第二十七章 相似
27.1 图形的相似
【A层 基础夯实】
知识点1 相似图形
1.下列各组图形中,是相似图形的是 (D)
2.(易错警示题·概念不清)下列不一定是相似图形的是 (D)
A.边数相同的正多边形 B.两个等腰直角三角形
C.两个圆 D.两个直角三角形
知识点2 成比例线段
3.(2024·百色乐业县一模)下列各组中的四条线段成比例的是 (C)
A.1 cm,2 cm,3 cm,4 cm
B.2 cm,3 cm,4 cm,5 cm
C.2 cm,3 cm,4 cm,6 cm
D.3 cm,4 cm,6 cm,9 cm
4.已知线段x,y,且=,则下列说法中不正确的是 (C)
A.4x=3y B.y=x
C.x=3 cm,y=4 cm D.x=3k,y=4k
5.(易错警示题·概念不清)已知b,c,a,d是成比例线段,其中a=4 cm,b=3 cm,c=10 cm,则线段d的长度为 cm.
6.已知三条线段a,b,c满足==,且a+b+c=17,求a的值.
【解析】设===k,
则a=3k,b=2k,c=4k-1,
由a+b+c=17可得,3k+2k+4k-1=17,
解得k=2,则a=6.
知识点3 相似多边形
7.下列命题中正确的是 (C)
A.相似多边形是全等多边形
B.不全等的多边形不是相似多边形
C.全等多边形是相似多边形
D.不相似的多边形可能是全等多边形
8.(2024·来宾质检)如图,四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似,若∠B=60°,∠C=80°,∠A'=100°,则∠D= 120° .
9.如图,把一个矩形ABCD划分成三个全等的小矩形.
(1)若原矩形ABCD的长AB=6,宽BC=4.问:每个小矩形与原矩形相似吗 请说明理由.
【解析】(1)不相似.理由如下:
∵原矩形ABCD的长AB=6,宽BC=4,
∴划分后小矩形的长AD=4,宽AE=6÷3=2,
又∵=≠=,即原矩形与每个小矩形的边不成比例,
∴每个小矩形与原矩形不相似.
(2)若原矩形的长AB=a,宽BC=b,且每个小矩形与原矩形相似,求原矩形长a与宽b应满足的关系式.
【解析】(2)∵原矩形的长AB=a,宽BC=b,
∴划分后小矩形的长AD=b,宽AE=,
又∵每个小矩形与原矩形相似,∴=,
∴=,即a2=3b2.
【B层 能力进阶】
10.(2023·崇左宁明县期中)若=,则等于 (A)
A. B. C. D.
11.(教材再开发·P26例题改编)如图所示的两个四边形相似,则下列结论不正确的是(B)
A.a=2 B.m=2n
C.x=2 D.∠α=60°
12.(名师原创)若两个相似多边形的最长边的长分别为10和20,且其中一个多边形的最短边长为4,则另一个多边形的最短边长为 8或2 .
13.(教材再开发·P27练习第1题改编)在比例尺是1∶3 000 000的地图上,量得两地之间的距离是10厘米,甲、乙两车同时从两地相向而行,2小时后,两车相遇,已知甲、乙两车的速度比是3∶2,则甲、乙两车的速度各是多少
【解析】10×3 000 000=30 000 000(厘米),
30 000 000厘米=300千米,
设甲车的速度是3x千米/时,则乙车的速度是2x千米/时.
根据题意得,2(2x+3x)=300,解得x=30,
所以2x=2×30=60,3x=3×30=90.
答:甲车的速度是90千米/时,乙车的速度是60千米/时.
14.如图,G是正方形ABCD对角线AC上一点,作GE⊥AD,GF⊥AB,垂足分别为点E,F.求证:四边形AFGE与四边形ABCD相似.
【证明】∵∠GEA=∠EAF=∠GFA=90°,
∴四边形EAFG为矩形.
∵四边形ABCD为正方形,∴AC平分∠DAB.
又∵GE⊥AD,GF⊥AB,∴GE=GF,
∴四边形EAFG为正方形,
∴四边形AFGE与四边形ABCD相似.
