24.3 正多边形和圆
【A层 基础夯实】
知识点1 正多边形的有关概念及计算
1.若一个圆内接正多边形的中心角是36°,则这个多边形是 (C)
A.正五边形 B.正八边形
C.正十边形 D.正十八边形
2.(2022·成都中考)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,若☉O的周长等于6π,则正六边形的边长为 (C)
A. B. C.3 D.2
知识点2 正多边形的性质、判断及画法
3.如图,以正五边形ABCDE的边CD为边作等边三角形CDF,使点F在其内部,连接FE,则∠DFE的大小是 (B)
A.76° B.66° C.60° D.48°
4.若一个正多边形的边长等于它的外接圆的半径,则这个正多边形是正 六 边形.
5.如图,四边形ABCD是☉O的内接矩形,点E,F分别在射线AB,AD上,OE=OF,且点C,E,F在一条直线上,EF与☉O相切于点C.
(1)求证:矩形ABCD是正方形;
(2)若OF=10,求正方形ABCD的面积.
【解析】(1)如图,连接AC,
∵四边形ABCD是☉O的内接矩形,
∴AC是☉O的直径,
∵EF与☉O相切于点C,∴AC⊥EF,
∵OE=OF,
∴CF=CE,∠FOC=∠EOC,
∴∠AOF=∠AOE,
∵OA=OA,
∴△AOF≌△AOE(SAS),
∴AF=AE,
∵四边形ABCD是矩形,∴∠FAE=90°,
∴AC=EF=CF=CE,
∴∠CAE=45°,
∵∠ABC=90°,
∴∠ACB=45°,
∴AB=CB,
∴矩形ABCD是正方形;
(2)∵OC=AC,AC=CF,
∴CF=2OC,
∵OF=10,OF2=OC2+CF2,
∴102=OC2+4OC2,
∴OC=2,
∴AB=OC=2,
∴AB2=40,
∴正方形ABCD的面积是40.
【B层 能力进阶】
6.蜂巢结构精巧,其巢房横截面的形状均为正六边形.如图是部分巢房的横截面图,图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙,将其放在平面直角坐标系中,点P,Q,M均为正六边形的顶点.若点P,Q的坐标分别为(-2,3),(0,-3),则点M的坐标为 (A)
A.(3,-2) B.(3,2)
C.(2,-3) D.(-2,-3)
7.如图,点A,B,C,D为一个正多边形的顶点,点O为正多边形的中心,若∠ADB=18°,则这个正多边形的边数为 (A)
A.10 B.12 C.15 D.20
8.如图,在正八边形ABCDEFGH中,AB=2,连接AD,AF,则△ADF的面积为 4+3 .
9.(名师原创)如图,正五边形ABCDE和正三角形APQ都内接于☉O,则所对圆心角的度数为 24 °.
10.如图,在正六边形ABCDEF中,AB=6,点M在边AF上,且AM=2.若经过点M的直线l将正六边形面积平分,则直线l被正六边形所截的线段长是 4 .
11.(1)已知:如图1,△ABC是☉O的内接正三角形,点P为劣弧BC上一动点.
求证:PA=PB+PC;
(2)已知:如图2,四边形ABCD是☉O的内接正方形,点P为劣弧BC上一动点.
求证:PA=PC+PB.
【解析】(1)延长BP至E,使PE=PC,连接CE,如图1,
∵A,B,P,C四点共圆,∴∠BAC+∠BPC=180°,
∵∠BPC+∠EPC=180°,
∴∠BAC=∠CPE=60°,∵PE=PC,
∴△PCE是等边三角形,
∴CE=PC,∠E=60°;
又∵∠BCE=60°+∠BCP,∠ACP=60°+∠BCP,
∴∠BCE=∠ACP,
∵△ABC,△ECP为等边三角形,
∴CE=PC,AC=BC,
在△BEC和△APC中,,
∴△BEC≌△APC(SAS),
∴PA=BE=PB+PC;
(2)过点B作BE⊥PB交PA于E,连接OA,OB.如图2,
∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠3,
∵∠APB=∠AOB=45°,
∴BP=BE,
∴PE=PB,
在△ABE和△CBP中,
∴△ABE≌△CBP(SAS),
∴PC=AE,
∴PA=AE+PE=PC+PB.
12.如图①,②,③,正三角形ABC,正方形ABCD,正五边形ABCDE分别是☉O的内接三角形、内接四边形、内接五边形,点M,N分别从点B,C开始,以相同的速度在☉O上逆时针运动.
(1)求图①中∠APB的度数;
(2)图②中∠APB的度数是 ,图③中∠APB的度数是 ;
(3)根据前面探索,你能否将本题推广到一般的正n边形情况 若能,写出推广问题和结论;若不能,请说明理由.
【解析】(1)∠APB=120°.
∵△ABC是正三角形,
∴∠ABC=60°.
∵点M,N分别从点B,C开始以相同的速度在☉O上逆时针运动,
∴∠BAM=∠CBN,
又∵∠APN=∠BPM,
∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°,
∴∠APB=180°-∠APN=120°.
