24.4 弧长和扇形面积
第2课时
【A层 基础夯实】
知识点1 圆锥的侧面积和全面积
1.(2022·柳州中考)如图,圆锥底面圆的半径AB=4,母线长AC=12,则这个圆锥的侧面积为 ( )
A.16π B.24π C.48π D.96π
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以AC所在直线为轴,把△ABC旋转1周,得到圆锥,则该圆锥的侧面积为 ( )
A.12π B.15π C.20π D.24π
3.(教材再开发·P114例3拓展)蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成.如图是一个蒙古包的示意图,底面圆半径DE=2 m,圆锥的高AC=1.5 m,圆柱的高CD=2.5 m,则下列说法错误的是 ( )
A.圆柱的底面积为4π m2
B.圆柱的侧面积为10π m2
C.圆锥的母线AB长为2.25 m
D.圆锥的侧面积为5π m2
知识点2 圆锥几何量的计算
4.如图,以正六边形ABCDEF的顶点A为圆心,AB为半径作☉A,与正六边形ABCDEF重合的扇形部分恰好是一个圆锥侧面展开图,则该圆锥的底面半径与母线长之比为 ( )
A. B. C. D.
5.(名师原创)若一个圆锥侧面展开图的圆心角是270°,圆锥母线l与底面半径r之间的函数关系图象大致是 ( )
6.一个圆锥的全面积为40π cm2,底面圆的半径是4 cm,则圆锥侧面展开图的圆心角是 度.
7.已知如图,扇形AOB的圆心角为120°,半径OA为9 cm.
(1)求扇形AOB的弧长和面积;
(2)若把扇形纸片AOB卷成一个圆锥形无底纸帽,求这个纸帽的高OH.
【B层 能力进阶】
8.如图所示,矩形纸片ABCD中,AD=15 cm,把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后,分别裁出扇形ABF和半径最大的圆,恰好能作为一个圆锥的侧面和底面,则AB的长为( )
A.7.5 cm B.8 cm C.9 cm D.10 cm
9.如图,在菱形纸片ABCD中,AB=6,∠ABC=60°,分别剪出扇形ABC和☉O,恰好能作为一个圆锥的侧面和底面.若点O在BD上,则BO的最大值是 ( )
A.6-1 B.6-2
C.3+1 D.3+2
10.在△ABC中,AC=3,AB=4,BC边上的高AD=2,将△ABC绕着BC所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为 .
11.如图,在 ABCD中,AB=+1,BC=2,AH⊥CD,垂足为H,AH=.以点A为圆心,AH长为半径画弧,与AB,AC,AD分别交于点E,F,G.若用扇形AEF围成一个圆锥的侧面,记这个圆锥底面圆的半径为r1;用扇形AHG围成另一个圆锥的侧面,记这个圆锥底面圆的半径为r2,则r1-r2= .(结果保留根号)
12.如图,在等腰△ABC中,∠BAC=120°,AD是∠BAC的平分线,且AD=6,以点A为圆心,AD长为半径画,交AB于点E,交AC于点F.
(1)求由及线段FC,CB,BE围成图形(图中阴影部分)的面积;
(2)将阴影部分剪掉,余下扇形AEF,将扇形AEF围成一个圆锥的侧面,AE与AF正好重合,圆锥侧面无重叠,求这个圆锥的高h.
【C层 素养冲A+(选做)】
13.如图,把两个扇形OAB与扇形OCD的圆心重合叠放在一起,且∠AOB=∠COD,连接AC,BD.
(1)求证:△AOC≌△BOD;
(2)若OA=5 cm,OC=3 cm,弧AB的长为3π cm,弧CD的长为1.8π cm,求阴影部分的面积;
(3)在(2)的条件下求由扇形OAB围成的圆锥的高.
素养提升攻略
文化体验
割圆术
刘徽把圆内接正六边形各边所对的弧平分,作出圆内接正十二边形,利用勾股定理求出它的边长.同理,可以求出圆内接正二十四、四十八、九十六边形的边长.内接正多边形的边数越多,求出的圆周率数值也就越准确.这就是刘徽的“割圆术”.