【C层 素养冲A+(选做)】
15.(几何直观、运算能力)(2024·南宁武宁区质检)宽与长的比是的矩形叫黄金矩形.心理测试表明:黄金矩形令人赏心悦目,它给我们以协调、匀称的美感.现将小波同学在数学活动课中,折叠黄金矩形的方法归纳如下(如图所示):
第一步:作一个正方形ABCD;
第二步:分别取AD,BC的中点M,N,连接MN;
第三步:以N为圆心,ND长为半径画弧,交BC的延长线于E;
第四步:过E作EF⊥AD,交AD的延长线于F.
请你根据以上作法,证明矩形DCEF为黄金矩形.
【解析】在正方形ABCD中,取AB=2a,
∵N为BC的中点,∴NC=BC=a.
在Rt△DNC中,ND===a.
又∵NE=ND,∴CE=NE-NC=(-1)a,
∴==,故矩形DCEF为黄金矩形.
素养提升攻略
数学史料
声音中的“调和数”
古希腊的毕达哥拉斯发现弹拨琴弦发出声音的声调高低,取决于弦的长度.比如,三根弦的单位长度分别是15,12和10,把它们绷得一样紧,并用同样的力弹拨,它们将分别发出很调和的乐声do,mi,sol.数学家们还发现15,12和10三个数的倒数满足这样的关系:-=-.
像上面这样,把三个不同的整数按照从大到小的顺序排列,如果中间数的倒数与最大数的倒数的差等于最小数的倒数与中间数的倒数的差,我们就称这三个数是一组调和数.
素养训练27运算能力、模型观念、应用意识
(1)请你根据上面的信息判断,6,4,3这三个数是一组调和数吗 并说明理由.
(2)已知两个数分别为8和5,请你再找一个大于8的数,使得它与8,5构成一组调和数.
【解析】(1)6,4,3这三个数是一组调和数,理由:-=,-=,-=-,所以6,4,3这三个数是一组调和数.
(2)设所找的大于8的数的倒数为x,
则有-x=-,解得x=,的倒数是20,所以20,8,5能构成一组调和数.
链接生活
把一条线段分割为两部分,使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值是,约为0.618;这个比例被公认为是最能引起美感的比例,因此被称为黄金分割.
黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性,蕴藏着丰富的美学价值,这一比值能够引起人们的美感,被认为是建筑和艺术中最理想的比例,好多自然界和人工设计中都遵循这一比例.
素养训练28应用意识、运算能力
大自然是美的设计师,即使一片小小的树叶,也蕴含着“黄金分割”.如图,P为AB的黄金分割点(AP>PB),如果AB的长度为8 cm,那么BP的长度是 ( )
A.(4-4)cm B.(4-12)cm C.(4-4)cm D.(12-4)cm
【备选例题】
如图,乐器上的一根弦AB=80 cm,两个端点A,B固定在乐器面板上,支撑点C是靠近点B的黄金分割点,支撑点D是靠近点A的黄金分割点,则支撑点C,D之间的距离为 (80-160) cm.(结果保留根号) 第二十七章 相似
27.1 图形的相似
【A层 基础夯实】
知识点1 相似图形
1.下列各组图形中,是相似图形的是 ( )
2.(易错警示题·概念不清)下列不一定是相似图形的是 ( )
A.边数相同的正多边形 B.两个等腰直角三角形
C.两个圆 D.两个直角三角形
知识点2 成比例线段
3.(2024·百色乐业县一模)下列各组中的四条线段成比例的是 ( )
A.1 cm,2 cm,3 cm,4 cm
B.2 cm,3 cm,4 cm,5 cm
C.2 cm,3 cm,4 cm,6 cm
D.3 cm,4 cm,6 cm,9 cm
4.已知线段x,y,且=,则下列说法中不正确的是 ( )
A.4x=3y B.y=x
C.x=3 cm,y=4 cm D.x=3k,y=4k
5.(易错警示题·概念不清)已知b,c,a,d是成比例线段,其中a=4 cm,b=3 cm,c=10 cm,则线段d的长度为 cm.
6.已知三条线段a,b,c满足==,且a+b+c=17,求a的值.
