21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时
知识点1 传播、平均变化率问题
1.有两个人患了流感,经过两轮传染后共有242个人患了流感,设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则x满足的方程是(C)
A.(1+x)2=242
B.(2+x)2=242
C.2(1+x)2=242
D.2+2(1+x)+2(1+x)2=242
2.某银行经过最近的两次降息,使一年期存款的年利率由2.25%降低至1.21%,设平均每次降息的百分率为x,则x满足方程(D)
A.2.25%(1-2x)=1.21%
B.1.21%(1+2x)=2.25%
C.1.21%(1+x)2=2.25%
D.2.25%(1-x)2=1.21%
3.某地区2022年投入教育经费3 000万元,预计2 024年投入4 320万元.设这两年投入教育经费的年平均增长率为x,则可以列方程为 3 000(1+x)2=4 320 .
4.刘师傅开了一家商店,今年2月份盈利6 400元.4月份的盈利达到8 100元,且从2月到4月,每个月盈利的增长率相同.
(1)求每个月盈利的增长率;
【解析】(1)设每个月盈利的增长率为x,依题意得:6 400(1+x)2=8 100,
解得:x1=0.125=12.5%,x2=-2.125(不合题意,舍去).
答:每个月盈利的增长率为12.5%.
(2)按照这个增长率,请你估计这家商店5月份的盈利将达到多少元.
【解析】(2)8 100×(1+12.5%)=8 100×1.125=9 112.5(元).
答:按照这个增长率,估计这家商店5月份的盈利将达到9 112.5元.
知识点2 球赛(握手)问题
5.某校九年级学生毕业时,每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念,全班共送了3 540张相片,如果全班有x名学生,根据题意,列出方程为(C)
A.x(x+1)=3 540 B.2x(x+1)=3 540
C.x(x-1)=3 540 D.=3 540
6.在一次足球邀请赛中,参赛的每两个队之间都要比赛一场,共比赛28场,设共有x个队参赛,根据题意,可列方程为 x(x-1)=28 .
7.为了陶冶情操,开发智力,丰富课余生活,市实验学校成立了课外“象棋特长班”.开班仪式上,班内同学一一握手自我介绍(即每位同学都和班内其他同学握手).老师对握手次数做了统计,全班共握手105次,问:该象棋特长班共有多少名学生
【解析】设象棋特长班共有x名学生,
则每人应握(x-1)次手,
由题意得x(x-1)=105,
即x2-x-210=0,
解得x1=15,x2=-14(不符合题意,舍去).
答:该象棋特长班共有15名学生.
8.2023年某电影上映的第一天票房为2亿元,第二天、第三天单日票房持续增长,三天累计票房为6.62亿元,若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长,设平均每天票房的增长率为x,则根据题意,下列方程正确的是(D)
A.2(1+x)=6.62
B.2(1+x)2=6.62
C.2(1+x)+2(1+x)2=6.62
D.2+2(1+x)+2(1+x)2=6.62
9.(名师原创)科学兴趣小组的同学们,将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件,全组共互赠了132件,那么全组共有学生(A)
A.12名 B.12名或66名
C.15名 D.33名
10.某公司举办产品鉴定会,参加会议的是该公司的林经理和邀请的专家,在专家到会时,林经理和每位专家握一次手表示欢迎;在专家离会时,林经理又和他们每人握一次手表示道别,且参加会议的每两位专家都握了一次手,所有参加会议的人共握手14次,则参加这次会议的专家的人数是 4 .
11.随着经济收入的不断提高以及汽车行业的快速发展,家用汽车已越来越多地进入普通家庭,汽车消费成为新亮点.抽样调查显示,截至2023年底全市汽车拥有量为14.4万辆.已知2021年底全市汽车拥有量为10万辆.
(1)求2021年底至2023年底全市汽车拥有量的年平均增长率;
【解析】(1)设2021年底至2023年底全市汽车拥有量的年平均增长率为x,
由题意得10(1+x)2=14.4,
解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(舍去),
答:2021年底至2023年底全市汽车拥有量的年平均增长率为20%.
(2)按照这个增长速度,2024年底全市汽车拥有量为多少辆
【解析】(2)2024年底全市汽车拥有量为:14.4×(1+20%)=17.28(万辆).
答:2024年底全市汽车拥有量为17.28万辆.
12.(应用意识、运算能力)某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜,计划以每千克60元的价格销售,为了让顾客得到实惠.现决定降价销售,已知这种菠萝蜜销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0(1)求y与x之间的函数解析式.
