28.2 解直角三角形及其应用
28.2.1 解直角三角形
【A层 基础夯实】
知识点1 解直角三角形
1.在Rt△ABC中,有下列情况,则直角三角形可解的是 (B)
A.已知BC=6,∠C=90°
B.已知∠C=90°,∠A=60°,BC=5
C.已知∠C=90°,∠A=∠B
D.已知∠C=30°,∠B=60°
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,已知∠A及其对边BC等于a,则Rt△ABC的斜边长应为 (B)
A.asin A B.
C.acos A D.
3.(教材再开发·P74练习第(1)题改编)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,AB=4.解这个直角三角形.
【解析】如图,在Rt△ACB中,∵∠C=90°,AC=2,AB=4,
∴BC===2,
∴AB=2BC,
∴∠A=30°,∠B=60°.
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=50°12',AB=6,解这个直角三角形.(结果精确到0.01,参考数据:sin 50°12'≈0.768,cos 50°12'≈0.640,tan 50°12'≈1.200)
【解析】∵∠C=90°,∠A=50°12',AB=6,
∴∠B=90°-50°12'=39°48',sin A=,
∴BC=AB×sin A≈6×0.768≈4.61,
cos A=,AC=AB×cos A≈6×0.640=3.84,
即AC=3.84,BC=4.61,∠B=39°48'.
知识点2 解非直角三角形
5.如图,在△ABC中,∠C=45°,tan B=,AD⊥BC于点D,AC=2,若E,F分别为AC,BC的中点,则EF= 2 .
6.(2023·广东中考)如图,在 ABCD中,∠DAB=30°.
(1)实践与操作:用尺规作图法过点D作AB边上的高DE;(保留作图痕迹,不要求写作法)
【解析】(1)如图线段DE即为所求;
(2)应用与计算:在(1)的条件下,AD=4,AB=6,求BE的长.
【解析】(2)∵cos ∠DAB=,
∴AE=AD·cos 30°=4×=2,
∴BE=AB-AE=6-2.
7.如图,在△ABC中,∠B=45°,tan C=,AC=2,求BC的长.
【解析】过点A作AD⊥BC,垂足为D,
∴△ABD,△ACD均为直角三角形,在Rt△ACD中,
∵tan C==,
∴AD=CD,∵AD2+CD2=AC2,∴(CD)2+CD2=(2)2,
∴CD2=36,∴CD=6,AD=4,在Rt△ABD中,
∵∠B=45°,∴BD=AD=4,∴BC=BD+CD=4+6=10.
【B层 能力进阶】
8.(2024·南宁青秀区模拟)如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,cos C=,AB=6,AC=6,则BC的长为 (A)
A.12 B.12 C.9 D.9
9.如图,△ABC底边BC上的高为h1,△PQR底边QR上的高为h2,则有 (A)
A.h1=h2 B.h1C.h1>h2 D.以上都有可能
10.(2023·上海期末)如图,已知tan O=,点P在边OA上,OP=5,点M,N在边OB上,PM=PN,如果MN=2,那么PM= .
11.(名师原创)如图,在△ABC中,∠A=120°,AB=4,AC=2,则sin B= .
12.在△ABC中,AB=6,AC=2,∠B=45°,则∠C= 60°或120° .
13.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,cos A=.D是AB边的中点,过点D作直线CD的垂线,与边BC相交于点E.
(1)求线段CE的长;
【解析】(1)∵∠ACB=90°,AC=6,cos A=,
∴=,∴AB=10,
∴BC==8.
又∵D为AB的中点,
∴AD=BD=CD=AB=5,
∴∠DCB=∠B,
∴cos∠DCB=,cos∠B=,
∴=,∴CE=;
(2)求sin∠BDE的值.
