28.1 锐角三角函数
第3课时
【A层 基础夯实】
知识点1 特殊角的三角函数值
1.(2024·桂林临桂县模拟)2sin 60°的值等于 (C)
A.1 B. C. D.
2.(2023·河池宜州区期末)式子2cos 30°-tan 45°的值是 (C)
A.1- B.0
C.-1 D.-
3.计算:sin230°+cos245°= .
4.北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计,体现了环保低碳理念.如图所示,它的主体形状呈正六边形.若点A,F,B,D,C,E是正六边形的六个顶点,则tan ∠ABE= .
5.计算:sin 45°-tan 60°·tan 30°.
【解析】sin 45°-tan 60°·tan 30°
=-×
=-1.
6.计算:sin 30°·tan 45°+sin260°-2cos 60°.
【解析】原式=×1+()2-2×
=+-1
=.
知识点2 根据三角函数值求锐角的度数
7.(2024·贵港平南县质检)已知在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=,则∠B的度数是 (C)
A.30° B.45° C.60° D.75°
8.在△ABC中,若|sin A-|+(-cos B)2=0,则∠C的度数是 105° .
9.(教材再开发·P67练习第2题改编)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,其中a=4,b=4,求∠A,∠B和边c.
【解析】在Rt△ABC中,∠C=90°,
∴tan B===,∴∠B=60°,
∵∠A+∠B=90°,
∴∠A=90°-∠B=90°-60°=30°,
∴c=AB=2BC=2×4=8.
【B层 能力进阶】
10.下列说法中正确的是 (B)
A.在Rt△ABC中,∠C=90°,若tan A=,则a=4,b=3
B.在Rt△ABC中,∠C=90°,若a=3,b=4,则tan A=
C.tan 30°+tan 60°=1
D.tan 60°=2tan 30°
11.(2024·贵港市港南区质检)在△ABC中,已知∠A,∠B均为锐角,且有|tan2B-3|+(2sin A-)2=0,则△ABC是 (A)
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.钝角三角形
12.(2023·北海合浦县期末)已知α为锐角,且cos(90°-α)=,则tan α= 1 .
13.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,周长为20,tan ∠DAC=,则BD的长为 5 .
14.(2023·贺州市八步区期末)计算:2sin 60°-3tan 30°-(-)0+(-1)2 024.
【解析】原式=2×-3×-1+1=--1+1=0.
15.已知α为锐角,且tan α是方程x2+2x-3=0的一个根,求2sin2α+cos2α-tan(α+15°)的值.
【解析】解方程x2+2x-3=0,得x1=1,x2=-3,
∵tan α>0,∴tan α=1,∴α=45°,
∴2sin2α+cos2α-tan(α+15°)
=2sin245°+cos245°-tan(45°+15°)
=2×()2+()2-×=-.
【C层 素养冲A+(选做)】
16.(新定义题、运算能力、推理能力)(2023·柳州柳江区质检)规定:sin(-x)=-sin x,cos(-x)=cos x,sin(x+y)=sin x·cos y+cos x·sin y.据此
(1)判断下列等式成立的是②③(填序号).
①cos(-60°)=-;
②sin 2x=2sin x·cos x;
③sin(x-y)=sin x·cos y-cos x·sin y.
【解析】(1)①cos(-60°)=cos 60°=,等式不成立;
②sin 2x=sin x·cos x+cos x·sin x=2sin x·cos x,等式成立;
③sin(x-y)=sin x·cos(-y)+cos x·sin(-y)=sin x·cos y-cos x·sin y,等式成立.
(2)利用上面的规定求:①sin 75°,②sin 15°.
答案: (2)①sin 75°=sin(30°+45°)=sin 30°·cos 45°+cos 30°·sin 45°
=×+×=+=;
②sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°·cos 30°-cos 45°·sin 30°=×-×=.
素养提升攻略
涨知识了
关于三角函数有如下的公式:
①sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β,
②cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β,
③tan(α±β)=.
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值.