(2)同理可得:题图②中的∠APB=90°;题图③中的∠APB=72°.
答案:90° 72°
(3)由(1)可知,∠APB=所在多边形的外角度数,故在正n边形中,∠APB=.
【C层 素养冲A+(选做)】
13.如图所示正六边形ABCDEF是一创意花坛,AB=20 m.点G,H,M,N,P,Q分别在该正六边形的六条边上,且AG=BH=CM=DN=EP=FQ,现计划在六边形GHMNPQ内种植花卉,在剩余部分的六个全等三角形内种植草皮.
(1)该正六边形花坛ABCDEF的面积是 m2(直接写出答案即可);
(2)求当AG的值为多少时,草皮的种植面积最大 最大面积是多少(提示:过点G作AQ的垂线)
【解析】(1)如图,令正六边形的中心为O,连接OA,OB,过点O作OT⊥AB,垂足为T,
∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴∠AOB==60°,
又∵OA=OB,
∴△AOB是正三角形,
∴OA=OB=AB=20 m,
∴OT=OB=10(m),
∴S正六边形ABCDEF=6S△AOB
=6××20×10
=600(m2).
答案:600
(2)如图,过点G作GS⊥AF,垂足为S,
则∠GAS==60°,
∴∠AGS=30°,
设AG=x m,则AS=x m,
∴SG==x(m),
∵AG=FQ,AB=AF,
∴AQ=BG=(20-x)m,
设种植草皮的面积为S1 m2,
∴S1=6S△AGQ
=6××(20-x)×x
=-x2+30x
=-(x-10)2+150,
∵a=-<0,
∴当x=10时,S1的值最大,最大值为150,
答:当AG=10 m时,草皮的种植面积最大,最大面积为150 m2.24.3 正多边形和圆
【A层 基础夯实】
知识点1 正多边形的有关概念及计算
1.若一个圆内接正多边形的中心角是36°,则这个多边形是 ( )
A.正五边形 B.正八边形
C.正十边形 D.正十八边形
2.(2022·成都中考)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,若☉O的周长等于6π,则正六边形的边长为 ( )
A. B. C.3 D.2
知识点2 正多边形的性质、判断及画法
3.如图,以正五边形ABCDE的边CD为边作等边三角形CDF,使点F在其内部,连接FE,则∠DFE的大小是 ( )
A.76° B.66° C.60° D.48°
4.若一个正多边形的边长等于它的外接圆的半径,则这个正多边形是正 边形.
5.如图,四边形ABCD是☉O的内接矩形,点E,F分别在射线AB,AD上,OE=OF,且点C,E,F在一条直线上,EF与☉O相切于点C.
(1)求证:矩形ABCD是正方形;
(2)若OF=10,求正方形ABCD的面积.
【B层 能力进阶】
6.蜂巢结构精巧,其巢房横截面的形状均为正六边形.如图是部分巢房的横截面图,图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙,将其放在平面直角坐标系中,点P,Q,M均为正六边形的顶点.若点P,Q的坐标分别为(-2,3),(0,-3),则点M的坐标为 ( )
A.(3,-2) B.(3,2)
C.(2,-3) D.(-2,-3)
7.如图,点A,B,C,D为一个正多边形的顶点,点O为正多边形的中心,若∠ADB=18°,则这个正多边形的边数为 ( )
A.10 B.12 C.15 D.20
8.如图,在正八边形ABCDEFGH中,AB=2,连接AD,AF,则△ADF的面积为 .
9.(名师原创)如图,正五边形ABCDE和正三角形APQ都内接于☉O,则所对圆心角的度数为 °.
10.如图,在正六边形ABCDEF中,AB=6,点M在边AF上,且AM=2.若经过点M的直线l将正六边形面积平分,则直线l被正六边形所截的线段长是 .
11.(1)已知:如图1,△ABC是☉O的内接正三角形,点P为劣弧BC上一动点.
求证:PA=PB+PC;
(2)已知:如图2,四边形ABCD是☉O的内接正方形,点P为劣弧BC上一动点.
求证:PA=PC+PB.
12.如图①,②,③,正三角形ABC,正方形ABCD,正五边形ABCDE分别是☉O的内接三角形、内接四边形、内接五边形,点M,N分别从点B,C开始,以相同的速度在☉O上逆时针运动.
(1)求图①中∠APB的度数;
(2)图②中∠APB的度数是 ,图③中∠APB的度数是 ;
(3)根据前面探索,你能否将本题推广到一般的正n边形情况 若能,写出推广问题和结论;若不能,请说明理由.
【C层 素养冲A+(选做)】
13.如图所示正六边形ABCDEF是一创意花坛,AB=20 m.点G,H,M,N,P,Q分别在该正六边形的六条边上,且AG=BH=CM=DN=EP=FQ,现计划在六边形GHMNPQ内种植花卉,在剩余部分的六个全等三角形内种植草皮.
(1)该正六边形花坛ABCDEF的面积是 m2(直接写出答案即可);
(2)求当AG的值为多少时,草皮的种植面积最大 最大面积是多少(提示:过点G作AQ的垂线)