【解析】(1)设y与x之间的函数解析式为y=kx+b(k≠0),
将(2,100),(5,160)代入y=kx+b得:,解得,
∴y与x之间的函数解析式为y=20x+60(0(2)若超市要想获利2 400元,且让顾客获得更大实惠,这种菠萝蜜每千克应降价多少元
【解析】(2)根据题意得(60-x-40)(20x+60)=2 400,
整理得x2-17x+60=0,解得x1=5,x2=12,
又∵要让顾客获得更大实惠,∴x=12.
答:这种菠萝蜜每千克应降价12元.
21.3 实际问题与一元二次方程
第2课时
知识点1 几何图形中的面积问题
1.(2023·南宁西乡塘区期末)如图,某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览,为美化画面,在长为30 cm、宽为20 cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸,并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等,若设彩纸的宽度为x cm,根据题意可列方程为(D)
A.(30+x)(20+x)=600
B.(30+2x)(20+2x)=600
C.(30-2x)(20-2x)=1 200
D.(30+2x)(20+2x)=1 200
2.(2024·南京期中)图①是一张长28 cm,宽16 cm的矩形纸片,将阴影部分裁去(阴影部分为4个完全相同的小矩形)并折叠成一个如图②的底面积为80 cm2的有盖长方体盒子.设该盒子的高为x cm,根据题意,可列方程为(D)
A.(28-2x)(16-2x)=80
B.(28-2×2x)(16-2x)=80
C.(×28-2x)(16-2x)=80
D.(28-2x)(16-2x)=80
3.如图,在一块长32 m,宽24 m的矩形绿地内,建一个矩形花圃.
(1)要使矩形花圃的面积是矩形绿地面积的一半,且矩形花圃四周的绿地等宽,求矩形花圃的周长;
【解析】(1)设矩形花圃四周的绿地宽为x m,则矩形花圃长为(32-2x)m,宽为(24-2x)m,依题意得(32-2x)(24-2x)=×32×24,
整理得x2-28x+96=0,
解得x1=4,x2=24(不符合题意,舍去),
∴2[(32-2x)+(24-2x)]=2×[(32-2×4)+(24-2×4)]=80.
答:矩形花圃的周长为80 m.
(2)要使矩形花圃的面积是矩形绿地面积的一半,且矩形花圃的周长是矩形绿地周长的一半,问这样的矩形花圃能否围出 如果能,请求出矩形花圃的长和宽;如果不能,请说明理由.
【解析】(2)不能围成符合题意的矩形花圃,理由如下:
设矩形花圃的长为y m,则宽为=(28-y)m,
依题意得y(28-y)=×32×24,
整理得y2-28y+384=0.
∵Δ=(-28)2-4×1×384=-752<0,
∴所列方程没有实数根,
∴不能围成符合题意的矩形花圃.
知识点2 销售问题
4.为迎接端午促销活动,某服装店从6月份开始对春装进行“折上折”(两次打折数相同)优惠活动.已知一件原价500元的春装,优惠后实际仅需320元,设该店春装原本打x折,则有(C)
A.500(1-2x)=320 B.500(1-x)2=320
C.500()2=320 D.500(1-)2=320
5.经销商在销售中发现:某款玩具若以每个50元销售,一个月能售出600个,销售单价每涨1元,月销售量就减少20个,这款玩具的进价为每个45元.当月销售利润达到6 120元时,设售价提价x元,则可列方程为 (50+x-45)(600-20x)=6 120 (使用题目给出的原始数据列方程,不需要化简).
6.(2024·广州期中)如图是某月日历表的一部分,在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的数(如12,13,14,19,20,21,26,27,28).若圈出的9个数中,最大数与最小数的积为161,则这9个数中最小数为(C)
A.18 B.13 C.7 D.3
7.一件工艺品进价为100元,标价为135元售出,每天可售出100件,根据销售统计,一件工艺品每降低1元出售,则每天可多售出4件,要使顾客尽量得到优惠,且每天获得利润为3 596元,每件工艺品需降价(B)
A.4元 B.6元
C.4元或6元 D.5元
8.如图,在长为33米、宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路(阴影部分),余下的部分为草坪,要使草坪的面积为510平方米,则道路的宽为 3米 .
9.如图,在矩形ABCD中,AB=16 cm,BC=6 cm,点P从点A出发沿AB以3 cm/s的速度向点B移动,一直到达点B为止;同时,点Q从点C出发沿边CD以2 cm/s的速度向点D移动.设运动时间为t,当PQ=10 cm时,t的值为 .
