25.2 用列举法求概率
第2课时
知识点1 用画树状图求事件概率
1.甲、乙两人通过“抓阄”来决定谁能得到仅有的一张球票,他们准备了两张完全相同的纸条,其中一张上画了个“☆”,另一张空白,将两张纸条揉成大小相同的小团后混在一起,按“先甲后乙”的顺序随机各取一个纸团,谁取到的纸团上画有“☆”,谁得到球票.下列对这一“抓阄”规则分析正确的是( )
A.甲得到球票的概率大
B.乙得到球票的概率大
C.甲、乙得到球票的概率一样大
D.无法判断谁得到球票的概率大
2.(2023·齐齐哈尔中考)某校举办文艺汇演,在主持人选拔环节中,有一名男同学和三名女同学表现优异.若从以上四名同学中随机抽取两名同学担任主持人,则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是( )
A. B. C. D.
3.(2024·长春期末)A,B,C,D四名选手参加赛跑,赛场共设1,2,3,4四条跑道,选手以随机抽签方式决定各自的跑道,请用画树状图或列表的方法,求A,B两位选手抽中相邻跑道的概率.
知识点2 概率的应用
4.甲、乙、丙、丁四名同学围坐在一起商讨问题.如图是丙的座位,另外三人随机坐到①,②,③的任意一个座位上.则甲和丁相邻的概率是( )
A. B. C. D.
5.在一个不透明的口袋中装有2个红球,2个黑球,这些球除颜色外其他都相同,随机地从这个袋子中一次摸出两个球,则摸到两个球都是红球的概率是 .
6.小李和小王两位同学做游戏,在一个不透明的口袋中放入1个红球、2个白球、1个黑球,这些球除颜色外都相同,将球摇匀.
(1)从中任意摸出1个球,恰好摸到红球的概率是多少
(2)两人约定:从袋中一次摸出两个球,若摸出的两个球是一红一黑,则小李获胜;若摸出的两个球都是白色,则小王获胜,请用列举法(画树状图或列表)分析游戏规则是否公平.
7.(名师原创)将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中,则恰有一个篮子为空的概率为( )
A. B. C. D.
8.如图,有4张大小、形状、背面完全相同的扑克牌,小康和小新玩扑克游戏:小新将这4张扑克牌背面朝上洗匀后放在桌面上,让小康随机抽取一张(不放回)记下牌面上的数字.小新从中抽取一张,再记下牌面上的数字,则他俩抽到的两张扑克牌正面上的数字之和恰好是奇数的概率为( )
A. B. C. D.
9.在如图所示的圆形图案中,黑白两色的直角三角形都全等.甲、乙两人将它作为一个游戏盘,游戏规则如下:按一定距离向盘中投镖一次(扎不中游戏盘重新投镖),扎在黑色区域为甲胜,扎在白色区域为乙胜,则这个游戏( )
A.对双方公平 B.对甲有利
C.对乙有利 D.无法确定公平性
10.口袋中有30个大小、质地相同的小球,其中红球n个,黑球3n个,其余为绿球.甲从袋中任意摸出1个,若为红球则甲得1分;甲将摸出的球放回袋中,乙再从袋中摸出1个,若为绿球则乙得1分.谁先得10分谁获胜.要使游戏对甲、乙双方公平,则n的值是 .
11.把1枚质地均匀的普通硬币重复掷三次,落地后三次都是正面朝上的概率是 .
12.一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的小球,其中2个红球,2个白球,摇匀后从中一次性摸出两个小球.
(1)请用列表或画树状图的方法列出所有可能性;
(2)若摸到两个小球的颜色相同,甲获胜;摸到两个小球颜色不同,乙获胜.这个游戏对甲、乙双方公平吗 请说明理由.
13.体育课上小强、小东、小智三人练习踢足球,足球从一人传到另一人就记为踢一次.
(1)如果从小强开始踢,踢两次后,踢到小智处的概率是多少 (请用树状图求解)
(2)请用树状图说明,踢了三次后,要使踢到小强处的概率最小,应该从谁开始踢
素养提升攻略
文化体验
罚与免
一休得罪了幕府将军,将军决定处罚一休,幸得安国寺长老和百姓们的求情,将军终于同意让一休用自己的聪明才智来决定自己的命运.方法是:将军用纸写下两张签,一张罚,一张免,让一休抽签,抽中罚则罚,抽中免则免.将军一心想处罚一休,那么将军会在写签时怎样写呢 原来将军在两张签上都写上了“罚”,一休不论抽到哪一张,都一样要受到惩罚……爱动脑筋的一休早就料到了这一点,你觉得一休应该用什么办法应对狡诈的幕府将军呢
素养训练21几何直观、抽象能力、推理能力
现有4个红球,请你设计摸球游戏.
