21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法
第1课时
知识点1 形如x2=p的一元二次方程的解法
1.方程3x2=1的解为( )
A.± B.± C. D.±
2.若2x2+3与2x2-4互为相反数,则x为( )
A. B.2 C.±2 D.±
3.若关于x的方程x2-m=0有实数根,则m的取值范围是 .
4.如果一元二次方程x2-9=0的两根分别是a,b,且a>b,那么a的值是 .
5.用直接开平方法解下列方程:
(1)x2-8=0;
(2)x2-=0;
(3)3x2+27=0.
知识点2 形如(mx+n)2=p的一元二次方程的解法
6.将一元二次方程(x-6)2=25转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是x-6=5,则另一个一元一次方程是( )
A.x-6=-5 B.x-6=5
C.x+6=-5 D.x+6=5
7.方程(x+1)(x-3)=-4的解为 .
8.关于x的方程(x-2)2=1-m无实数根,那么m满足的条件是 .
9.用直接开平方法解下列方程.
(1)(4x-1)2-9=0;
(2)(3x-1)(3x+1)-1=0;
(3)(3-x)2-4=0.
10.若(a2+b2-3)2=25,则a2+b2=( )
A.8或-2 B.-2
C.8 D.2或-8
11.已知三角形的两边长分别是4和6,第三边的长是方程(x-3)2=4的根,则此三角形的周长为( )
A.17 B.11
C.15 D.11或15
12.用符号min(p,q)表示p,q两实数中较小的数,如min(1,2)=1,若min(x2-1,x2)=1,则x= ± .
13.已知方程x2+(m-1)x+m-10=0的一个根是3,求m的值及方程的另一个根.
14.(抽象能力、运算能力)小明在解一元二次方程时,发现有这样一种解法:
如:解方程x(x+4)=6.
解:原方程可变形,得:[(x+2)-2][(x+2)+2]=6.
(x+2)2-22=6,
(x+2)2=6+22,
(x+2)2=10.
直接开平方并整理,得x1=-2+,x2=-2-.
我们称这种解法为“平均数法”.
(1)下面是小明用“平均数法”解方程(x+3)(x+7)=5时写的解题过程.
解:原方程可变形,得:[(x+a)-b][(x+a)+b]=5.
(x+a)2-b2=5,
(x+a)2=5+b2.
直接开平方并整理,得x1=c,x2=d.
上述过程中的a,b,c,d表示的数分别为 , , , .
(2)请用“平均数法”解方程:(x-5)(x+3)=6.21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法
第1课时
知识点1 形如x2=p的一元二次方程的解法
1.方程3x2=1的解为(D)
A.± B.± C. D.±
2.若2x2+3与2x2-4互为相反数,则x为(D)
A. B.2 C.±2 D.±
3.若关于x的方程x2-m=0有实数根,则m的取值范围是 m≥0 .
4.如果一元二次方程x2-9=0的两根分别是a,b,且a>b,那么a的值是 3 .
5.用直接开平方法解下列方程:
(1)x2-8=0;
【解析】(1)x2-8=0,移项得,x2=8,开平方得,x=±2,∴x1=2,x2=-2;
(2)x2-=0;
【解析】(2)x2-=0,移项得,x2==15,开平方得,x=±,
∴x1=,x2=-;
(3)3x2+27=0.
【解析】(3)3x2+27=0,3x2=-27,∴此方程无解.
知识点2 形如(mx+n)2=p的一元二次方程的解法
6.将一元二次方程(x-6)2=25转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是x-6=5,则另一个一元一次方程是(A)
A.x-6=-5 B.x-6=5
C.x+6=-5 D.x+6=5
7.方程(x+1)(x-3)=-4的解为 x1=x2=1 .
8.关于x的方程(x-2)2=1-m无实数根,那么m满足的条件是 m>1 .
9.用直接开平方法解下列方程.
(1)(4x-1)2-9=0;
【解析】(1)(4x-1)2-9=0,(4x-1)2=9,
4x-1=±3,4x-1=3或4x-1=-3,x1=1,x2=-;
(2)(3x-1)(3x+1)-1=0;
【解析】(2)(3x-1)(3x+1)-1=0,
9x2-1-1=0,9x2=2,x2=,x1=,x2=-;
(3)(3-x)2-4=0.
【解析】(3)(3-x)2-4=0,(3-x)2=4,
(3-x)2=8,3-x=±2,
3-x=2或3-x=-2,
x1=3-2,x2=3+2.
10.若(a2+b2-3)2=25,则a2+b2=(C)
A.8或-2 B.-2
C.8 D.2或-8
11.已知三角形的两边长分别是4和6,第三边的长是方程(x-3)2=4的根,则此三角形的周长为(C)
A.17 B.11
C.15 D.11或15
12.用符号min(p,q)表示p,q两实数中较小的数,如min(1,2)=1,若min(x2-1,x2)=1,则x= ± .
13.已知方程x2+(m-1)x+m-10=0的一个根是3,求m的值及方程的另一个根.
【解析】∵方程x2+(m-1)x+m-10=0的一个根是3,
把x=3代入得9+3(m-1)+m-10=0,
即4m-4=0,
解得m=1;
∴原方程为x2-9=0,
解得x=±3,
∴另一个根为-3.
14.(抽象能力、运算能力)小明在解一元二次方程时,发现有这样一种解法:
如:解方程x(x+4)=6.
解:原方程可变形,得:[(x+2)-2][(x+2)+2]=6.
(x+2)2-22=6,
(x+2)2=6+22,
(x+2)2=10.
直接开平方并整理,得x1=-2+,x2=-2-.
我们称这种解法为“平均数法”.
(1)下面是小明用“平均数法”解方程(x+3)(x+7)=5时写的解题过程.
解:原方程可变形,得:[(x+a)-b][(x+a)+b]=5.
(x+a)2-b2=5,
(x+a)2=5+b2.
直接开平方并整理,得x1=c,x2=d.
上述过程中的a,b,c,d表示的数分别为 , , , .
答案:5 ±2 -2 -8
【解析】(1)原方程可变形得[(x+5)-2][(x+5)+2]=5.
(x+5)2-22=5,(x+5)2=5+22.
直接开平方并整理,得x1=-2,x2=-8.
∴题中a,b,c,d表示的数分别为5,±2,-2,-8.
(2)请用“平均数法”解方程:(x-5)(x+3)=6.
【解析】(2)原方程可变形,得:[(x-1)-4][(x-1)+4]=6.
(x-1)2-42=6,(x-1)2=6+42.
直接开平方并整理,得x1=1+,x2=1-.