10.(推理能力、运算能力)在日历上,我们可以发现其中某些数满足一定的规律,如图是1月份的日历.我们任意选择其中所示的菱形框部分,将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后,相对的两对数分别相乘,再相减,例如:9×11-3×17=48, 13×15-7×21=48.不难发现,结果都是48.
(1)请证明发现的规律;
【解析】(1)设中间的数为a,则另外4个数分别为(a-7),(a-1),(a+1),(a+7),
∴(a-1)(a+1)-(a-7)(a+7),
=a2-1-(a2-49),
=a2-1-a2+49
=48,
∴将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后,相对的两对数分别相乘,再相减后的结果为48;
(2)若用一个如图所示的菱形框,再框出5个数字,其中最小数与最大数的积为435,求出这5个数中的最大数;
【解析】(2)设这5个数中最大数为x,则最小数为(x-14),
根据题意得x(x-14)=435,
整理得x2-14x-435=0,
解得x1=29,x2=-15(不符合题意,舍去).
答:这5个数中的最大数是29;
(3)嘉琪说:用一个如图所示的菱形框,框出5个数字,其中最小数与最大数的积是95,直接判断嘉琪的说法是否正确(不必叙述理由).
【解析】(3)嘉琪的说法不正确,理由如下:
设这5个数中最大数为y,则最小数为(y-14),
根据题意得y(y-14)=95,
整理得y2-14y-95=0,
解得y1=19,y2=-5(不符合题意,舍去).
又∵19在日历的最后一列,
∴不符合题意,
∴嘉琪的说法不正确.21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时
知识点1 传播、平均变化率问题
1.有两个人患了流感,经过两轮传染后共有242个人患了流感,设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则x满足的方程是( )
A.(1+x)2=242
B.(2+x)2=242
C.2(1+x)2=242
D.2+2(1+x)+2(1+x)2=242
2.某银行经过最近的两次降息,使一年期存款的年利率由2.25%降低至1.21%,设平均每次降息的百分率为x,则x满足方程( )
A.2.25%(1-2x)=1.21%
B.1.21%(1+2x)=2.25%
C.1.21%(1+x)2=2.25%
D.2.25%(1-x)2=1.21%
3.某地区2022年投入教育经费3 000万元,预计2 024年投入4 320万元.设这两年投入教育经费的年平均增长率为x,则可以列方程为 .
4.刘师傅开了一家商店,今年2月份盈利6 400元.4月份的盈利达到8 100元,且从2月到4月,每个月盈利的增长率相同.
(1)求每个月盈利的增长率;
(2)按照这个增长率,请你估计这家商店5月份的盈利将达到多少元.
知识点2 球赛(握手)问题
5.某校九年级学生毕业时,每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念,全班共送了3 540张相片,如果全班有x名学生,根据题意,列出方程为( )
A.x(x+1)=3 540 B.2x(x+1)=3 540
C.x(x-1)=3 540 D.=3 540
6.在一次足球邀请赛中,参赛的每两个队之间都要比赛一场,共比赛28场,设共有x个队参赛,根据题意,可列方程为 .
7.为了陶冶情操,开发智力,丰富课余生活,市实验学校成立了课外“象棋特长班”.开班仪式上,班内同学一一握手自我介绍(即每位同学都和班内其他同学握手).老师对握手次数做了统计,全班共握手105次,问:该象棋特长班共有多少名学生
8.2023年某电影上映的第一天票房为2亿元,第二天、第三天单日票房持续增长,三天累计票房为6.62亿元,若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长,设平均每天票房的增长率为x,则根据题意,下列方程正确的是( )
A.2(1+x)=6.62
B.2(1+x)2=6.62
C.2(1+x)+2(1+x)2=6.62
D.2+2(1+x)+2(1+x)2=6.62
9.(名师原创)科学兴趣小组的同学们,将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件,全组共互赠了132件,那么全组共有学生( )
A.12名 B.12名或66名
C.15名 D.33名
10.某公司举办产品鉴定会,参加会议的是该公司的林经理和邀请的专家,在专家到会时,林经理和每位专家握一次手表示欢迎;在专家离会时,林经理又和他们每人握一次手表示道别,且参加会议的每两位专家都握了一次手,所有参加会议的人共握手14次,则参加这次会议的专家的人数是 .
