24.4 弧长和扇形面积
第1课时
【A层 基础夯实】
知识点1 弧长、扇形公式的简单应用
1.如图,在☉O中,∠C=30°,OA=2,则的长为 ( )
A. B. C. D.π
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8,以点C为圆心,CA的长为半径画弧,交AB于点D,则的长为 ( )
A.π B.π C.π D.2π
3.如图,某小区要绿化一扇形OAB空地,准备在小扇形OCD内种花,在其余区域内(阴影部分)种草,测得∠AOB=120°,OA=15 m,OC=10 m,则种草区域的面积为 ( )
A. m2 B. m2 C. m2 D. m2
4.若一个扇形的圆心角为60°,面积为 cm2,则这个扇形的弧长为 cm(结果保留π).
5.扇形的弧长等于半径为1的圆的周长,面积等于半径为2的圆的面积,则此扇形的圆心角为 .
知识点2 弧长、扇形公式综合应用
6.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,连接AC,AC=AD,若∠ABC=130°,☉O的半径为9,则劣弧CD的长为 ( )
A.4π B.8π C.9π D.18π
7.完成下列问题:
(1)如图甲,扇形OAB的半径为1,以O为圆心的弧CD平分扇形OAB的面积,求OC的长;
(2)如图乙,在扇形OAB中,以O为圆心作弧CD(点C在OA上,点D在OB上),使弧CD平分扇形OAB的面积.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
【B层 能力进阶】
8.“莱洛三角形”也称为圆弧三角形,它是工业生产中广泛使用的一种图形.如图,分别以等边△ABC的三个顶点为圆心,以边长为半径画弧,三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”.若等边△ABC的边长为3,则该“莱洛三角形”的周长等于 ( )
A.π B.3π C.2π D.2π-
9.如图,正六边形ABCDEF的外接圆☉O的半径为2,过圆心O的两条直线l1,l2的夹角为60°,则图中阴影部分的面积为 ( )
A.π- B.π- C.π- D.π-
10.(2022·河池中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,将Rt△ABC绕点B顺时针旋转90°得到Rt△A'B'C'.在此旋转过程中Rt△ABC所扫过的面积为( )
A.25π+24 B.5π+24 C.25π D.5π
11.如图,在☉O中,弦AB⊥BC,AB=6,BC=8,D是上一点,弦AD与BC所夹的锐角度数是72°,则劣弧BD的长为 .
12.如图,已知AB为☉O的直径,CD是弦,AB⊥CD,垂足为点E,OF⊥AC,垂足为点F,BE=OF.
(1)求证:AC=CD;
(2)若BE=4,CD=8,求阴影部分的面积.
【C层 素养冲A+(选做)】
13.如图,已知AD是☉O的直径,B,C为圆上的点,OE⊥AB,BC⊥AD,垂足分别为E,F.
(1)求证:2OE=CD;
(2)若∠BAD+∠EOF=150°,AD=6,求阴影部分的面积.24.4 弧长和扇形面积
第1课时
【A层 基础夯实】
知识点1 弧长、扇形公式的简单应用
1.如图,在☉O中,∠C=30°,OA=2,则的长为 (A)
A. B. C. D.π
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8,以点C为圆心,CA的长为半径画弧,交AB于点D,则的长为 (B)
A.π B.π C.π D.2π
3.如图,某小区要绿化一扇形OAB空地,准备在小扇形OCD内种花,在其余区域内(阴影部分)种草,测得∠AOB=120°,OA=15 m,OC=10 m,则种草区域的面积为 (B)
A. m2 B. m2 C. m2 D. m2
4.若一个扇形的圆心角为60°,面积为 cm2,则这个扇形的弧长为 cm(结果保留π).
5.扇形的弧长等于半径为1的圆的周长,面积等于半径为2的圆的面积,则此扇形的圆心角为 90° .
