21.2.3 因式分解法
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
1.用因式分解法解方程,下列方法中正确的是( )
A.(2x-2)(3x-4)=0,∴2x-2=0或3x-4=0
B.(x+3)(x-1)=1,∴x+3=1或x-1=1
C.x(x-3)=2×3,∴x=2或x-3=3
D.x(x+2)=0,∴x+2=0
2.若关于x的一元二次方程的根分别为-5,7,则该方程可以为( )
A.(x+5)(x-7)=0 B.(x-5)(x+7)=0
C.(x+5)(x+7)=0 D.(x-5)(x-7)=0
3.方程x2+x-2=0的两个根为( )
A.x1=-2,x2=1 B.x1=-1,x2=2
C.x1=-2,x2=-1 D.x1=1,x2=2
4.若实数x,y满足(x+y+3)(x+y-1)=0,则x+y的值为 .
5.用因式分解法解下列方程:
(1)(x+2)2=3x+6;
(2)3x2+12=12x;
(3)(3x+2)2-4x2=0;
(4)5(2x-1)=(1-2x)(x+3).
知识点2 一元二次方程解法的恰当选择
6.解方程(x+1)2=3(1+x)的较好方法是( )
A.直接开平方法 B.配方法
C.公式法 D.因式分解法
7.下列方程中,不适合用因式分解法求解的是( )
A.(x-2)2-4x2=0 B.2x(x-2)=4x
C.x2-5x+3=0 D.x2-4x+4=3
8.写出一个既能用直接开平方法解,又能用因式分解法解的一元二次方程: .
9.按要求解下列方程:
(1)(x+6)2=9;(直接开平方法)
(2)x2+x-6=0;(公式法)
(3)x(x-2)+x-2=0;(因式分解法)
(4)x2+2x-120=0.(配方法)
10.解下列方程:①3x2-27=0;②2x2-3x-1=0;③2x2-5x+2=0;④2(3x-1)2=3x-1.较简便的方法是( )
A.①直接开平方法,②配方法,③公式法,④因式分解法
B.①因式分解法,②公式法,③配方法,④直接开平方法
C.①直接开平方法,②③公式法,④因式分解法
D.①直接开平方法,②公式法,③④因式分解法
11.点P的坐标恰好是方程x2-2x-24=0的两个根,则经过点P的正比例函数图象一定经过的象限是( )
A.第一、三象限 B.第二、四象限
C.第一象限 D.第四象限
12.若代数式x(x-1)和3(1-x)的值互为相反数,则x的值为 .
13.已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两根为x1=-2,x2=3.那么多项式2x2+bx+c可因式分解为 .
14.下面是马虎同学在一次测验中解答的填空题:①若x2=a2,则x=a;②方程2x(x-1)=x-1的解为x=1;③若x4-2x2-3=0,令x2=a,则a= .④经计算整式x+1与x-4的积为x2-3x-4,则一元二次方程x2-3x-4=0的所有根是 .则其中答案完全正确的题目为 .(将答案正确的序号填写在横线上)
15.(抽象能力、运算能力)阅读材料,解答问题:
为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0,我们可以将x2-1看作一个整体,然后设x2-1=y,那么原方程可化为y2-5y+4=0①,解得y1=1,y2=4.当y=1时,x2-1=1,所以x2=2,所以x=±;当y=4时,x2-1=4,所以x2=5,所以x=±,故原方程的解为x1=,x2=-, x3=,x4=-;上述解题过程,在由原方程得到方程①的过程中,利用换元法达到了降次的目的,体现了转化的数学思想.
(1)已知方程=x2-2x-3,若设x2-2x=a,那么原方程可化为 .(结果化成一般形式)
(2)请利用以上方法解方程:(x2+2x)2-(x2+2x)-6=0.21.2.3 因式分解法
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
1.用因式分解法解方程,下列方法中正确的是(A)
A.(2x-2)(3x-4)=0,∴2x-2=0或3x-4=0
B.(x+3)(x-1)=1,∴x+3=1或x-1=1
C.x(x-3)=2×3,∴x=2或x-3=3
D.x(x+2)=0,∴x+2=0
2.若关于x的一元二次方程的根分别为-5,7,则该方程可以为(A)
A.(x+5)(x-7)=0 B.(x-5)(x+7)=0
C.(x+5)(x+7)=0 D.(x-5)(x-7)=0
3.方程x2+x-2=0的两个根为(A)
A.x1=-2,x2=1 B.x1=-1,x2=2
C.x1=-2,x2=-1 D.x1=1,x2=2
4.若实数x,y满足(x+y+3)(x+y-1)=0,则x+y的值为 -3或1 .