(1)使摸球事件是个不可能事件;
(2)使摸球事件是个必然事件.
开放探索
“放回与不放回问题”求概率
模型 特点
有放回抽取 第一次抽取后有放回,故第二次抽取不受第一次的影响﹒
不放回抽取 若题目中出现“不放回”或者“随机抽取两个”这样的字眼,则该题目属于不放回抽取.不放回抽取问题中第一次抽取到的元素,第二次就抽取不到了.
素养训练22推理能力、数据意识、应用意识
在课间活动时,甲,乙两同学做了一个数字游戏:有三张正面写有数字-1,0,1的卡片,它们背面完全相同,将这三张卡片背面朝上洗匀后,甲随机抽取一张,将其正面的数字作为m的值.然后将卡片背面朝上放回并洗匀,乙再从这三张卡片中随机抽取一张,将其正面的数字作为n的值,两次结果记为(m,n).
(1)请你帮这两位同学用树状图或列表法表示(m,n)所有可能的结果;
(2)求满足关于x的一元二次方程x2+mx+n=0没有实数根的概率.25.2 用列举法求概率
第2课时
知识点1 用画树状图求事件概率
1.甲、乙两人通过“抓阄”来决定谁能得到仅有的一张球票,他们准备了两张完全相同的纸条,其中一张上画了个“☆”,另一张空白,将两张纸条揉成大小相同的小团后混在一起,按“先甲后乙”的顺序随机各取一个纸团,谁取到的纸团上画有“☆”,谁得到球票.下列对这一“抓阄”规则分析正确的是(C)
A.甲得到球票的概率大
B.乙得到球票的概率大
C.甲、乙得到球票的概率一样大
D.无法判断谁得到球票的概率大
2.(2023·齐齐哈尔中考)某校举办文艺汇演,在主持人选拔环节中,有一名男同学和三名女同学表现优异.若从以上四名同学中随机抽取两名同学担任主持人,则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是(A)
A. B. C. D.
3.(2024·长春期末)A,B,C,D四名选手参加赛跑,赛场共设1,2,3,4四条跑道,选手以随机抽签方式决定各自的跑道,请用画树状图或列表的方法,求A,B两位选手抽中相邻跑道的概率.
【解析】画树状图表示A,B两位选手抽中赛道的情况如图:
由图可知,共有12种等可能的结果,其中A,B两位选手抽中相邻跑道的结果有(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),共6种,∴A,B两位选手抽中相邻跑道的概率为=.
知识点2 概率的应用
4.甲、乙、丙、丁四名同学围坐在一起商讨问题.如图是丙的座位,另外三人随机坐到①,②,③的任意一个座位上.则甲和丁相邻的概率是(D)
A. B. C. D.
5.在一个不透明的口袋中装有2个红球,2个黑球,这些球除颜色外其他都相同,随机地从这个袋子中一次摸出两个球,则摸到两个球都是红球的概率是 .
6.小李和小王两位同学做游戏,在一个不透明的口袋中放入1个红球、2个白球、1个黑球,这些球除颜色外都相同,将球摇匀.
(1)从中任意摸出1个球,恰好摸到红球的概率是多少
【解析】(1)∵共有4个球,其中有1个红球、2个白球、1个黑球,
∴摸到红球的概率是.
(2)两人约定:从袋中一次摸出两个球,若摸出的两个球是一红一黑,则小李获胜;若摸出的两个球都是白色,则小王获胜,请用列举法(画树状图或列表)分析游戏规则是否公平.
【解析】(2)根据题意画树状图如图:
共有12种等可能的情况,其中两个球是一红一黑有2种,两个球都是白色的有2种,则小李获胜的概率是=,小王获胜的概率是=,
所以游戏规则是公平的.
7.(名师原创)将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中,则恰有一个篮子为空的概率为(A)
A. B. C. D.
8.如图,有4张大小、形状、背面完全相同的扑克牌,小康和小新玩扑克游戏:小新将这4张扑克牌背面朝上洗匀后放在桌面上,让小康随机抽取一张(不放回)记下牌面上的数字.小新从中抽取一张,再记下牌面上的数字,则他俩抽到的两张扑克牌正面上的数字之和恰好是奇数的概率为(D)
A. B. C. D.
9.在如图所示的圆形图案中,黑白两色的直角三角形都全等.甲、乙两人将它作为一个游戏盘,游戏规则如下:按一定距离向盘中投镖一次(扎不中游戏盘重新投镖),扎在黑色区域为甲胜,扎在白色区域为乙胜,则这个游戏(A)
A.对双方公平 B.对甲有利
C.对乙有利 D.无法确定公平性
10.口袋中有30个大小、质地相同的小球,其中红球n个,黑球3n个,其余为绿球.甲从袋中任意摸出1个,若为红球则甲得1分;甲将摸出的球放回袋中,乙再从袋中摸出1个,若为绿球则乙得1分.谁先得10分谁获胜.要使游戏对甲、乙双方公平,则n的值是 6 .