素养训练32运算能力、模型观念
定义一种运算:
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
例如:当α=45°,β=30°时,sin(45°+30°)=×+×=,则sin 15°的值为 .
文化体验
我国三国时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时,用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形,这个图被称为“弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现,是中国古代数学的图腾,体现了中国古代数学的成就,还被用作第24届国际数学家大会的会标.
素养训练33几何直观、推理能力、运算能力
1.(2023·内蒙古中考)如图源于我国三国时期数学家赵爽的弦图,它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.若小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为α,则cos α的值为 (D)
A. B. C. D.
2.如图,已知大正方形ABCD的面积是100,小正方形EFGH的面积是4.则:
(1)AF= 6 ;
(2)tan∠ADF= . 28.1 锐角三角函数
第3课时
【A层 基础夯实】
知识点1 特殊角的三角函数值
1.(2024·桂林临桂县模拟)2sin 60°的值等于 ( )
A.1 B. C. D.
2.(2023·河池宜州区期末)式子2cos 30°-tan 45°的值是 ( )
A.1- B.0
C.-1 D.-
3.计算:sin230°+cos245°= .
4.北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计,体现了环保低碳理念.如图所示,它的主体形状呈正六边形.若点A,F,B,D,C,E是正六边形的六个顶点,则tan ∠ABE= .
5.计算:sin 45°-tan 60°·tan 30°.
6.计算:sin 30°·tan 45°+sin260°-2cos 60°.
知识点2 根据三角函数值求锐角的度数
7.(2024·贵港平南县质检)已知在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=,则∠B的度数是 ( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
8.在△ABC中,若|sin A-|+(-cos B)2=0,则∠C的度数是 .
9.(教材再开发·P67练习第2题改编)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,其中a=4,b=4,求∠A,∠B和边c.
【B层 能力进阶】
10.下列说法中正确的是 ( )
A.在Rt△ABC中,∠C=90°,若tan A=,则a=4,b=3
B.在Rt△ABC中,∠C=90°,若a=3,b=4,则tan A=
C.tan 30°+tan 60°=1
D.tan 60°=2tan 30°
11.(2024·贵港市港南区质检)在△ABC中,已知∠A,∠B均为锐角,且有|tan2B-3|+(2sin A-)2=0,则△ABC是 ( )
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.钝角三角形
12.(2023·北海合浦县期末)已知α为锐角,且cos(90°-α)=,则tan α= .
13.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,周长为20,tan ∠DAC=,则BD的长为 .
14.(2023·贺州市八步区期末)计算:2sin 60°-3tan 30°-(-)0+(-1)2 024.
15.已知α为锐角,且tan α是方程x2+2x-3=0的一个根,求2sin2α+cos2α-tan(α+15°)的值.
【C层 素养冲A+(选做)】
16.(新定义题、运算能力、推理能力)(2023·柳州柳江区质检)规定:sin(-x)=-sin x,cos(-x)=cos x,sin(x+y)=sin x·cos y+cos x·sin y.据此
(1)判断下列等式成立的是②③(填序号).
①cos(-60°)=-;
②sin 2x=2sin x·cos x;
③sin(x-y)=sin x·cos y-cos x·sin y.
(2)利用上面的规定求:①sin 75°,②sin 15°.
素养提升攻略
涨知识了
关于三角函数有如下的公式:
①sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β,
②cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β,
③tan(α±β)=.
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值.
素养训练32运算能力、模型观念
定义一种运算:
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
例如:当α=45°,β=30°时,sin(45°+30°)=×+×=,则sin 15°的值为 .
文化体验
我国三国时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时,用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形,这个图被称为“弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现,是中国古代数学的图腾,体现了中国古代数学的成就,还被用作第24届国际数学家大会的会标.
素养训练33几何直观、推理能力、运算能力
1.(2023·内蒙古中考)如图源于我国三国时期数学家赵爽的弦图,它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.若小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为α,则cos α的值为 ( )
A. B. C. D.
2.如图,已知大正方形ABCD的面积是100,小正方形EFGH的面积是4.则:
(1)AF= ;
(2)tan∠ADF= .
