25.3 用频率估计概率
1.小明为估计一个不规则图案的面积,采取了以下办法:首先用一个面积为10 cm2的长方形将不规则图案围起来(如图①);然后在一固定位置随机朝长方形区域扔小球,并记录小球落在不规则图案上的次数(球扔在边界线上或长方形区域外不计试验结果);最后将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图.请估计不规则图案的面积大约为(B)
A.4 cm2 B.3.5 cm2 C.4.5 cm2 D.5 cm2
2.数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验,多次试验后获得如表数据:
重复试验次数 10 50 100 500 1 000
钉尖朝上次数 5 15 36 200 400
由此可以估计任意抛掷一次图钉,钉尖朝上的概率约为(B)
A.0.50 B.0.40 C.0.36 D.0.30
3.在一个暗箱里放有n个除颜色外其他完全相同的球,这n个球中红球只有4个,每次将球搅拌均匀后,任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱,通过大量重复摸球试验后发现,摸到红球的频率稳定在25%,那么可以推算出n大约是 16 .
4.质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查,抽查结果如表:
抽查的 头盔数n 100 200 300 500 800 1 000 3 000
合格的 头盔数m 95 189 289 479 769 960 2 880
合格头盔 的频率 0.950 0.945 0.963 0.958 0.961 0.960 0.960
请估计该工厂生产5 000个头盔,合格的头盔数有 4 800 个.
5.瓷砖生产受烧制时间、温度、材质的影响,一块砖坯放在炉中烧制,可能成为合格品,也可能成为次品或废品,究竟发生哪种结果,在烧制前无法预知,所以这是一种随机现象.由于烧制结果不是等可能的,所以我们常用合格品的频率来估计合格品的概率.
某瓷砖厂对最近出炉的一批瓷砖进行了质量抽检,结果如下:
抽取瓷 砖数n 100 200 300 400 500 600 800 1 000 2 000
合格品 数m 95 192 287 385 481 577 770 961 1 924
合格品 频率 0.950 0.960 a 0.963 0.962 0.962 0.963 0.961 b
(1)计算:a= ;b= .(结果保留三位小数)
【解析】(1)a==≈0.957;b===0.962;
答案:0.957 0.962
(2)根据上表,在这批瓷砖中任取一个,它为合格品的概率大约是多少 (结果保留两位小数)
【解析】(2)观察题表,可以发现,当抽取的瓷砖数n≥400时,合格品频率稳定在0.962附近,所以合格品的概率大约为0.96.
素养提升攻略
趣味数学
天算不如人算——概率的故事
公元1053年,北宋大将军狄青奉旨征讨南方叛军.因为当时南方有崇拜鬼神的风俗,所以大军刚到桂林以南,他便设坛拜神说:“这次用兵,胜败还没有把握.”于是拿了一百枚铜币,许愿:“如果这次出征能够打败敌人,那么把这些铜币扔在地上,钱面(不铸文字的那一面)定然会全部朝上.”左右官员很害怕,力劝主帅放弃这个念头,因为经验告诉他们这种尝试是注定要失败的.他们担心最终弄不好,反而会动摇军心.可是狄青对此全然不理,固执如牛.
在千万人的注视下,狄青突然举手一挥,把铜币全部扔到地上.结果这一百个铜币的钱面,竟然鬼使神差般全部朝上.顿时全军欢呼,士气大振.狄青本人也很兴奋,命令士兵,取来一百枚钉子,把铜钱钉在地上,然后说道:“胜利归来,定将酬谢神灵,收回铜钱.”由于士兵个个认定神灵护佑,在战斗中奋勇争先.再说叛军闻听百钱之讯也是人心惶惶,不敢恋战.于是,狄青迅速平定叛乱.
回师时,按原先所约,把钱取下.将士们一看,原来那些铜币两面都是铸成一样的.对狄青来说,一百个钱面全部朝上,是个必然事件,但在别人看来,却是几乎不可能出现的.自信帮助了他们,自信是最伟大的神.这个故事给人的启示是:“观察一种现象,不能忽视它的前提.”
素养训练23模型观念、运算能力、创新意识
为什么左右官员力劝狄青“放弃这个念头” 你能算出掷100枚铜币(每枚铜币正反面不同)同时正面朝上的概率吗
【解析】掷1枚铜币,出现正、反面是随机的.100枚铜币同时正面朝上的机会几乎是没有的,掷两枚铜币会出现四种可能:(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反),两枚都是正面的可能性是四分之一;掷三枚铜币会出现八种可能:(正,正,正)、(正,正,反)、(正,反,正)、(正,反,反)、(反,正,正)、(反,正,反)、(反,反,正)、(反,反,反),三枚都是正面的可能性是八分之一;……100枚都是正面的可能性是()100.
趣味数学
频率与概率的关系
联系 大量重复试验时,事件发生的频率稳定在它发生的概率附近.
区别 频率本身是随机的,在试验前不能确定,做同样次数或不同次数的重复试验得到的事件的频率都可能不同;而概率是一个确定数,是客观存在的,与试验无关.
特别提醒:用频率估计概率时,试验次数越多估计得越准确. 试验次数太少时,频率不能估计概率.
素养训练24抽象能力、推理能力、运算能力
小明的爸爸这几天迷上了体育彩票,该彩票每注是一个七位数码,如能与开奖结果完全一致,则获特等奖,如有相连的6位数码一致,则获一等奖,如有相连的5位数码一致,则获二等奖……以此类推.小明的爸爸昨天一次性买了10注这种彩票,结果中了一注一等奖,他高兴地说:“这种彩票好,因为中奖率高,中一等奖的机会就有10%!”请你针对小明爸爸的这种说法说一下该说法是否合理.