“割圆术”用折线逐步逼近曲线,用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆面积,这种用有限来逼近无限的方法,不仅提供了比较精确的圆周率的数值,而且为后来计算圆周率的人们奠定了坚实可靠的理论基础.
素养训练19运算能力、推理能力、几何直观
(2023·福建中考)如图,☉O的半径为1,运用“割圆术”,以圆内接正六边形面积近似估计☉O的面积,可得π的估计值为,若用圆内接正十二边形作近似估计,可得π的估计值为 ( )
A. B.2 C.3 D.2
涨知识了
模型思想
模型 图示
数学 原理 直角三角形沿其边所在直线旋转一周可以得到圆锥,旋转轴不同所得圆锥也不同.
素养训练20运算能力、推理能力、几何直观
如图,若△ABC为等腰直角三角形,其中∠ABC=90°,AB=BC=2 cm,将等腰Rt△ABC绕其斜边AC所在直线旋转一周,求所得几何体的全面积.24.4 弧长和扇形面积
第2课时
【A层 基础夯实】
知识点1 圆锥的侧面积和全面积
1.(2022·柳州中考)如图,圆锥底面圆的半径AB=4,母线长AC=12,则这个圆锥的侧面积为 (C)
A.16π B.24π C.48π D.96π
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以AC所在直线为轴,把△ABC旋转1周,得到圆锥,则该圆锥的侧面积为 (C)
A.12π B.15π C.20π D.24π
3.(教材再开发·P114例3拓展)蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成.如图是一个蒙古包的示意图,底面圆半径DE=2 m,圆锥的高AC=1.5 m,圆柱的高CD=2.5 m,则下列说法错误的是 (C)
A.圆柱的底面积为4π m2
B.圆柱的侧面积为10π m2
C.圆锥的母线AB长为2.25 m
D.圆锥的侧面积为5π m2
知识点2 圆锥几何量的计算
4.如图,以正六边形ABCDEF的顶点A为圆心,AB为半径作☉A,与正六边形ABCDEF重合的扇形部分恰好是一个圆锥侧面展开图,则该圆锥的底面半径与母线长之比为 (C)
A. B. C. D.
5.(名师原创)若一个圆锥侧面展开图的圆心角是270°,圆锥母线l与底面半径r之间的函数关系图象大致是 (B)
6.一个圆锥的全面积为40π cm2,底面圆的半径是4 cm,则圆锥侧面展开图的圆心角是 240 度.
7.已知如图,扇形AOB的圆心角为120°,半径OA为9 cm.
(1)求扇形AOB的弧长和面积;
(2)若把扇形纸片AOB卷成一个圆锥形无底纸帽,求这个纸帽的高OH.
【解析】(1)扇形AOB的弧长==6π(cm),
S扇形AOB==27π(cm2);
(2)∵扇形AOB的弧长为6π cm,
∴圆锥的底面周长为6π cm,
∴圆锥的底面半径为3 cm,
∴OH==6(cm).
【B层 能力进阶】
8.如图所示,矩形纸片ABCD中,AD=15 cm,把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后,分别裁出扇形ABF和半径最大的圆,恰好能作为一个圆锥的侧面和底面,则AB的长为(D)
A.7.5 cm B.8 cm C.9 cm D.10 cm
9.如图,在菱形纸片ABCD中,AB=6,∠ABC=60°,分别剪出扇形ABC和☉O,恰好能作为一个圆锥的侧面和底面.若点O在BD上,则BO的最大值是 (B)
A.6-1 B.6-2
C.3+1 D.3+2
10.在△ABC中,AC=3,AB=4,BC边上的高AD=2,将△ABC绕着BC所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为 14π .
