*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
知识点1 利用根与系数的关系求两根之和或两根之积
1.下列一元二次方程中两根之和为-4的是(C)
A.x2-4x+4=0 B.x2+2x-4=0
C.x2+4x-5=0 D.x2+4x+10=0
2.若x1,x2是一元二次方程x2+x-2=0的两个根,则x1·x2的值是(B)
A.-1 B.-2 C.1 D.2
知识点2 利用根与系数的关系求代数式的值
3.若x1和x2为一元二次方程x2+2x-1=0的两个根.则x2+x1值为(B)
A.4 B.2 C.4 D.3
4.实数m,n是一元二次方程x2-3x+2=0的两个根,则多项式mn-m-n的值为 -1 .
5.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两根x1,x2,若x1=,x2=,则x1+x2= ,x1x2= .
请运用上面你发现的结论,解答问题:
已知x1,x2是方程x2-x-1=0的两根,不解方程求下列式子的值:
①+;
②(x1+1)(x2+1).
【解析】由题意知:x1+x2=-,x1x2=.
根据结论有:x1+x2=1,x1x2=-1,
则①+===-1;
②(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=-1+1+1=1.
知识点3 利用根与系数的关系求字母系数的取值
6.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根中只有一个为0,则下列说法正确的是(C)
A.b≠0,c≠0 B.b=0,c≠0
C.b≠0,c=0 D.b=0,c=0
7.已知关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x+m2=0有实数根.
(1)求m的取值范围;
【解析】(1)∵关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x+m2=0有实数根,
∴Δ=[-(2m-1)]2-4×1×m2≥0,
解得:m≤.
(2)设此方程的两个根分别为x1,x2,若x1+x2=2-x1x2,求m的值.
【解析】(2)∵关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x+m2=0的两个根分别为x1,x2,
∴x1+x2=2m-1,x1·x2=m2.
∵x1+x2=2-x1x2,即2m-1=2-m2,
整理得:m2+2m-3=0,
∴(m+3)(m-1)=0,
解得:m1=-3,m2=1(不合题意,舍去).
答:m的值为-3.
8.设关于x的方程x2-(a+b)x+ab-1=0的两个实数根为x1,x2,现给出三个结论,则正确结论的个数是(B)
①x1≠x2;②x1x2
A.1 B.2 C.3 D.无法确定
9.在解一元二次方程x2+px+q=0时,小红看错了常数项q,得到方程的两个根是-3,1.小明看错了一次项系数p,得到方程的两个根是5,-4,则原来的方程是(B)
A.x2+2x-3=0 B.x2+2x-20=0
C.x2-2x-20=0 D.x2-2x-3=0
10.如果m,n是一元二次方程x2+x=4的两个实数根,那么多项式2n2-mn-2m的值是 14 .
11.(名师原创)已知关于x的一元二次方程x2-(2m+1)x+m2-2=0的两个实数根分别为α,β,若α2+β2=11,则m的值为 1 .
12.已知关于x的一元二次方程(m-1)2x2+3mx+3=0有一个实数根为-1,则该方程的另一个实数根为 - .
13.已知x1,x2是一元二次方程2x2-2x+m+1=0的两个实数根.
(1)求实数m的取值范围;
【解析】(1)根据题意得Δ=(-2)2-4×2(m+1)≥0,解得m≤-.
故实数m的取值范围是m≤-;
(2)如果x1,x2满足不等式4+4x1x2>+,且m为整数,求m的值.
【解析】(2)根据题意得x1+x2=1,x1x2=,
∵4+4x1x2>+,
∴4+4x1x2>(x1+x2)2-2x1x2,
即4+6x1x2>(x1+x2)2,
∴4+6×>1,
解得m>-2,
∴-2∴整数m的值为-1.
14.(抽象能力、运算能力)定义:如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根,且其中一个根比另一个根大1,那么称这样的方程是“邻根方程”.例如:一元二次方程x2+x=0的两个根分别是x1=0,x2=-1,则方程x2+x=0是“邻根方程”.
(1)通过计算,判断方程x2+x-2=0是否是“邻根方程”;
【解析】(1)∵x2+x-2=0,
∴(x-1)(x+2)=0,
解得x1=1,x2=-2,
∵x1≠x2+1,
∴方程x2+x-2=0不是“邻根方程”;
(2)已知关于x的一元二次方程x2-(k-3)x-3k=0(k是常数)是“邻根方程”,求k的值.
