26.2 实际问题与反比例函数
【A层 基础夯实】
知识点1 反比例函数在实际生活中的应用
1.俊俊想存钱购买一套售价为6 000元的户外活动设备,若他目前已有存款2 000元,后期每个月计划存相同金额,则他存够买设备的钱所需月数y与每个月存款额x元之间的函数解析式是 ( )
A.y= B.y=
C.y= D.y=2 000x-6 000
2.(教材再开发·P13例2改编)码头工人往一艘轮船上装载货物,装完货物所需时间y(min)与装载速度x(t/min)之间的函数关系如图所示(双曲线y=的一支).如果以5 t/min的速度装货,那么装完货物需要的时间是 min.
3.(教材再开发·P22复习题26第11题改编)某地建设一项水利工程,工程需要运送的土石方总量为360万立方米.
(1)写出运输公司完成任务所需的时间y(单位:天)与平均每天的工作量x(单位:万立方米)之间的函数关系式;
(2)当运输公司平均每天的工作量为15万立方米时,完成任务所需的时间是多少
(3)为了能在150天内完成任务,平均每天的工作量至少是多少万立方米
知识点2 反比例函数在其他学科中的应用
4.(2023·随州中考)已知蓄电池的电压为定值,使用某蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示,则当电阻为6 Ω时,电流为( )
A.3 A B.4 A C.6 A D.8 A
5.如图,一块长方体大理石板的A,B,C三个面上的边长如图所示,如果大理石板的A面向下放在地上时地面所受压强为m,则把大理石板B面向下放在地上时,地面所受压强是 .
【B层 能力进阶】
6.(2023·温州中考)在温度不变的条件下,通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压,加压后气体对汽缸壁所产生的压强p(kPa)与汽缸内气体的体积V(mL)成反比例,p关于V的函数图象如图所示.若压强由75 kPa加压到100 kPa,则气体体积压缩了 mL.
7.(新情境)(2024·玉林市玉州区二模)为了更好助推乡村振兴,今年水果上市期间,某单位驻村工作队立足本地特色,依托“电商+直播+供销大集”等销售模式,在打通为农服务“最后一公里”上主动作为,在村里成立村级供销合作社,以“互联网+电商”助农模式,帮助果农进行销售,该村水果月销售额y(万元)与月份x之间的变化如图所示,在成立村级供销合作社前是反比例函数图象的一部分,成立村级供销合作社后是一次函数图象的一部分,请根据图中数据解答下列问题:
(1)当1≤x≤4时,求y与x的解析式,并求出该种水果4月份的销售额;
(2)该村水果有多少个月的月销售额不超过90万元
【C层 素养冲A+(选做)】
8.(应用意识、几何直观)(2023·郴州中考)在实验课上,小明做了一个实验.如图,在仪器左边托盘A(固定)中放置一个物体,在右边托盘B(可左右移动)中放置一个可以装水的容器,容器的质量为5 g.在容器中加入一定质量的水,可以使仪器左右平衡.改变托盘B与点C的距离为x(cm)(0托盘B与点C的距离x/cm 30 25 20 15 10
容器与水的总质量y1/g 10 12 15 20 30
加入的水的质量y2/g 5 7 10 15 25
把上表中的x与y1各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描出这些点,并用光滑的曲线连接起来,得到如图所示的y1关于x的函数图象.
(1)请在该平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象.
(2)观察函数图象,并结合表中的数据:
①猜测y1与x之间的函数关系,并求y1关于x的函数解析式;
②求y2关于x的函数解析式;
③当0(3)若在容器中加入的水的质量y2( )满足19≤y2≤45,求托盘B与点C的距离x(cm)的取值范围.
素养提升攻略
链接生活
舞台灯光下的“反比例函数”
阅读材料:
你想做属于自己的舞台灯光秀吗
根据欧姆定律可知电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR,通过改变电阻来控制电流的变化就可以实现这种效果.
电压U 电阻R 电流I 灯光 舞台效果
220 V 调高 变小 较暗 乌云密布的阴天或黑夜
降低 变大 较亮 阳光灿烂的晴日或白昼
素养训练25抽象能力、模型观念、应用意识
(1)你能用含有R的代数式表示I吗
(2)变量I是R的反比例函数吗 为什么
(3)利用写出的关系式完成表格,然后说出你的发现.