【解析】(2)作EF⊥AB交AB于点F,
由(1)知CE=,
则BE=8-=,
DE==,
设BF=x,则DF=BD-BF=5-x,
在Rt△DEF中,EF2=DE2-DF2=()2-(5-x)2,
在Rt△BEF中,
EF2=BE2-BF2=()2-x2,
∴-(5-x)2=-x2,
解得x=,
∴EF2=()2-()2=,EF=,
∴sin∠BDE==.
【C层 素养冲A+(选做)】
14.(推理能力、模型观念、运算能力)已知△ABC为钝角三角形,其中∠A>90°,有下列条件:
①AB=10;②AC=6;③tan B=;④tan C=;
(1)你认为从中至少选择3个条件,可以求出BC边的长;
【解析】(1)根据解直角三角形的条件可知,至少选择3个条件,可以求出BC边的长.
(2)你选择的条件是 (直接填写序号),并写出求BC的解答过程.
【解析】(2)选择①②④,BC=20,理由如下:
过点A作AD⊥BC于点D,如图所示:
设AD=x,∵tan C=,∴CD=2x,
∵AC=6,
根据勾股定理,得x2+(2x)2=(6)2,
解得x=6或x=-6(不合题意,舍去),
∴AD=6,CD=2x=12,∵AB=10,
根据勾股定理,得BD==8,
∴BC=CD+BD=12+8=20.
(答案不唯一)28.2 解直角三角形及其应用
28.2.1 解直角三角形
【A层 基础夯实】
知识点1 解直角三角形
1.在Rt△ABC中,有下列情况,则直角三角形可解的是 ( )
A.已知BC=6,∠C=90°
B.已知∠C=90°,∠A=60°,BC=5
C.已知∠C=90°,∠A=∠B
D.已知∠C=30°,∠B=60°
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,已知∠A及其对边BC等于a,则Rt△ABC的斜边长应为 ( )
A.asin A B.
C.acos A D.
3.(教材再开发·P74练习第(1)题改编)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,AB=4.解这个直角三角形.
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=50°12',AB=6,解这个直角三角形.(结果精确到0.01,参考数据:sin 50°12'≈0.768,cos 50°12'≈0.640,tan 50°12'≈1.200)
知识点2 解非直角三角形
5.如图,在△ABC中,∠C=45°,tan B=,AD⊥BC于点D,AC=2,若E,F分别为AC,BC的中点,则EF= .
6.(2023·广东中考)如图,在 ABCD中,∠DAB=30°.
(1)实践与操作:用尺规作图法过点D作AB边上的高DE;(保留作图痕迹,不要求写作法)
(2)应用与计算:在(1)的条件下,AD=4,AB=6,求BE的长.
7.如图,在△ABC中,∠B=45°,tan C=,AC=2,求BC的长.
【B层 能力进阶】
8.(2024·南宁青秀区模拟)如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,cos C=,AB=6,AC=6,则BC的长为 ( )
A.12 B.12 C.9 D.9
9.如图,△ABC底边BC上的高为h1,△PQR底边QR上的高为h2,则有 ( )
A.h1=h2 B.h1C.h1>h2 D.以上都有可能
10.(2023·上海期末)如图,已知tan O=,点P在边OA上,OP=5,点M,N在边OB上,PM=PN,如果MN=2,那么PM= .
11.(名师原创)如图,在△ABC中,∠A=120°,AB=4,AC=2,则sin B= .
12.在△ABC中,AB=6,AC=2,∠B=45°,则∠C= .
13.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,cos A=.D是AB边的中点,过点D作直线CD的垂线,与边BC相交于点E.
(1)求线段CE的长;
(2)求sin∠BDE的值.
【C层 素养冲A+(选做)】
14.(推理能力、模型观念、运算能力)已知△ABC为钝角三角形,其中∠A>90°,有下列条件:
①AB=10;②AC=6;③tan B=;④tan C=;
(1)你认为从中至少选择3个条件,可以求出BC边的长;
(2)你选择的条件是 (直接填写序号),并写出求BC的解答过程.
