第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第1课时
【A层 基础夯实】
知识点1 根据直角三角形的边长求锐角的正弦值
1.(教材再开发·P64练习第1题改编)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=5,则sin A的值为 (B)
A. B. C. D.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,若3a=4b,则sin B的值是 .
3.(2023·钦州灵山县期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,AB=3.
(1)求BC的长;
【解析】(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,AB=3,
∴BC===;
(2)求sin A的值.
【解析】(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=,∴sin A==.
知识点2 根据锐角的正弦值求边长
4.(2024·来宾合山市质检)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,sin B=,AC=2,则BC长为(C)
A.2 B.4 C.6 D.8
5.在△ABC中,∠C=90°,AB=15,sin A=,则AC的长等于 (B)
A.45 B.10
C.10 D.5
6.如图,在△ABC中,AB=AC,sin A=,BC=2,则△ABC的面积为 30 .
【B层 能力进阶】
7.在Rt△ABC中,各边都扩大5倍,则锐角A的正弦函数值 (A)
A.不变 B.扩大5倍
C.缩小到原来的 D.不能确定
8.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,若AB=6,AC=8,点D是AC上一点,且=,则sin ∠DBC的值为(B)
A. B. C. D.
9.(2024·百色田东县模拟)如图,将∠AOB放置在5×5的正方形网格中,则sin∠AOB的值是 (D)
A. B. C. D.
10.(名师原创)如图,等腰△ABC的周长是36 cm,底边为10 cm,则底角的正弦值是 .
11.(2024·贺州市八步区质检)如图所示,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=2,CD=8.连接AC,AC⊥CD,若sin∠ACB=,则AD的长度是 10 .
12.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BC=9,sin B=,点E在边AC上,且AE=2EC,过点E作DE∥BC交边AB于点D,∠ACB的平分线CF交线段DE于点F,求DF的长.
【解析】∵∠BAC=90°,BC=9,sin B=,sin B=,∴=,
解得AC=6,
∵AE=2EC,∴AE=4,EC=2,∵DE∥BC,
∴∠ABC=∠ADE,∠EFC=∠BCF,
∵sin B=,AE=4,∴DE=6,
∵CF平分∠ACB,∴∠ECF=∠BCF,
∴∠EFC=∠ECF,∴EF=EC=2,
∴DF=DE-EF=6-2=4.
【C层 素养冲A+(选做)】
13.(推理能力、几何直观、运算能力)【知识再现】
如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.
∵sin A=,sin B=,∴c=,c=.
∴=.
【拓展探究】
如图2,在锐角△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.
请探究,,之间的关系,并写出探究过程.
【解决问题】
如图3,为测量点A到河对岸点B的距离,选取与点A在河岸同一侧的点C,测得AC=60 m,∠A=75°,∠C=60°.请用拓展探究中的结论,求点A到点B的距离.
【解析】在△ABC中,∠CBA=180°-∠A-∠C=180°-75°-60°=45°,
∵=,
∴=,
∴AB=30 m,
∴点A到点B的距离为30 m.第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第1课时
【A层 基础夯实】
知识点1 根据直角三角形的边长求锐角的正弦值
1.(教材再开发·P64练习第1题改编)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=5,则sin A的值为 ()
A. B. C. D.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,若3a=4b,则sin B的值是 .
3.(2023·钦州灵山县期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,AB=3.
(1)求BC的长;
(2)求sin A的值.
知识点2 根据锐角的正弦值求边长
4.(2024·来宾合山市质检)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,sin B=,AC=2,则BC长为()
A.2 B.4 C.6 D.8
5.在△ABC中,∠C=90°,AB=15,sin A=,则AC的长等于 ()
A.45 B.10
C.10 D.5
6.如图,在△ABC中,AB=AC,sin A=,BC=2,则△ABC的面积为 .
【B层 能力进阶】
7.在Rt△ABC中,各边都扩大5倍,则锐角A的正弦函数值 ()
A.不变 B.扩大5倍
C.缩小到原来的 D.不能确定
8.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,若AB=6,AC=8,点D是AC上一点,且=,则sin ∠DBC的值为()
A. B. C. D.
9.(2024·百色田东县模拟)如图,将∠AOB放置在5×5的正方形网格中,则sin∠AOB的值是 ()
A. B. C. D.
10.(名师原创)如图,等腰△ABC的周长是36 cm,底边为10 cm,则底角的正弦值是 .
11.(2024·贺州市八步区质检)如图所示,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=2,CD=8.连接AC,AC⊥CD,若sin∠ACB=,则AD的长度是 .
12.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BC=9,sin B=,点E在边AC上,且AE=2EC,过点E作DE∥BC交边AB于点D,∠ACB的平分线CF交线段DE于点F,求DF的长.
【C层 素养冲A+(选做)】
13.(推理能力、几何直观、运算能力)
【知识再现】
如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.
∵sin A=,sin B=,∴c=,c=.
∴=.
【拓展探究】
如图2,在锐角△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.
请探究,,之间的关系,并写出探究过程.
【解决问题】
如图3,为测量点A到河对岸点B的距离,选取与点A在河岸同一侧的点C,测得AC=60 m,∠A=75°,∠C=60°.请用拓展探究中的结论,求点A到点B的距离.
