOFK是正方形,
∴OE=OF=r,AE=AP=4,
∴PB=BF=6,
在Rt△AOB中,(4+r)2+(6+r)2=100,
∴r=-12(不符合题意),r=2;
(3)设AO=b,OB=a,☉K与Rt△AOB三边相切于E,F,P,
∴OE=r=,即2(b-x)+10=a+b,∴10-2x=a-b,
∴100-40x+4x2=a2+b2-2ab,
∵S=ab,
∴ab=2S,a2+b2=102,
∴100-40x+4x2=100-4S,
∴S=-x2+10x=-(x-5)2+25,
∵当x=5时,S最大,即AE=BF=5,∴OA==5.
另一解法:(x+r)2+(10-x+r)2=100,
∴r2+10r=-x2+10x,
S=·r(OA+OB+AB)=r(r+x+10-x+r+10)=r(20+2r)=r2+10r,
∴S=r2+10r=-x2+10x,
又∵S=-x2+10x=-(x-5)2+25,
当x=5时,S最大,即AE=BF=5,
∴OA==5.
素养提升攻略
涨知识了
弦切角及弦切角定理
人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2 000多年前,由我国的墨子给出圆的概念:“圆,一中同长也.”意思是说,圆有一个圆心,圆心到圆周的长都相等,这个定义比古希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100多年.与圆有关的定理有很多,弦切角定理就是其中之一,我们把顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角,弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数.
素养训练17推理能力、几何直观、模型观念
【证明】
在证明时,细心的小高考虑了三种情况,圆心在弦切角∠PAB的一条边上,圆心在弦切角外,圆心在弦切角内.如图1,PA与☉O相切于点A,AB为直径,当圆心O在AB上时,容易得到∠PAB=90°,所以弦切角∠PAB=∠C=90°.请帮助小高继续解决下面的问题.
(1)如图2,PA是☉O的切线,A为切点,AC为直径,∠PAB夹弧所对的圆周角为∠C,求证:∠PAB=∠C.
(2)如图3,PA是☉O的切线,A为切点,∠PAB夹弧所对的圆周角为∠C.求证:∠PAB=∠C.
【解决问题】
(3)如图4,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点E,过点B作☉O的切线,交AC的延长线于点D.直接写出∠CBD与∠CAB的数量关系: .
【解析】(1)∵PA是☉O的切线,A为切点,
∴∠PAC=90°,
∴∠PAB+∠BAC=90°,
∵AC是直径,
∴∠ABC=90°,
∴∠C+∠BAC=90°,
∴∠PAB=∠C.
(2)如图,作直径AD,连接CD,
由(1)同理得,∠PAD=∠ACD,
∵∠BAD=∠BCD,∴∠PAB=∠ACB.
(3)连接AE,
由(1)知,∠DBC=∠BAE,
∵AB是直径,∴∠AEB=90°,
∵AB=AC,∴∠BAC=2∠BAE,
∴∠BAC=2∠CBD.
答案:∠BAC=2∠CBD
数学史料
数学瑰宝——《九章算术》
《九章算术》是中国传统数学重要的著作,确定了中国传统数学的基本框架,以计算为中心的特点,密切联系实际,以解决人们生产、生活中的数学问题为目的的风格.其影响之深,以致以后中国数学著作大体采取两种形式:或为之作注,或仿其体例成书。
素养训练18运算能力、几何直观、推理能力
《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有下列问题:“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何 ”其意思是:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形内能容纳的最大圆的直径是多少 ”
【解析】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=15,☉I与△ABC的三边分别相切于点D,E,F,连接IA,IB,IC,ID,IE,IF,∴AB===17,
∵S△ABC=AC·BC=AC·ID+BC·IE+AB·IF,
∴8×15=(8+15+17)×ID,∴ID=3,即内切圆半径为3步,∴内切圆直径为6步.24.2.2 直线和圆的位置关系
第3课时
【A层 基础夯实】
知识点1 切线长定理
1.如图,从☉O外一点P引☉O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B.如果∠APB=60°,PA=8,那么弦AB的长是 ( )
A.4 B.8 C.4 D.8
2.如图,PA,PB,DE分别切☉O于A,B,C,DE分别交PA,PB于D,E,已知PA=PB=8 cm,则△PDE的周长为 ( )
A.16 cm B.14 cm C.12 cm D.8 cm
3.如图,AB是☉O的直径,点C为☉O外一点,CA,CD是☉O的切线,A,D为切点,连接BD,AD.若∠ACD=48°,则∠DBA的大小是( )
A.32° B.48° C.60° D.66°
4.如图,已知:四边形ABCD是☉O的外切四边形,G,H,E,F分别是切点,求证:AD+BC=AB+CD.
