28.2.2 应用举例
第2课时
【A层 基础夯实】
知识点1 应用解直角三角形解决方向角问题
1.(2023·广州中考)如图,海中有一小岛A,在B点测得小岛A在北偏东30°方向上,渔船从B点出发由西向东航行10 n mile到达C点,在C点测得小岛A恰好在正北方向上,此时渔船与小岛A的距离为 ( )
A.n mile B.n mile
C.20n mile D.10n mile
2.(名师原创)田远同学从家里沿北偏西60°方向走100 m到商场购买文具,再从商场向正南方向走200 m到学校,田远同学的家离学校( )
A.50 m B.100 m
C.150 m D.100 m
3.(教材再开发·P77练习T1改编)(2023·钦州浦北县期中)某轮船由西向东航行,在A处测得小岛P的方位是北偏东75°,又继续航行7海里后,在B处测得小岛P的方位是北偏东60°,则此时轮船与小岛P的距离BP= 海里.
知识点2 应用解直角三角形解决坡度、坡角问题
4.(易错警示题·概念不清)(2023·贵港港南区模拟)如图,在外力的作用下,一个滑块沿坡度为i=1∶3的斜坡向上移动了10米.此时滑块上升的高度是 ( )
A.米 B.米
C.3米 D.10米
5.如图,AD是土坡AB左侧的一个斜坡,坡度为55°,村委会在坡底D处建一个高为3米的平台,并将斜坡AD改为AC,坡比i=1∶1,求土坡AB的高度.(精确到0.1米,参考数据:sin 55°≈0.82,cos 55°≈0.57,tan 55°≈1.43)
【B层 能力进阶】
6.(2024·北海海城区模拟)一艘游轮从小岛A正南方向的点B处向西航行m海里到达点C处,然后沿北偏西45°方向航行n海里到达点D处,此时观测到小岛A在北偏东60°方向,则小岛A与出发点B之间的距离为 ( )
A.m+n海里
B.n+m海里
C.m+n海里
D.n+m海里
7.(教材再开发·P77练习T2改编)如图,某防洪大坝的横截面是梯形ABCD,迎水坡CD的坡角为30°,坝顶AD的宽度为2米,坝高AE为4米,背水坡AB的坡度i=1∶1.
(1)求该堤坝的横截面积(结果保留根号);
(2)为更好应对可能来临的汛情,防洪指挥部决定加固堤坝,要求坝高不变,坝顶宽度增加1米,背水坡的坡度改为i=1∶1.5,求加固后的堤坝的横截面积(结果保留根号).
【C层 素养冲A+(选做)】
8.(应用意识、几何直观、运算能力)(2023·泰州中考)如图,堤坝AB长为10 m,坡度i为1∶0.75,底端A在地面上,堤坝与对面的山之间有一深沟,山顶D处立有高20 m的铁塔CD.小明欲测量山高DE,他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线AB上,又在坝顶B处测得塔底D的仰角α为26°35'.求堤坝高及山高DE.(sin 26°35'≈0.45,cos 26°35'≈0.89,tan 26°35'≈0.50,小明身高忽略不计,结果精确到1 m)
素养提升攻略
综合实践跨学科主题学习
【主题学习】高度的测量
【活动目的】做一个简单的测角仪,会用测角仪测量塔高
【理论支撑】相似三角形,锐角三角函数,解直角三角形
【进程跟踪】制作测角仪:数学研究小组根据以往的学习经验,制作了一种简单的测角仪:把一根细线固定在量角器的圆心处,细线的另一端系一个重物;将量角器拿在眼前,使视线沿着量角器的直径刚好看到需测量物体的顶端,这样可以得出需测量物体的仰角的度数.
测量过程:
我们可以利用这种简单测角仪测量塔高.
(1)测量工具有:简单测角仪,测量尺;
(2)设CD表示塔高,测量过程的几何图形如图所示;需要测量的几何量如下:
①在点A、点B处用测角仪测出仰角α,β,
②测出A,B两点之间的距离s;
(3)通过解直角三角形求出CD的高度.
实地测量:
某学校兴趣小组开展实践活动,通过观测数据,计算气球升空的高度AB.如图,在平面内,点B,C,D在同一直线上,AB⊥CB于点B,在C处测得气球A的仰角为45°,向前走140米到达点D,在D处测得气球A的仰角为52°,求AB的高度.(参考数据:sin 52°≈0.79,cos 52°≈0.62,tan 52°≈1.28)
项目式学习
根据以下素材,探索完成任务.
探究车牌识别系统的识别角度
素材1 某小区为解决“停车难”这个问题,改造一个地下停车库.图1是该地下停车库坡道出入口的侧面示意图.地下停车库高BC=4.5 m,BC⊥AC,出入口斜坡AB长20.5 m.
素材2 图2是地下停车库门口安装的车牌识别设备,摄像头D点位于B点正上方,DB=1.5 m,D,B,C三点共线.摄像头可以调整可识别角度,可识别角度∠EDB的最大范围是70°,在斜坡上的有效识别区域为EB,车辆进入识别区域无需停留,闸门3秒即会自动打开,车辆通过后,闸门才会自动关闭.(参考数据:sin 53°≈0.8,cos 53°≈0.6,tan 53°≈,sin 70°≈0.94,cos 70°≈0.34,tan 70°≈2.75)
素材3 汽车从地下车库驶出,在斜坡上保持匀速行驶,车库限速5 km/h.