11.把1枚质地均匀的普通硬币重复掷三次,落地后三次都是正面朝上的概率是 .
12.一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的小球,其中2个红球,2个白球,摇匀后从中一次性摸出两个小球.
(1)请用列表或画树状图的方法列出所有可能性;
【解析】(1)所有可能性如表:
球的颜色 红1 红2 白1 白2
红1 — (红2,红1) (白1,红1) (白2,红1)
红2 (红1,红2) — (白1,红2) (白2,红2)
白1 (红1,白1) (红2,白1) — (白2,白1)
白2 (红1,白2) (红2,白2) (白1,白2) —
总共12种情况.
(2)若摸到两个小球的颜色相同,甲获胜;摸到两个小球颜色不同,乙获胜.这个游戏对甲、乙双方公平吗 请说明理由.
【解析】(2)不公平.理由如下:摸到两个小球的颜色相同有4种,摸到两个小球颜色不同有8种,
∴甲获胜概率==,乙获胜概率==,
∴这个游戏对甲、乙双方不公平,明显乙获胜的概率更高.
13.体育课上小强、小东、小智三人练习踢足球,足球从一人传到另一人就记为踢一次.
(1)如果从小强开始踢,踢两次后,踢到小智处的概率是多少 (请用树状图求解)
【解析】(1)画树状图如图:
共有4种等可能的情况,其中踢两次后,踢到小智处的情况有1种,
则踢两次后,踢到小智处的概率是;
(2)请用树状图说明,踢了三次后,要使踢到小强处的概率最小,应该从谁开始踢
【解析】(2)
从小强开始踢,P(踢到小强处)==,
同理,若从小东开始踢,P(踢到小强处)=,
若从小智开始踢,P(踢到小强处)=.
应从小强处开始踢.
素养提升攻略
文化体验
罚与免
一休得罪了幕府将军,将军决定处罚一休,幸得安国寺长老和百姓们的求情,将军终于同意让一休用自己的聪明才智来决定自己的命运.方法是:将军用纸写下两张签,一张罚,一张免,让一休抽签,抽中罚则罚,抽中免则免.将军一心想处罚一休,那么将军会在写签时怎样写呢 原来将军在两张签上都写上了“罚”,一休不论抽到哪一张,都一样要受到惩罚……爱动脑筋的一休早就料到了这一点,你觉得一休应该用什么办法应对狡诈的幕府将军呢
【解析】一休抽完签之后,立刻将手中的签销毁,让众人看另一张签,另一张是“罚”,那么一休手中的签自然是“免”.
在以上故事中,我们可以从不同的角度出发进行思考:①在将军的方法当中,一休被罚是随机事件;②在将军的阴谋当中,一休被罚是必然事件;③在一休的办法当中,一休被罚是不可能事件.
素养训练21几何直观、抽象能力、推理能力
现有4个红球,请你设计摸球游戏.
(1)使摸球事件是个不可能事件;
(2)使摸球事件是个必然事件.
【解析】(1)在4个红球中摸出一个球是白球,是不可能事件;(答案不唯一)
(2)在4个红球中摸出一个球是红球,是必然事件.(答案不唯一)
开放探索
“放回与不放回问题”求概率
模型 特点
有放回抽取 第一次抽取后有放回,故第二次抽取不受第一次的影响﹒
不放回抽取 若题目中出现“不放回”或者“随机抽取两个”这样的字眼,则该题目属于不放回抽取.不放回抽取问题中第一次抽取到的元素,第二次就抽取不到了.
素养训练22推理能力、数据意识、应用意识
在课间活动时,甲,乙两同学做了一个数字游戏:有三张正面写有数字-1,0,1的卡片,它们背面完全相同,将这三张卡片背面朝上洗匀后,甲随机抽取一张,将其正面的数字作为m的值.然后将卡片背面朝上放回并洗匀,乙再从这三张卡片中随机抽取一张,将其正面的数字作为n的值,两次结果记为(m,n).
(1)请你帮这两位同学用树状图或列表法表示(m,n)所有可能的结果;
【解析】(1)用列表法表示(m,n)所有可能出现的结果如表:
n m -1 0 1
-1 (-1,-1) (-1,0) (-1,1)
0 (0,-1) (0,0) (0,1)
1 (1,-1) (1,0) (1,1)
共有9种等可能的结果;
(2)求满足关于x的一元二次方程x2+mx+n=0没有实数根的概率.
【解析】(2)∵方程x2+mx+n=0没有实数根,即Δ=m2-4n<0,由(1)可得有(-1,1),(0,1),(1,1)三种情况,∴满足关于x的一元二次方程x2+mx+n=0没有实数根的概率为=.
