28.1 锐角三角函数
第2课时
【A层 基础夯实】
知识点1 根据定义求锐角的余弦值、正切值
1.(教材再开发·P65练习第1题改编)在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=6,BC=8,则cos A的值为 ( )
A. B. C. D.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且c=3a,则tan A的值为 .
知识点2 根据锐角三角函数值进行计算
3.(教材再开发·P84复习题28第2题改编)如图,在△ABC中,∠C=90°,cos A=,AC=4,则AB的长为 ( )
A.4 B.8 C.8 D.12
4.(2023·上海模拟)已知在△ABC中,AB=13,BC=17,tan B=,那么AC= .
5.在△ABC中,∠C=90°,BC=24 cm,cos A=,求这个三角形的周长.
6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,tan A=,求BC的长和sin B的值.
知识点3 同角(互余两角)锐角三角函数的关系
7.(易错警示题·混淆不同三角函数的意义)(2024·贵港市港南区模拟)Rt△ABC中,∠C=90°,已知cos A=,那么tan A等于( )
A. B. C. D.
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,若sin A=,则cos B= .
【B层 能力进阶】
9.(2023·柳州融安县期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,下列式子正确的是 ( )
A.sin A= B.cos A=
C.tan A= D.cos B=
10.如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上,点C在OB上,OC∶BC=1∶2,连接AC,过点O作OP∥AB交AC的延长线于P.若P(1,1),则tan ∠OAP的值是 ( )
A. B. C. D.3
11.(2024·贺州市钟山县模拟)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,cos B=,点D在BC边上,CD=AC,AB=26,则BD的长为 .
12.(名师原创)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD垂直于AB,tan∠DCB=,AC=12,则BC= .
13.(2023·南宁市武鸣区质检)下列关系式是否成立(0<α<90°),请说明理由.
(1)sin α+cos α≤1;
(2)sin 2α=2sin α.
14.如图,已知在△ABC中,CD⊥AB,垂足为点D,AD=2,BD=6,tan B=,点E是边BC的中点.
(1)求边AC的长;
(2)求∠EAB的余弦值.
【C层 素养冲A+(选做)】
15.(几何直观、运算能力、推理能力)构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现,在计算tan 15°时,如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,∠ABC=30°,延长CB到点D,使BD=AB,连接AD,得∠D=15°,所以tan 15°==.类比这种方法,计算的值为 . 28.1 锐角三角函数
第2课时
【A层 基础夯实】
知识点1 根据定义求锐角的余弦值、正切值
1.(教材再开发·P65练习第1题改编)在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=6,BC=8,则cos A的值为 (A)
A. B. C. D.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且c=3a,则tan A的值为 .
知识点2 根据锐角三角函数值进行计算
3.(教材再开发·P84复习题28第2题改编)如图,在△ABC中,∠C=90°,cos A=,AC=4,则AB的长为 (B)
A.4 B.8 C.8 D.12
4.(2023·上海模拟)已知在△ABC中,AB=13,BC=17,tan B=,那么AC= 5 .
5.在△ABC中,∠C=90°,BC=24 cm,cos A=,求这个三角形的周长.
【解析】在△ABC中,∠C=90°,cos A==,设AC=5x cm,AB=13x cm,
则BC=12x cm,由12x=24得x=2,
∴AB=26 cm,AC=10 cm,
∴△ABC的周长为10+24+26=60(cm).
6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,tan A=,求BC的长和sin B的值.
【解析】∵tan A==,
∴AC=2BC,
在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,
即(2BC)2+BC2=102,
解得BC=2,
∴AC=2BC=4,
sin B===.
知识点3 同角(互余两角)锐角三角函数的关系
7.(易错警示题·混淆不同三角函数的意义)(2024·贵港市港南区模拟)Rt△ABC中,∠C=90°,已知cos A=,那么tan A等于(A)
A. B. C. D.
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,若sin A=,则cos B= .
【B层 能力进阶】
9.(2023·柳州融安县期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,下列式子正确的是 (A)
A.sin A= B.cos A=
C.tan A= D.cos B=
10.如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上,点C在OB上,OC∶BC=1∶2,连接AC,过点O作OP∥AB交AC的延长线于P.若P(1,1),则tan ∠OAP的值是 (C)
A. B. C. D.3
11.(2024·贺州市钟山县模拟)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,cos B=,点D在BC边上,CD=AC,AB=26,则BD的长为 14 .
12.(名师原创)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD垂直于AB,tan∠DCB=,AC=12,则BC= 9 .
13.(2023·南宁市武鸣区质检)下列关系式是否成立(0<α<90°),请说明理由.
(1)sin α+cos α≤1;
【解析】(1)该不等式不成立,理由如下:
如图,在△ABC中,∠B=90°,∠C=α.
则sin α+cos α=+=>1,故sin α+cos α≤1不成立;
(2)sin 2α=2sin α.
【解析】(2)该等式不成立,理由如下:假设α=30°,则sin 2α=sin 60°=,2sin α=2sin 30°=2×=1,
∵≠1,
∴sin 2α≠2sin α,即sin 2α=2sin α不成立.
14.如图,已知在△ABC中,CD⊥AB,垂足为点D,AD=2,BD=6,tan B=,点E是边BC的中点.
(1)求边AC的长;
【解析】(1)∵CD⊥AB,
∴△ACD,△BCD均为直角三角形,
在Rt△CDB中,
∵BD=6,tan B==,∴CD=4,
在Rt△CDA中,
AC===2.
(2)求∠EAB的余弦值.
【解析】(2)过点E作EF⊥AB,垂足为F,
∵CD⊥AB,EF⊥AB,∴CD∥EF,
又∵点E是边BC的中点,∴EF是△BCD的中位线,
∴DF=BF=3,EF=CD=2,
∴AF=AD+DF=2+3=5,
在Rt△AEF中,AE===,
∴cos ∠EAB===.
【C层 素养冲A+(选做)】
15.(几何直观、运算能力、推理能力)构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现,在计算tan 15°时,如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,∠ABC=30°,延长CB到点D,使BD=AB,连接AD,得∠D=15°,所以tan 15°==.类比这种方法,计算的值为 +1 .