R/Ω 20 40 60 80 100
I/A
开放探索
视力表中的数学
视力表中蕴含着很多数学知识,如:每个“E”形图都是正方形结构,同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值,不同的检测距离需要不同的视力表.
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离,任选视力表中7个视力值n,测得对应行的“E”形图边长b(mm),在平面直角坐标系中描点如图1.
素材2 图2为视网膜成像示意图,在检测视力时,眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角θ,视力值n与分辨视角θ(分)的对应关系近似满足n=(0.5≤θ≤10).
素养训练26抽象能力、运算能力、应用意识
探究1 检测距离为5米时,归纳n与b的关系式,并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长.
探究2 当n≥1.0时,属于正常视力,根据函数增减性写出对应的分辨视角θ的范围.26.2 实际问题与反比例函数
【A层 基础夯实】
知识点1 反比例函数在实际生活中的应用
1.俊俊想存钱购买一套售价为6 000元的户外活动设备,若他目前已有存款2 000元,后期每个月计划存相同金额,则他存够买设备的钱所需月数y与每个月存款额x元之间的函数解析式是 (A)
A.y= B.y=
C.y= D.y=2 000x-6 000
2.(教材再开发·P13例2改编)码头工人往一艘轮船上装载货物,装完货物所需时间y(min)与装载速度x(t/min)之间的函数关系如图所示(双曲线y=的一支).如果以5 t/min的速度装货,那么装完货物需要的时间是 120 min.
3.(教材再开发·P22复习题26第11题改编)某地建设一项水利工程,工程需要运送的土石方总量为360万立方米.
(1)写出运输公司完成任务所需的时间y(单位:天)与平均每天的工作量x(单位:万立方米)之间的函数关系式;
【解析】(1)运输公司完成任务所需的时间y(单位:天)与平均每天的工作量x(单位:万立方米)之间的函数关系式为xy=360,故y=.
(2)当运输公司平均每天的工作量为15万立方米时,完成任务所需的时间是多少
【解析】(2)当运输公司平均每天的工作量为15万立方米时,
完成任务所需的时间y==24(天),
答:完成任务所需的时间是24天.
(3)为了能在150天内完成任务,平均每天的工作量至少是多少万立方米
【解析】(3)根据题意可得,150≥,
解得x≥2.4.
答:平均每天的工作量至少是2.4万立方米.
知识点2 反比例函数在其他学科中的应用
4.(2023·随州中考)已知蓄电池的电压为定值,使用某蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示,则当电阻为6 Ω时,电流为(B)
A.3 A B.4 A C.6 A D.8 A
5.如图,一块长方体大理石板的A,B,C三个面上的边长如图所示,如果大理石板的A面向下放在地上时地面所受压强为m,则把大理石板B面向下放在地上时,地面所受压强是 3m .
【B层 能力进阶】
6.(2023·温州中考)在温度不变的条件下,通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压,加压后气体对汽缸壁所产生的压强p(kPa)与汽缸内气体的体积V(mL)成反比例,p关于V的函数图象如图所示.若压强由75 kPa加压到100 kPa,则气体体积压缩了 20 mL.
7.(新情境)(2024·玉林市玉州区二模)为了更好助推乡村振兴,今年水果上市期间,某单位驻村工作队立足本地特色,依托“电商+直播+供销大集”等销售模式,在打通为农服务“最后一公里”上主动作为,在村里成立村级供销合作社,以“互联网+电商”助农模式,帮助果农进行销售,该村水果月销售额y(万元)与月份x之间的变化如图所示,在成立村级供销合作社前是反比例函数图象的一部分,成立村级供销合作社后是一次函数图象的一部分,请根据图中数据解答下列问题:
(1)当1≤x≤4时,求y与x的解析式,并求出该种水果4月份的销售额;
【解析】(1)设当1≤x≤4时,y与x的解析式为y=,
把点(1,180)代入得180=,
∴k=180,
∴当1≤x≤4时,y与x的解析式为y=,
∴当x=4时,y==45,
∴该种水果4月份的销售额为45万元.