11.随着经济收入的不断提高以及汽车行业的快速发展,家用汽车已越来越多地进入普通家庭,汽车消费成为新亮点.抽样调查显示,截至2023年底全市汽车拥有量为14.4万辆.已知2021年底全市汽车拥有量为10万辆.
(1)求2021年底至2023年底全市汽车拥有量的年平均增长率;
(2)按照这个增长速度,2024年底全市汽车拥有量为多少辆
12.(应用意识、运算能力)某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜,计划以每千克60元的价格销售,为了让顾客得到实惠.现决定降价销售,已知这种菠萝蜜销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0(1)求y与x之间的函数解析式.
(2)若超市要想获利2 400元,且让顾客获得更大实惠,这种菠萝蜜每千克应降价多少元
21.3 实际问题与一元二次方程
第2课时
知识点1 几何图形中的面积问题
1.(2023·南宁西乡塘区期末)如图,某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览,为美化画面,在长为30 cm、宽为20 cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸,并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等,若设彩纸的宽度为x cm,根据题意可列方程为( )
A.(30+x)(20+x)=600
B.(30+2x)(20+2x)=600
C.(30-2x)(20-2x)=1 200
D.(30+2x)(20+2x)=1 200
2.(2024·南京期中)图①是一张长28 cm,宽16 cm的矩形纸片,将阴影部分裁去(阴影部分为4个完全相同的小矩形)并折叠成一个如图②的底面积为80 cm2的有盖长方体盒子.设该盒子的高为x cm,根据题意,可列方程为( )
A.(28-2x)(16-2x)=80
B.(28-2×2x)(16-2x)=80
C.(×28-2x)(16-2x)=80
D.(28-2x)(16-2x)=80
3.如图,在一块长32 m,宽24 m的矩形绿地内,建一个矩形花圃.
(1)要使矩形花圃的面积是矩形绿地面积的一半,且矩形花圃四周的绿地等宽,求矩形花圃的周长;
(2)要使矩形花圃的面积是矩形绿地面积的一半,且矩形花圃的周长是矩形绿地周长的一半,问这样的矩形花圃能否围出 如果能,请求出矩形花圃的长和宽;如果不能,请说明理由.
知识点2 销售问题
4.为迎接端午促销活动,某服装店从6月份开始对春装进行“折上折”(两次打折数相同)优惠活动.已知一件原价500元的春装,优惠后实际仅需320元,设该店春装原本打x折,则有( )
A.500(1-2x)=320 B.500(1-x)2=320
C.500()2=320 D.500(1-)2=320
5.经销商在销售中发现:某款玩具若以每个50元销售,一个月能售出600个,销售单价每涨1元,月销售量就减少20个,这款玩具的进价为每个45元.当月销售利润达到6 120元时,设售价提价x元,则可列方程为 (使用题目给出的原始数据列方程,不需要化简).
6.(2024·广州期中)如图是某月日历表的一部分,在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的数(如12,13,14,19,20,21,26,27,28).若圈出的9个数中,最大数与最小数的积为161,则这9个数中最小数为( )
A.18 B.13 C.7 D.3
7.一件工艺品进价为100元,标价为135元售出,每天可售出100件,根据销售统计,一件工艺品每降低1元出售,则每天可多售出4件,要使顾客尽量得到优惠,且每天获得利润为3 596元,每件工艺品需降价( )
A.4元 B.6元
C.4元或6元 D.5元
8.如图,在长为33米、宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路(阴影部分),余下的部分为草坪,要使草坪的面积为510平方米,则道路的宽为 .
9.如图,在矩形ABCD中,AB=16 cm,BC=6 cm,点P从点A出发沿AB以3 cm/s的速度向点B移动,一直到达点B为止;同时,点Q从点C出发沿边CD以2 cm/s的速度向点D移动.设运动时间为t,当PQ=10 cm时,t的值为 .
10.(推理能力、运算能力)在日历上,我们可以发现其中某些数满足一定的规律,如图是1月份的日历.我们任意选择其中所示的菱形框部分,将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后,相对的两对数分别相乘,再相减,例如:9×11-3×17=48, 13×15-7×21=48.不难发现,结果都是48.
(1)请证明发现的规律;
(2)若用一个如图所示的菱形框,再框出5个数字,其中最小数与最大数的积为435,求出这5个数中的最大数;
(3)嘉琪说:用一个如图所示的菱形框,框出5个数字,其中最小数与最大数的积是95,直接判断嘉琪的说法是否正确(不必叙述理由).
