21.2.2 公式法
知识点1 用公式法解一元二次方程
1.用公式法解方程x2+x=2时,求根公式中的a,b,c的值分别是( )
A.a=1,b=1,c=2 B.a=1,b=-1,c=-2
C.a=1,b=1,c=-2 D.a=1,b=-1,c=2
2.小明在解方程x2-4x=2时出现了错误,解答过程如下:
∵a=1,b=-4,c=-2(第一步),
∴b2-4ac=(-4)2-4×1×(-2)=24(第二步),
∴x=(第三步),
∴x1=-2+,x2=-2-(第四步).
小明解答过程开始出错的步骤是( )
A.第一步 B.第二步
C.第三步 D.第四步
3.用公式法解下列方程:
(1)x2-8x-5=0;
(2)(3x-5)(x-2)=1;
(3)x2+10=2x.
知识点2 一元二次方程根的判别式的应用
4.如果一元二次方程x2+px+q=0能用公式法求解,那么必须满足的条件是( )
A.p2-4q≥0 B.p2-4q≤0
C.p2-4q>0 D.p2-4q<0
5.一元二次方程(x+3)(x-3)=2x-5的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
6.若关于x的方程x2=-x-2a没有实数根,则a的取值范围是( )
A.a< B.a>
C.a<- D.a>-
7.关于x的方程(m-3)x2-4x-2=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是 .
8.若关于x的一元二次方程x2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根,则一次函数y=kx+b的大致图象可能是( )
9.(名师原创)若方程(m-2)x|m|-2x+1=0是一元二次方程,则方程的根是( )
A.x1=,x2=
B.x1=,x2=
C.x1=,x2=
D.以上答案都不对
10.(2023·杭州期中)对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列说法:
①若a+b+c=0,则b2-4ac≥0;
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根,则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根;
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根,则一定有ac+b+1=0成立;
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,则b2-4ac=(2ax0+b)2.
其中正确的是( )
A.①② B.①②④
C.①②③④ D.①②③
11.已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-x+1=0有实数根,则m的取值范围是 .
12.关于x的一元二次方程x2-kx+-=0.
(1)求证:方程有两个实数根.
(2)若等腰△ABC的两边是此一元二次方程的两个根,当k=2时,求△ABC的周长.
13.已知关于x的方程mx2-(m+2)x+2=0.
(1)若方程有一个根是2,求m的值;
(2)求证:不论m取何值,方程总有实数根.
14.(几何直观、运算能力)已知 ABCD 的两边 AB,AD 的长是关于x的方程x2-mx+-=0的两个根.
(1)当 m 为何值时,四边形 ABCD 是菱形 求出此时菱形的边长;
(2)若 AB 的长为 2,则 ABCD 的周长是多少 21.2.2 公式法
知识点1 用公式法解一元二次方程
1.用公式法解方程x2+x=2时,求根公式中的a,b,c的值分别是(C)
A.a=1,b=1,c=2 B.a=1,b=-1,c=-2
C.a=1,b=1,c=-2 D.a=1,b=-1,c=2
2.小明在解方程x2-4x=2时出现了错误,解答过程如下:
∵a=1,b=-4,c=-2(第一步),
∴b2-4ac=(-4)2-4×1×(-2)=24(第二步),
∴x=(第三步),
∴x1=-2+,x2=-2-(第四步).
小明解答过程开始出错的步骤是(C)
A.第一步 B.第二步
C.第三步 D.第四步
3.用公式法解下列方程:
(1)x2-8x-5=0;
【解析】(1)a=1,b=-8,c=-5,
∵Δ=64+20=84,
∴x==4±,
即x1=4+,x2=4-.
(2)(3x-5)(x-2)=1;
【解析】(2)方程整理得:3x2-11x+9=0,
a=3,b=-11,c=9,
∵Δ=121-108=13,∴x=,
即x1=,x2=;
(3)x2+10=2x.
【解析】(3)x2+10=2x,x2-2x+10=0,
a=1,b=-2,c=10,
Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×10=20-40<0,
∴方程没有实数根.
知识点2 一元二次方程根的判别式的应用
4.如果一元二次方程x2+px+q=0能用公式法求解,那么必须满足的条件是(A)
A.p2-4q≥0 B.p2-4q≤0
C.p2-4q>0 D.p2-4q<0
5.一元二次方程(x+3)(x-3)=2x-5的根的情况是(A)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
6.若关于x的方程x2=-x-2a没有实数根,则a的取值范围是(B)
A.a< B.a>
C.a<- D.a>-
7.关于x的方程(m-3)x2-4x-2=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是 m>1且m≠3 .
8.若关于x的一元二次方程x2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根,则一次函数y=kx+b的大致图象可能是(B)
9.(名师原创)若方程(m-2)x|m|-2x+1=0是一元二次方程,则方程的根是(B)
A.x1=,x2=
B.x1=,x2=
C.x1=,x2=
D.以上答案都不对
10.(2023·杭州期中)对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列说法:
①若a+b+c=0,则b2-4ac≥0;
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根,则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根;
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根,则一定有ac+b+1=0成立;
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,则b2-4ac=(2ax0+b)2.
其中正确的是(B)
A.①② B.①②④
C.①②③④ D.①②③
11.已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-x+1=0有实数根,则m的取值范围是 m≤5且m≠4 .
12.关于x的一元二次方程x2-kx+-=0.
(1)求证:方程有两个实数根.
【解析】(1)∵Δ=(-k)2-4=(k-1)2≥0,∴方程有两个实数根;
(2)若等腰△ABC的两边是此一元二次方程的两个根,当k=2时,求△ABC的周长.
【解析】(2)当k=2时,
方程可化为x2-2x+=0,
∴x1=,x2=,
当腰长为,底边长为时,
△ABC的周长为++=;
当腰长为,底边长为时,
+<,不能构成三角形,
综上所述,△ABC的周长为.
13.已知关于x的方程mx2-(m+2)x+2=0.
(1)若方程有一个根是2,求m的值;
【解析】本题考查根的判别式、一元二次方程的解以及一元二次方程的定义,利用分类讨论思想,考虑m=0及m≠0两种情况.
(1)将x=2代入原方程,得4m-2(m+2)+2=0,解得m=1.故m的值为1;
(2)求证:不论m取何值,方程总有实数根.
【解析】(2)当m=0时,原方程为一元一次方程,此时x=1;
当m≠0时,Δ=[-(m+2)]2-4×2m=(m-2)2≥0,∴当m≠0时,方程有实数根.
综上所述,不论m取何值,方程总有实数根.
14.(几何直观、运算能力)已知 ABCD 的两边 AB,AD 的长是关于x的方程x2-mx+-=0的两个根.
(1)当 m 为何值时,四边形 ABCD 是菱形 求出此时菱形的边长;
【解析】(1)当AB=AD时,四边形ABCD是菱形,即方程x2-mx+-=0的两个实数根相等,∴(-m)2-4=0, 解得 m=1. 此时方程为x2-x+=0,
解得x1=x2=, ∴菱形的边长为.
(2)若 AB 的长为 2,则 ABCD 的周长是多少
【解析】(2)当AB=2时,则22-2m+-=0,
∴m=,则原方程变为x2-x+-=0,∴x2-x+1=0,∴x1=,x2=2,
即AD=,AB=2.
∴ ABCD的周长为2×=5.