问题 解决 任务一 确定斜坡坡比:如图1,求的值.
任务二 判断车辆是否顺利通过:如图3,当∠EDB=53°时,请判断此时车辆以最高限速行驶到达B点时,闸门是否已经打开,请通过计算说明.
项目 反思 任务三 能否通过调整摄像头的识别角度,使汽车以最高限速行驶时,可以顺利通过闸口,请计算tan∠EDC的取值范围.28.2.2 应用举例
第2课时
【A层 基础夯实】
知识点1 应用解直角三角形解决方向角问题
1.(2023·广州中考)如图,海中有一小岛A,在B点测得小岛A在北偏东30°方向上,渔船从B点出发由西向东航行10 n mile到达C点,在C点测得小岛A恰好在正北方向上,此时渔船与小岛A的距离为 (D)
A.n mile B.n mile
C.20n mile D.10n mile
2.(名师原创)田远同学从家里沿北偏西60°方向走100 m到商场购买文具,再从商场向正南方向走200 m到学校,田远同学的家离学校(D)
A.50 m B.100 m
C.150 m D.100 m
3.(教材再开发·P77练习T1改编)(2023·钦州浦北县期中)某轮船由西向东航行,在A处测得小岛P的方位是北偏东75°,又继续航行7海里后,在B处测得小岛P的方位是北偏东60°,则此时轮船与小岛P的距离BP= 7 海里.
知识点2 应用解直角三角形解决坡度、坡角问题
4.(易错警示题·概念不清)(2023·贵港港南区模拟)如图,在外力的作用下,一个滑块沿坡度为i=1∶3的斜坡向上移动了10米.此时滑块上升的高度是 (A)
A.米 B.米
C.3米 D.10米
5.如图,AD是土坡AB左侧的一个斜坡,坡度为55°,村委会在坡底D处建一个高为3米的平台,并将斜坡AD改为AC,坡比i=1∶1,求土坡AB的高度.(精确到0.1米,参考数据:sin 55°≈0.82,cos 55°≈0.57,tan 55°≈1.43)
【解析】过点C作CE⊥AB于点E,
设AE=x米,∵CD⊥BD,AB⊥BD,
∴四边形CDBE为矩形,
∴BE=CD=3米,CE=DB.
∵斜坡AC的坡比i=1∶1,
∴CE=AE=x米,∴AB=(x+3)米,
在Rt△ADB中,tan ∠ADB=,
即≈1.43,解得x≈6.98,
则AB=x+3=9.98≈10.0(米).
答:土坡AB的高度约为10.0米.
【B层 能力进阶】
6.(2024·北海海城区模拟)一艘游轮从小岛A正南方向的点B处向西航行m海里到达点C处,然后沿北偏西45°方向航行n海里到达点D处,此时观测到小岛A在北偏东60°方向,则小岛A与出发点B之间的距离为 (A)
A.m+n海里
B.n+m海里
C.m+n海里
D.n+m海里
7.(教材再开发·P77练习T2改编)如图,某防洪大坝的横截面是梯形ABCD,迎水坡CD的坡角为30°,坝顶AD的宽度为2米,坝高AE为4米,背水坡AB的坡度i=1∶1.
(1)求该堤坝的横截面积(结果保留根号);
【解析】
(1)过点D作DF⊥BC于点F,
则四边形AEFD为矩形,
∴EF=AD=2米,DF=AE=4米.
∵背水坡AB的坡度i=1∶1,
∴BE=AE=4米.
在Rt△DCF中,∠DCF=30°,
则CF===4(米),
∴堤坝的横截面积为×(2+4+2+4)×4=(16+8)平方米.
(2)为更好应对可能来临的汛情,防洪指挥部决定加固堤坝,要求坝高不变,坝顶宽度增加1米,背水坡的坡度改为i=1∶1.5,求加固后的堤坝的横截面积(结果保留根号).
【解析】(2)梯形GHCD是加固后堤坝的横截面,
过点G作GQ⊥BC于点Q,则GQ=AE=4米.
∵加固后背水坡的坡度改为i=1∶1.5,
∴HQ=6米,
∴CH=HQ+QF+FC=(9+4)米,
则加固后堤坝的横截面积为×(9+4+3)×4=(24+8)平方米.
答:加固后的堤坝的横截面积为(24+8)平方米.
【C层 素养冲A+(选做)】
8.(应用意识、几何直观、运算能力)(2023·泰州中考)如图,堤坝AB长为10 m,坡度i为1∶0.75,底端A在地面上,堤坝与对面的山之间有一深沟,山顶D处立有高20 m的铁塔CD.小明欲测量山高DE,他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线AB上,又在坝顶B处测得塔底D的仰角α为26°35'.求堤坝高及山高DE.(sin 26°35'≈0.45,cos 26°35'≈0.89,tan 26°35'≈0.50,小明身高忽略不计,结果精确到1 m)
【解析】过B作BH⊥AE于H,
∵坡度i为1∶0.75,
∴设BH=4x m,AH=3x m,
∴AB==5x=10 m,
∴x=2,∴AH=6 m,BH=8 m,
过B作BF⊥CE于F,
则EF=BH=8 m,BF=EH,
设DF=a m,∵α=26°35'.