(2)该村水果有多少个月的月销售额不超过90万元
【解析】(2)设当x>4时,y与x的解析式为y=k1x+b,
把点(4,45)和点(5,60)代入得
解得
∴当x>4时,y与x的解析式为y=15x-15.
当1≤x≤4时,令y=90,则90=,解得x=2,
∴2月,3月和4月销售额不超过90万元;
当x>4时,令y=90,则90=15x-15,解得x=7,
∴5月,6月和7月销售额不超过90万元.
∴该村水果有6个月的月销售额不超过90万元.
【C层 素养冲A+(选做)】
8.(应用意识、几何直观)(2023·郴州中考)在实验课上,小明做了一个实验.如图,在仪器左边托盘A(固定)中放置一个物体,在右边托盘B(可左右移动)中放置一个可以装水的容器,容器的质量为5 g.在容器中加入一定质量的水,可以使仪器左右平衡.改变托盘B与点C的距离为x(cm)(0托盘B与点C的距离x/cm 30 25 20 15 10
容器与水的总质量y1/g 10 12 15 20 30
加入的水的质量y2/g 5 7 10 15 25
把上表中的x与y1各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描出这些点,并用光滑的曲线连接起来,得到如图所示的y1关于x的函数图象.
(1)请在该平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象.
【解析】(1)作出y2关于x的函数图象如下:
(2)观察函数图象,并结合表中的数据:
①猜测y1与x之间的函数关系,并求y1关于x的函数解析式;
②求y2关于x的函数解析式;
③当0【解析】(2)①观察题中表格可知,y1是x的反比例函数,
设y1=,把(30,10)代入得10=,
∴k=300,
∴y1关于x的函数解析式是y1=;
②∵y1=y2+5,
∴y2+5=,
∴y2=-5;
③观察图象可得,当0(3)若在容器中加入的水的质量y2(g)满足19≤y2≤45,求托盘B与点C的距离x(cm)的取值范围.
【解析】(3)∵y2=-5,19≤y2≤45,∴19≤-5≤45,
∴24≤≤50,∴6≤x≤12.5.
素养提升攻略
链接生活
舞台灯光下的“反比例函数”
阅读材料:
你想做属于自己的舞台灯光秀吗
根据欧姆定律可知电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR,通过改变电阻来控制电流的变化就可以实现这种效果.
电压U 电阻R 电流I 灯光 舞台效果
220 V 调高 变小 较暗 乌云密布的阴天或黑夜
降低 变大 较亮 阳光灿烂的晴日或白昼
素养训练25抽象能力、模型观念、应用意识
(1)你能用含有R的代数式表示I吗
【解析】(1)I=;
(2)变量I是R的反比例函数吗 为什么
【解析】(2)是,因为I=,所以I是R的反比例函数;
(3)利用写出的关系式完成表格,然后说出你的发现.
R/Ω 20 40 60 80 100
I/A
【解析】(3)11 5.5 3.67 2.75 2.2
当R越来越大时,I越来越小;当R越来越小时,I越来越大.
开放探索
视力表中的数学
视力表中蕴含着很多数学知识,如:每个“E”形图都是正方形结构,同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值,不同的检测距离需要不同的视力表.
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离,任选视力表中7个视力值n,测得对应行的“E”形图边长b(mm),在平面直角坐标系中描点如图1.
素材2 图2为视网膜成像示意图,在检测视力时,眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角θ,视力值n与分辨视角θ(分)的对应关系近似满足n=(0.5≤θ≤10).
素养训练26抽象能力、运算能力、应用意识
探究1 检测距离为5米时,归纳n与b的关系式,并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长.
探究2 当n≥1.0时,属于正常视力,根据函数增减性写出对应的分辨视角θ的范围.
【解析】探究1:
由图象中的点的坐标规律得到n与b成反比例关系,
设n=(k≠0),将其中一点(9,0.8)代入得:0.8=,解得k=7.2,
∴n=,将其余各点一一代入验证,都符合关系式;
将n=1.2代入n=得:b=6.
答:检测距离为5米时,视力值1.2所对应行的“E”形图边长为6 mm.
探究2:
∵n=,
∴在自变量θ的取值范围内,n随着θ的增大而减小,
∴当n≥1.0时,0<θ≤1.0,
∵0.5≤θ≤10,∴0.5≤θ≤1.0.