知识点2 弧长、扇形公式综合应用
6.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,连接AC,AC=AD,若∠ABC=130°,☉O的半径为9,则劣弧CD的长为 (B)
A.4π B.8π C.9π D.18π
7.完成下列问题:
(1)如图甲,扇形OAB的半径为1,以O为圆心的弧CD平分扇形OAB的面积,求OC的长;
(2)如图乙,在扇形OAB中,以O为圆心作弧CD(点C在OA上,点D在OB上),使弧CD平分扇形OAB的面积.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
【解析】(1)由题可知,=,
∴==,∴=,
∵OA=1,∴OC=.
(2)如图,先画出线段OA的垂直平分线即可得到点H,
再取HG=OH,可得到等腰直角△OHG,
则OG=OH=OA,
以OG为半径,O为圆心画弧即可得到.
【B层 能力进阶】
8.“莱洛三角形”也称为圆弧三角形,它是工业生产中广泛使用的一种图形.如图,分别以等边△ABC的三个顶点为圆心,以边长为半径画弧,三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”.若等边△ABC的边长为3,则该“莱洛三角形”的周长等于 (B)
A.π B.3π C.2π D.2π-
9.如图,正六边形ABCDEF的外接圆☉O的半径为2,过圆心O的两条直线l1,l2的夹角为60°,则图中阴影部分的面积为 (C)
A.π- B.π- C.π- D.π-
10.(2022·河池中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,将Rt△ABC绕点B顺时针旋转90°得到Rt△A'B'C'.在此旋转过程中Rt△ABC所扫过的面积为(A)
A.25π+24 B.5π+24 C.25π D.5π
11.如图,在☉O中,弦AB⊥BC,AB=6,BC=8,D是上一点,弦AD与BC所夹的锐角度数是72°,则劣弧BD的长为 π .
12.如图,已知AB为☉O的直径,CD是弦,AB⊥CD,垂足为点E,OF⊥AC,垂足为点F,BE=OF.
(1)求证:AC=CD;
(2)若BE=4,CD=8,求阴影部分的面积.
【解析】(1)∵AB为☉O的直径,AB⊥CD,
∴=,CE=CD,
∴∠A=∠DCB,∵OF⊥AC,
∴∠AFO=∠CEB,AF=AC,∵BE=OF,
∴△AFO≌△CEB(AAS),
∴AF=CE,∴AC=CD;
(2)∵AB为☉O的直径,AB⊥CD,
∴CE=CD=4,
设OC=r,则OE=r-4,
∴r2=(r-4)2+(4)2,∴r=8,
连接OD,如图,
在Rt△OEC中,OE=4=OC,
∴∠OCE=30°,∠COE=60°,
∴∠COD=120°,
∴S阴影=S扇形OCD-S△OCD
=-×8×4
=π-16.
【C层 素养冲A+(选做)】
13.如图,已知AD是☉O的直径,B,C为圆上的点,OE⊥AB,BC⊥AD,垂足分别为E,F.
(1)求证:2OE=CD;
(2)若∠BAD+∠EOF=150°,AD=6,求阴影部分的面积.
【解析】(1)连接BD,∵AD是☉O的直径,BC是☉O的弦,BC⊥AD,
∴BF=CF,=,∴BD=CD,
∵OE⊥AB,AB是☉O的弦,∴AE=BE,
∵AO=DO,∴OE是△ABD的中位线,
∴BD=2OE,∴2OE=CD;
(2)如图,连接BO,CO,∵OE⊥AB,
∴∠AEO=90°,
∵∠EOF=∠BAD+∠AEO,∠BAD+∠EOF=150°,
∴∠BAD=30°,
∵OA=OB,
∴∠ABO=∠BAD=30°,
∴∠AOB=180°-∠BAD-∠ABO=120°,
∴∠BOD=180°-∠AOB=60°,
∵OB=OD,
∴△BOD是等边三角形,
∵BC⊥AD,
∴OF=DF=OD,∠BFO=90°,
∵=,
∴∠COD=∠BOD=60°,
∵AD=6,
∴AO=BO=CO=DO=AD=3,
∴OE=OA=,OF=DF=OD=,
∴BF===,AF=OA+OF=3+=,
∴CF=BF=,
∴S阴影=S☉O+S△CDF-S△ABF=π·32+××-××=π-,
∴阴影部分的面积为π-.