∴BF===2a,
∴AE=6+2a,
∵坡度i为1∶0.75,
∴CE∶AE=(20+a+8)∶(6+2a)=1∶0.75,
∴a=12,∴DF=12米,
∴DE=DF+EF=12+8=20(米),
答:堤坝高为8米,山高DE为20米.
素养提升攻略
综合实践跨学科主题学习
【主题学习】高度的测量
【活动目的】做一个简单的测角仪,会用测角仪测量塔高
【理论支撑】相似三角形,锐角三角函数,解直角三角形
【进程跟踪】制作测角仪:数学研究小组根据以往的学习经验,制作了一种简单的测角仪:把一根细线固定在量角器的圆心处,细线的另一端系一个重物;将量角器拿在眼前,使视线沿着量角器的直径刚好看到需测量物体的顶端,这样可以得出需测量物体的仰角的度数.
测量过程:
我们可以利用这种简单测角仪测量塔高.
(1)测量工具有:简单测角仪,测量尺;
(2)设CD表示塔高,测量过程的几何图形如图所示;需要测量的几何量如下:
①在点A、点B处用测角仪测出仰角α,β,
②测出A,B两点之间的距离s;
(3)通过解直角三角形求出CD的高度.
【解析】设CD的高度为x m.
在Rt△DBC中,BC=,
在Rt△DAC中,AC=,
∵AB=AC-BC,∴s=-,解得x=.
实地测量:
某学校兴趣小组开展实践活动,通过观测数据,计算气球升空的高度AB.如图,在平面内,点B,C,D在同一直线上,AB⊥CB于点B,在C处测得气球A的仰角为45°,向前走140米到达点D,在D处测得气球A的仰角为52°,求AB的高度.(参考数据:sin 52°≈0.79,cos 52°≈0.62,tan 52°≈1.28)
【解析】设AB=x米,在Rt△ABC中,
∵tan∠ACB=,∴tan 45°=,
∴BC=x米.在Rt△ABD中,
∵tan∠ADB=,∴tan 52°=,
∴BD≈.∵CD=CB-DB,
∴x-=140,解得x=640.
答:AB的高度约为640米.
项目式学习
根据以下素材,探索完成任务.
探究车牌识别系统的识别角度
素材1 某小区为解决“停车难”这个问题,改造一个地下停车库.图1是该地下停车库坡道出入口的侧面示意图.地下停车库高BC=4.5 m,BC⊥AC,出入口斜坡AB长20.5 m.
素材2 图2是地下停车库门口安装的车牌识别设备,摄像头D点位于B点正上方,DB=1.5 m,D,B,C三点共线.摄像头可以调整可识别角度,可识别角度∠EDB的最大范围是70°,在斜坡上的有效识别区域为EB,车辆进入识别区域无需停留,闸门3秒即会自动打开,车辆通过后,闸门才会自动关闭.(参考数据:sin 53°≈0.8,cos 53°≈0.6,tan 53°≈,sin 70°≈0.94,cos 70°≈0.34,tan 70°≈2.75)
素材3 汽车从地下车库驶出,在斜坡上保持匀速行驶,车库限速5 km/h.
问题 解决 任务一 确定斜坡坡比:如图1,求的值.
任务二 判断车辆是否顺利通过:如图3,当∠EDB=53°时,请判断此时车辆以最高限速行驶到达B点时,闸门是否已经打开,请通过计算说明.
项目 反思 任务三 能否通过调整摄像头的识别角度,使汽车以最高限速行驶时,可以顺利通过闸口,请计算tan∠EDC的取值范围.
【解析】任务一:∵BC=4.5 m,BC⊥AC,AB长20.5 m,∴AC==20 m,∴的值为:==;
任务二:闸门没有打开,理由如下:
过点E作EF⊥BC于F,
∵∠EDB=53°,tan 53°≈,
∴设EF=4x m,则DF=3x m,
∵EF⊥BC,BC⊥AC,∴EF∥AC,
∴△BEF∽△BAC,∴==,
∴BF=EF=0.9x m,
BD=DF-BF=2.1x m=1.5 m,
解得:x=,∴BE===4.1x=4.1×≈2.93(m),∴车辆以最高限速行驶到达B点的时间为:≈2.1秒,
2.1<3,∴闸门没有打开;
任务三:能;
假设达到B点恰好闸门打开,则BE=×3=(m),由任务二可知,BF∶EF∶BE=0.9x∶4x∶4.1x=9∶40∶41,
∴BF=BE=×= m,EF=BE=×=(m),
此时tan∠EDC=====0.594,
∵∠EDB即∠EDC的最大范围是70°,tan 70°≈2.75,
∴tan∠EDC的取值范围是0.594≤tan∠EDC≤2.75.