【解析】(2)设方程x2-(k-3)x-3k=0(k是常数)的两根分别为x1,x2(x1≥x2),
∴x1+x2=k-3,x1x2=-3k,
∵关于x的方程x2-(k-3)x-3k=0(k是常数)是“邻根方程”,
∴x1=x2+1,∴x2+1+x2=k-3,
∴x2=,∴x1=,
∴·=-3k,
∴k2+6k+8=0,
解得k=-2或k=-4.
经检验,k=-2与k=-4均符合题意.
素养提升攻略
数学史料
一元二次方程的几何解法
我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程,但在数学史上人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月,下面是9世纪阿拉伯数学家阿尔·花拉子米利用几何法求解x2+10x=39的过程.
【解析】如图,构造一个以未知数x为边长的正方形,在其四条边上向外作长和宽分别为x和的矩形,再把这个图补成边长为x+5的正方形.于是大正方形的面积为x2+4×x+4×()2=x2+10x+25.又已知x2+10x=39,所以大正方形的面积为39+25=64,于是大正方形的边长为8,因此x=8--=3.几何法求解一元二次方程只能得到正数解.
素养训练1几何直观、运算能力、创新意识
根据上述材料请你用几何法求方程x2+4x=32的正数解,要求如下.
(1)在如图所示的区域内画出图形,并标出相应的线段长度.
【解析】(1)画出的图形如图所示:
(2)根据(1)所画图形直接写出方程x2+4x=32的正数解.
【解析】(2)大正方形的面积为x2+4x+4,又已知x2+4x=32,
所以大正方形的面积为32+4=36,于是大正方形的边长为6,
因此x=6-2=4,所以方程x2+4x=32的正数解为x=4.
(3)这种构造图形解一元二次方程的方法体现的数学思想是 .(填字母序号即可)
A.分类讨论思想 B.数形结合思想 C.公理化思想
答案:B
【解析】(3)这种构造图形解一元二次方程的方法体现的数学思想是数形结合思想.
拓展探究
巧用根与系数的关系
已知实数m,n满足m2-m-1=0,n2-n-1=0,且m≠n,则m,n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根,由根与系数的关系可知m+n=1,mn=-1.
素养训练2运算能力、抽象能力、推理能力
根据上述材料,解决以下问题.
(1)直接应用:
已知实数a,b满足a2-5a+1=0,b2-5b+1=0,且a≠b,则a+b= ,ab= ;
答案:5 1
【解析】(1)∵a2-5a+1=0,b2-5b+1=0,且a≠b,
∴a,b是方程x2-5x+1=0的两个不相等的实数根,∴a+b=5,ab=1;
(2)间接应用:
已知实数m,n满足2m2-7m+1=0,n2-7n+2=0,且mn≠1,求的值;
【解析】(2)∵n2-7n+2=0,两边同除以n2,得-+1=0,即2()2-7()+1=0,
又∵2m2-7m+1=0,且mn≠1,∴m与为方程2x2-7x+1=0的两个不相等的实数根,
∴m+=,即=,∴mn=n-1,∴===;
(3)拓展应用:
已知实数p,q满足p2-2p=3-t,q2-q=(3-t),且p≠q,求(q2+1)(2p+4-t)的取值范围.
【解析】(3)∵实数p,q满足p2-2p=3-t,q2-q=(3-t),且p≠q,
∴p,q是方程x2-2x=3-t的两个不相等的实数根,∴p2-2p=3-t,pq=t-3,p+q=2,
∴p2+1=2p+4-t,∴(q2+1)(2p+4-t)=(q2+1)(p2+1)=(pq)2+(p2+q2)+1
=(pq)2+(p+q)2-2pq+1=(pq-1)2+(p+q)2=(t-4)2+4≥4.*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
知识点1 利用根与系数的关系求两根之和或两根之积
1.下列一元二次方程中两根之和为-4的是( )
A.x2-4x+4=0 B.x2+2x-4=0
C.x2+4x-5=0 D.x2+4x+10=0
2.若x1,x2是一元二次方程x2+x-2=0的两个根,则x1·x2的值是( )
A.-1 B.-2 C.1 D.2
知识点2 利用根与系数的关系求代数式的值
3.若x1和x2为一元二次方程x2+2x-1=0的两个根.则x2+x1值为( )
A.4 B.2 C.4 D.3
4.实数m,n是一元二次方程x2-3x+2=0的两个根,则多项式mn-m-n的值为 .