5.用因式分解法解下列方程:
(1)(x+2)2=3x+6;
【解析】(1)原方程可变形为(x+2)(x+2-3)=0,即(x+2)(x-1)=0,
所以x+2=0或x-1=0,即x1=-2,x2=1.
(2)3x2+12=12x;
【解析】(2)原方程可变形为x2-4x+4=0,即(x-2)2=0,所以x1=x2=2.
(3)(3x+2)2-4x2=0;
【解析】(3)原方程可变形为(3x+2-2x)(3x+2+2x)=0,即(x+2)(5x+2)=0,
所以x+2=0或5x+2=0,即x1=-2,x2=-.
(4)5(2x-1)=(1-2x)(x+3).
【解析】(4)原方程可变形为(2x-1)(5+x+3)=0,
即(2x-1)(x+8)=0,2x-1=0或x+8=0,∴x1=,x2=-8.
知识点2 一元二次方程解法的恰当选择
6.解方程(x+1)2=3(1+x)的较好方法是(D)
A.直接开平方法 B.配方法
C.公式法 D.因式分解法
7.下列方程中,不适合用因式分解法求解的是(C)
A.(x-2)2-4x2=0 B.2x(x-2)=4x
C.x2-5x+3=0 D.x2-4x+4=3
8.写出一个既能用直接开平方法解,又能用因式分解法解的一元二次方程: x2-64=0(答案不唯一) .
9.按要求解下列方程:
(1)(x+6)2=9;(直接开平方法)
【解析】(1)由原方程得x+6=±3,∴x1=-3,x2=-9;
(2)x2+x-6=0;(公式法)
【解析】(2)在方程x2+x-6=0中,a=1,b=1,c=-6,
∴Δ=12-4×1×(-6)=25,
∴x==,
∴x1=2,x2=-3;
(3)x(x-2)+x-2=0;(因式分解法)
【解析】(3)由原方程得(x-2)(x+1)=0,∴x1=2,x2=-1;
(4)x2+2x-120=0.(配方法)
【解析】(4)由原方程得x2+2x=120,x2+2x+1=120+1,
(x+1)2=121,x+1=±11,∴x1=10,x2=-12.
10.解下列方程:①3x2-27=0;②2x2-3x-1=0;③2x2-5x+2=0;④2(3x-1)2=3x-1.较简便的方法是(D)
A.①直接开平方法,②配方法,③公式法,④因式分解法
B.①因式分解法,②公式法,③配方法,④直接开平方法
C.①直接开平方法,②③公式法,④因式分解法
D.①直接开平方法,②公式法,③④因式分解法
11.点P的坐标恰好是方程x2-2x-24=0的两个根,则经过点P的正比例函数图象一定经过的象限是(B)
A.第一、三象限 B.第二、四象限
C.第一象限 D.第四象限
12.若代数式x(x-1)和3(1-x)的值互为相反数,则x的值为 x=3或x=1 .
13.已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两根为x1=-2,x2=3.那么多项式2x2+bx+c可因式分解为 2(x+2)(x-3) .
14.下面是马虎同学在一次测验中解答的填空题:①若x2=a2,则x=a;②方程2x(x-1)=x-1的解为x=1;③若x4-2x2-3=0,令x2=a,则a=3或-1.④经计算整式x+1与x-4的积为x2-3x-4,则一元二次方程x2-3x-4=0的所有根是x1=-1,x2=4.则其中答案完全正确的题目为 ④ .(将答案正确的序号填写在横线上)
15.(抽象能力、运算能力)阅读材料,解答问题:
为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0,我们可以将x2-1看作一个整体,然后设x2-1=y,那么原方程可化为y2-5y+4=0①,解得y1=1,y2=4.当y=1时,x2-1=1,所以x2=2,所以x=±;当y=4时,x2-1=4,所以x2=5,所以x=±,故原方程的解为x1=,x2=-, x3=,x4=-;上述解题过程,在由原方程得到方程①的过程中,利用换元法达到了降次的目的,体现了转化的数学思想.
(1)已知方程=x2-2x-3,若设x2-2x=a,那么原方程可化为 .(结果化成一般形式)
答案:a2-3a-1=0
【解析】(1)根据题意,得=a-3,
∴1=a2-3a,即a2-3a-1=0.
(2)请利用以上方法解方程:(x2+2x)2-(x2+2x)-6=0.
【解析】(2)设x2+2x=y,
则原方程化为y2-y-6=0,
解得y=3或y=-2.
当y=3时,即x2+2x=3,
解得x=1或x=-3;
当y=-2时,即x2+2x=-2,方程无解.
综上所述,原方程的解为x1=1,x2=-3.