知识点2 内切圆及其内心的性质
5.如图,☉O是△ABC的内切圆,D,E是切点,∠A=50°,∠C=60°,则∠DOE= ( )
A.70° B.110° C.120° D.130°
6.直角三角形的两条直角边长分别是5和12,则它的内切圆半径为 .
7.如图,I是△ABC的内心,AI的延长线交边BC于点D,交△ABC的外接圆于点E.
(1)BE与IE相等吗 请说明理由.
(2)连接BI,CI,CE,若∠BED=∠CED=60°,猜想四边形BECI是何种特殊四边形,并证明你的猜想.
【B层 能力进阶】
8.如图所示,☉O内切于△ABC,切点分别为点D,点E,点F,已知AB=BC,∠B=40°,连接DE,EF,则∠DEF的度数为( )
A.40° B.55° C.65° D.70°
9.如图,在一张Rt△ABC纸片中,∠ACB=90°,BC=5,AC=12,☉O是它的内切圆.小明用剪刀沿着☉O的切线DE剪下一块三角形ADE,则△ADE的周长为 ( )
A.19 B.17 C.22 D.20
10.(名师原创)如图,四边形ABCD内接于☉O,点I是△ABC的内心,∠AIC=124°,点E在AD的延长线上,则∠CDE的度数为 .
11.如图,矩形ABCO的顶点A,C分别在x轴、y轴上,点B的坐标为(4,3),☉M是△AOC的内切圆,点N、点P分别是☉M,x轴上的动点,则BP+PN的最小值是 .
12.已知,如图,AB为☉O的直径,△ABC内接于☉O,BC>AC,点P是△ABC的内心,延长CP交☉O于点D,连接BP.
(1)求证:BD=PD;
(2)已知☉O的半径是3,CD=8,求BC的长.
【C层 素养冲A+(选做)】
13.如图,已知∠xOy=90°,线段AB=10,若点A在Oy上滑动,点B随着线段AB在射线Ox上滑动(A,B与O不重合),Rt△AOB的内切圆☉K分别与OA,OB,AB切于E,F,P.
(1)在上述变化过程中:Rt△AOB的周长,☉K的半径,△AOB的外接圆半径,这几个量中不会发生变化的是什么 并简要说明理由;
(2)当AE=4时,求☉K的半径r;
(3)当Rt△AOB的面积为S,AE为x,试求:S与x之间的函数关系,并求出S最大时直角边OA的长.
素养提升攻略
涨知识了
弦切角及弦切角定理
人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2 000多年前,由我国的墨子给出圆的概念:“圆,一中同长也.”意思是说,圆有一个圆心,圆心到圆周的长都相等,这个定义比古希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100多年.与圆有关的定理有很多,弦切角定理就是其中之一,我们把顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角,弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数.
素养训练17推理能力、几何直观、模型观念
【证明】
在证明时,细心的小高考虑了三种情况,圆心在弦切角∠PAB的一条边上,圆心在弦切角外,圆心在弦切角内.如图1,PA与☉O相切于点A,AB为直径,当圆心O在AB上时,容易得到∠PAB=90°,所以弦切角∠PAB=∠C=90°.请帮助小高继续解决下面的问题.
(1)如图2,PA是☉O的切线,A为切点,AC为直径,∠PAB夹弧所对的圆周角为∠C,求证:∠PAB=∠C.
(2)如图3,PA是☉O的切线,A为切点,∠PAB夹弧所对的圆周角为∠C.求证:∠PAB=∠C.
【解决问题】
(3)如图4,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点E,过点B作☉O的切线,交AC的延长线于点D.直接写出∠CBD与∠CAB的数量关系: .
数学史料
数学瑰宝——《九章算术》
《九章算术》是中国传统数学重要的著作,确定了中国传统数学的基本框架,以计算为中心的特点,密切联系实际,以解决人们生产、生活中的数学问题为目的的风格.其影响之深,以致以后中国数学著作大体采取两种形式:或为之作注,或仿其体例成书。
素养训练18运算能力、几何直观、推理能力
《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有下列问题:“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何 ”其意思是:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形内能容纳的最大圆的直径是多少 ”