5.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两根x1,x2,若x1=,x2=,则x1+x2= ,x1x2= .
请运用上面你发现的结论,解答问题:
已知x1,x2是方程x2-x-1=0的两根,不解方程求下列式子的值:
①+;
②(x1+1)(x2+1).
知识点3 利用根与系数的关系求字母系数的取值
6.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根中只有一个为0,则下列说法正确的是( )
A.b≠0,c≠0 B.b=0,c≠0
C.b≠0,c=0 D.b=0,c=0
7.已知关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x+m2=0有实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)设此方程的两个根分别为x1,x2,若x1+x2=2-x1x2,求m的值.
8.设关于x的方程x2-(a+b)x+ab-1=0的两个实数根为x1,x2,现给出三个结论,则正确结论的个数是( )
①x1≠x2;②x1x2A.1 B.2 C.3 D.无法确定
9.在解一元二次方程x2+px+q=0时,小红看错了常数项q,得到方程的两个根是-3,1.小明看错了一次项系数p,得到方程的两个根是5,-4,则原来的方程是( )
A.x2+2x-3=0 B.x2+2x-20=0
C.x2-2x-20=0 D.x2-2x-3=0
10.如果m,n是一元二次方程x2+x=4的两个实数根,那么多项式2n2-mn-2m的值是 .
11.(名师原创)已知关于x的一元二次方程x2-(2m+1)x+m2-2=0的两个实数根分别为α,β,若α2+β2=11,则m的值为 .
12.已知关于x的一元二次方程(m-1)2x2+3mx+3=0有一个实数根为-1,则该方程的另一个实数根为 .
13.已知x1,x2是一元二次方程2x2-2x+m+1=0的两个实数根.
(1)求实数m的取值范围;
(2)如果x1,x2满足不等式4+4x1x2>+,且m为整数,求m的值.
14.(抽象能力、运算能力)定义:如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根,且其中一个根比另一个根大1,那么称这样的方程是“邻根方程”.例如:一元二次方程x2+x=0的两个根分别是x1=0,x2=-1,则方程x2+x=0是“邻根方程”.
(1)通过计算,判断方程x2+x-2=0是否是“邻根方程”;
(2)已知关于x的一元二次方程x2-(k-3)x-3k=0(k是常数)是“邻根方程”,求k的值.
素养提升攻略
数学史料
一元二次方程的几何解法
我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程,但在数学史上人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月,下面是9世纪阿拉伯数学家阿尔·花拉子米利用几何法求解x2+10x=39的过程.
【解析】如图,构造一个以未知数x为边长的正方形,在其四条边上向外作长和宽分别为x和的矩形,再把这个图补成边长为x+5的正方形.于是大正方形的面积为x2+4×x+4×()2=x2+10x+25.又已知x2+10x=39,所以大正方形的面积为39+25=64,于是大正方形的边长为8,因此x=8--=3.几何法求解一元二次方程只能得到正数解.
素养训练1几何直观、运算能力、创新意识
根据上述材料请你用几何法求方程x2+4x=32的正数解,要求如下.
(1)在如图所示的区域内画出图形,并标出相应的线段长度.
(2)根据(1)所画图形直接写出方程x2+4x=32的正数解.
(3)这种构造图形解一元二次方程的方法体现的数学思想是 .(填字母序号即可)
A.分类讨论思想 B.数形结合思想 C.公理化思想
拓展探究
巧用根与系数的关系
已知实数m,n满足m2-m-1=0,n2-n-1=0,且m≠n,则m,n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根,由根与系数的关系可知m+n=1,mn=-1.
素养训练2运算能力、抽象能力、推理能力
根据上述材料,解决以下问题.
(1)直接应用:
已知实数a,b满足a2-5a+1=0,b2-5b+1=0,且a≠b,则a+b= ,ab= ;
(2)间接应用:
已知实数m,n满足2m2-7m+1=0,n2-7n+2=0,且mn≠1,求的值;
(3)拓展应用:
已知实数p,q满足p2-2p=3-t,q2-q=(3-t),且p≠q,求(q2+1)(2p+4-t)的取值范围.