【解析】小明爸爸的说法不对.因为体育彩票的中奖率是针对一期所有的彩票而言,而不是任抽几张的中奖频率为概率,所抽取的几张,可能都有奖,也可能都没有奖.用频率估计概率的前提是大量重复试验,本题试验的次数(即买彩票的注数)太少,不能用中一等奖的频率去估计概率.25.3 用频率估计概率
1.小明为估计一个不规则图案的面积,采取了以下办法:首先用一个面积为10 cm2的长方形将不规则图案围起来(如图①);然后在一固定位置随机朝长方形区域扔小球,并记录小球落在不规则图案上的次数(球扔在边界线上或长方形区域外不计试验结果);最后将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图.请估计不规则图案的面积大约为( )
A.4 cm2 B.3.5 cm2 C.4.5 cm2 D.5 cm2
2.数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验,多次试验后获得如表数据:
重复试验次数 10 50 100 500 1 000
钉尖朝上次数 5 15 36 200 400
由此可以估计任意抛掷一次图钉,钉尖朝上的概率约为( )
A.0.50 B.0.40 C.0.36 D.0.30
3.在一个暗箱里放有n个除颜色外其他完全相同的球,这n个球中红球只有4个,每次将球搅拌均匀后,任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱,通过大量重复摸球试验后发现,摸到红球的频率稳定在25%,那么可以推算出n大约是 .
4.质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查,抽查结果如表:
抽查的 头盔数n 100 200 300 500 800 1 000 3 000
合格的 头盔数m 95 189 289 479 769 960 2 880
合格头盔 的频率 0.950 0.945 0.963 0.958 0.961 0.960 0.960
请估计该工厂生产5 000个头盔,合格的头盔数有 个.
5.瓷砖生产受烧制时间、温度、材质的影响,一块砖坯放在炉中烧制,可能成为合格品,也可能成为次品或废品,究竟发生哪种结果,在烧制前无法预知,所以这是一种随机现象.由于烧制结果不是等可能的,所以我们常用合格品的频率来估计合格品的概率.
某瓷砖厂对最近出炉的一批瓷砖进行了质量抽检,结果如下:
抽取瓷 砖数n 100 200 300 400 500 600 800 1 000 2 000
合格品 数m 95 192 287 385 481 577 770 961 1 924
合格品 频率 0.950 0.960 a 0.963 0.962 0.962 0.963 0.961 b
(1)计算:a= ;b= .(结果保留三位小数)
(2)根据上表,在这批瓷砖中任取一个,它为合格品的概率大约是多少 (结果保留两位小数)
素养提升攻略
趣味数学
天算不如人算——概率的故事
公元1053年,北宋大将军狄青奉旨征讨南方叛军.因为当时南方有崇拜鬼神的风俗,所以大军刚到桂林以南,他便设坛拜神说:“这次用兵,胜败还没有把握.”于是拿了一百枚铜币,许愿:“如果这次出征能够打败敌人,那么把这些铜币扔在地上,钱面(不铸文字的那一面)定然会全部朝上.”左右官员很害怕,力劝主帅放弃这个念头,因为经验告诉他们这种尝试是注定要失败的.他们担心最终弄不好,反而会动摇军心.可是狄青对此全然不理,固执如牛.
在千万人的注视下,狄青突然举手一挥,把铜币全部扔到地上.结果这一百个铜币的钱面,竟然鬼使神差般全部朝上.顿时全军欢呼,士气大振.狄青本人也很兴奋,命令士兵,取来一百枚钉子,把铜钱钉在地上,然后说道:“胜利归来,定将酬谢神灵,收回铜钱.”由于士兵个个认定神灵护佑,在战斗中奋勇争先.再说叛军闻听百钱之讯也是人心惶惶,不敢恋战.于是,狄青迅速平定叛乱.
回师时,按原先所约,把钱取下.将士们一看,原来那些铜币两面都是铸成一样的.对狄青来说,一百个钱面全部朝上,是个必然事件,但在别人看来,却是几乎不可能出现的.自信帮助了他们,自信是最伟大的神.这个故事给人的启示是:“观察一种现象,不能忽视它的前提.”
素养训练23模型观念、运算能力、创新意识
为什么左右官员力劝狄青“放弃这个念头” 你能算出掷100枚铜币(每枚铜币正反面不同)同时正面朝上的概率吗
趣味数学
频率与概率的关系
联系 大量重复试验时,事件发生的频率稳定在它发生的概率附近.
区别 频率本身是随机的,在试验前不能确定,做同样次数或不同次数的重复试验得到的事件的频率都可能不同;而概率是一个确定数,是客观存在的,与试验无关.
特别提醒:用频率估计概率时,试验次数越多估计得越准确. 试验次数太少时,频率不能估计概率.
素养训练24抽象能力、推理能力、运算能力
小明的爸爸这几天迷上了体育彩票,该彩票每注是一个七位数码,如能与开奖结果完全一致,则获特等奖,如有相连的6位数码一致,则获一等奖,如有相连的5位数码一致,则获二等奖……以此类推.小明的爸爸昨天一次性买了10注这种彩票,结果中了一注一等奖,他高兴地说:“这种彩票好,因为中奖率高,中一等奖的机会就有10%!”请你针对小明爸爸的这种说法说一下该说法是否合理.