知识点3 相似多边形
7.下列命题中正确的是 ( )
A.相似多边形是全等多边形
B.不全等的多边形不是相似多边形
C.全等多边形是相似多边形
D.不相似的多边形可能是全等多边形
8.(2024·来宾质检)如图,四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似,若∠B=60°,∠C=80°,∠A'=100°,则∠D= .
9.如图,把一个矩形ABCD划分成三个全等的小矩形.
(1)若原矩形ABCD的长AB=6,宽BC=4.问:每个小矩形与原矩形相似吗 请说明理由.
(2)若原矩形的长AB=a,宽BC=b,且每个小矩形与原矩形相似,求原矩形长a与宽b应满足的关系式.
【B层 能力进阶】
10.(2023·崇左宁明县期中)若=,则等于 ( )
A. B. C. D.
11.(教材再开发·P26例题改编)如图所示的两个四边形相似,则下列结论不正确的是( )
A.a=2 B.m=2n
C.x=2 D.∠α=60°
12.(名师原创)若两个相似多边形的最长边的长分别为10和20,且其中一个多边形的最短边长为4,则另一个多边形的最短边长为 .
13.(教材再开发·P27练习第1题改编)在比例尺是1∶3 000 000的地图上,量得两地之间的距离是10厘米,甲、乙两车同时从两地相向而行,2小时后,两车相遇,已知甲、乙两车的速度比是3∶2,则甲、乙两车的速度各是多少
14.如图,G是正方形ABCD对角线AC上一点,作GE⊥AD,GF⊥AB,垂足分别为点E,F.求证:四边形AFGE与四边形ABCD相似.
【C层 素养冲A+(选做)】
15.(几何直观、运算能力)(2024·南宁武宁区质检)宽与长的比是的矩形叫黄金矩形.心理测试表明:黄金矩形令人赏心悦目,它给我们以协调、匀称的美感.现将小波同学在数学活动课中,折叠黄金矩形的方法归纳如下(如图所示):
第一步:作一个正方形ABCD;
第二步:分别取AD,BC的中点M,N,连接MN;
第三步:以N为圆心,ND长为半径画弧,交BC的延长线于E;
第四步:过E作EF⊥AD,交AD的延长线于F.
请你根据以上作法,证明矩形DCEF为黄金矩形.
素养提升攻略
数学史料
声音中的“调和数”
古希腊的毕达哥拉斯发现弹拨琴弦发出声音的声调高低,取决于弦的长度.比如,三根弦的单位长度分别是15,12和10,把它们绷得一样紧,并用同样的力弹拨,它们将分别发出很调和的乐声do,mi,sol.数学家们还发现15,12和10三个数的倒数满足这样的关系:-=-.
像上面这样,把三个不同的整数按照从大到小的顺序排列,如果中间数的倒数与最大数的倒数的差等于最小数的倒数与中间数的倒数的差,我们就称这三个数是一组调和数.
素养训练27运算能力、模型观念、应用意识
(1)请你根据上面的信息判断,6,4,3这三个数是一组调和数吗 并说明理由.
(2)已知两个数分别为8和5,请你再找一个大于8的数,使得它与8,5构成一组调和数.
链接生活
把一条线段分割为两部分,使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值是,约为0.618;这个比例被公认为是最能引起美感的比例,因此被称为黄金分割.
黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性,蕴藏着丰富的美学价值,这一比值能够引起人们的美感,被认为是建筑和艺术中最理想的比例,好多自然界和人工设计中都遵循这一比例.
素养训练28应用意识、运算能力
大自然是美的设计师,即使一片小小的树叶,也蕴含着“黄金分割”.如图,P为AB的黄金分割点(AP>PB),如果AB的长度为8 cm,那么BP的长度是 ( )
A.(4-4)cm B.(4-12)cm C.(4-4)cm D.(12-4)cm
【备选例题】
如图,乐器上的一根弦AB=80 cm,两个端点A,B固定在乐器面板上,支撑点C是靠近点B的黄金分割点,支撑点D是靠近点A的黄金分割点,则支撑点C,D之间的距离为 cm.(结果保留根号)