11.如图,在 ABCD中,AB=+1,BC=2,AH⊥CD,垂足为H,AH=.以点A为圆心,AH长为半径画弧,与AB,AC,AD分别交于点E,F,G.若用扇形AEF围成一个圆锥的侧面,记这个圆锥底面圆的半径为r1;用扇形AHG围成另一个圆锥的侧面,记这个圆锥底面圆的半径为r2,则r1-r2= .(结果保留根号)
12.如图,在等腰△ABC中,∠BAC=120°,AD是∠BAC的平分线,且AD=6,以点A为圆心,AD长为半径画,交AB于点E,交AC于点F.
(1)求由及线段FC,CB,BE围成图形(图中阴影部分)的面积;
(2)将阴影部分剪掉,余下扇形AEF,将扇形AEF围成一个圆锥的侧面,AE与AF正好重合,圆锥侧面无重叠,求这个圆锥的高h.
【解析】(1)∵在等腰△ABC中,∠BAC=120°,
∴∠B=30°,
∵AD是∠BAC的平分线,
∴AD⊥BC,BD=CD,
∴BD=AD=6,
∴BC=2BD=12,
∴由及线段FC,CB,BE围成图形(图中阴影部分)的面积=S△ABC-S扇形EAF=×6×12-=36-12π;
((2)设圆锥的底面圆的半径为r,
根据题意得2πr=,解得r=2,
这个圆锥的高h==4.
【C层 素养冲A+(选做)】
13.如图,把两个扇形OAB与扇形OCD的圆心重合叠放在一起,且∠AOB=∠COD,连接AC,BD.
(1)求证:△AOC≌△BOD;
(2)若OA=5 cm,OC=3 cm,弧AB的长为3π cm,弧CD的长为1.8π cm,求阴影部分的面积;
(3)在(2)的条件下求由扇形OAB围成的圆锥的高.
【解析】(1)∵∠AOB=∠COD,
∴∠DOB=∠COA,
∵OA=OB,OC=OD,
∴△AOC≌△BOD(SAS);
(2)∵△AOC≌△BOD,
∴S阴影=S扇形OAB-S扇形OEF
=S扇形OAB-S扇形OCD
=×3π×5-×1.8π×3
=7.5π-2.7π
=4.8π(cm2);
(3)设圆锥底面半径为r cm,高为h cm,
则2πr=3π,
∴r=,
∴h==(cm),
答:由扇形OAB围成的圆锥的高为 cm.
素养提升攻略
文化体验
割圆术
刘徽把圆内接正六边形各边所对的弧平分,作出圆内接正十二边形,利用勾股定理求出它的边长.同理,可以求出圆内接正二十四、四十八、九十六边形的边长.内接正多边形的边数越多,求出的圆周率数值也就越准确.这就是刘徽的“割圆术”.
“割圆术”用折线逐步逼近曲线,用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆面积,这种用有限来逼近无限的方法,不仅提供了比较精确的圆周率的数值,而且为后来计算圆周率的人们奠定了坚实可靠的理论基础.
素养训练19运算能力、推理能力、几何直观
(2023·福建中考)如图,☉O的半径为1,运用“割圆术”,以圆内接正六边形面积近似估计☉O的面积,可得π的估计值为,若用圆内接正十二边形作近似估计,可得π的估计值为 (C)
A. B.2 C.3 D.2
涨知识了
模型思想
模型 图示
数学 原理 直角三角形沿其边所在直线旋转一周可以得到圆锥,旋转轴不同所得圆锥也不同.
素养训练20运算能力、推理能力、几何直观
如图,若△ABC为等腰直角三角形,其中∠ABC=90°,AB=BC=2 cm,将等腰Rt△ABC绕其斜边AC所在直线旋转一周,求所得几何体的全面积.
【解析】作BF⊥AC,由题意知,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=2 cm,∴AC 2=AB2+BC2=16,
∴AC=4 cm,以BF为半径的圆的周长=2π×2=4π(cm),
得到的几何体的全面积为×4π(AB+BC)=×4π×4=8π(cm2).
