27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第1课时
【A层 基础夯实】
知识点1 平行线分线段成比例定理及其推论
1.已知,如图l1∥l2∥l3,下面等式不能成立的是 ( )
A.= B.=
C.= D.==
2.(2023·吉林中考)如图,在△ABC中,点D在边AB上,过点D作DE∥BC,交AC于点E.若AD=2,BD=3,则的值是 ( )
A. B. C. D.
3.(教材溯源·P31练习第1题·2023北京中考)如图,直线AD,BC交于点O,AB∥EF∥CD,若AO=2,OF=1,FD=2,则的值为 .
4.如图,AB∥CD∥EF,AC∶CF=2∶3,DE=9,则BD的长为 6 .
知识点2 根据平行线判定三角形相似
5.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,若DE∥BC,=,DE=6 cm,则BC的长为 ( )
A.9 cm B.12 cm C.15 cm D.18 cm
6.(2024·柳州柳南区质检)如图,已知AB∥CD,AD与BC相交于点O,AO∶AD=1∶3,那么下列结论正确的是 ( )
A.BO∶CO=1∶2 B.AB∶CD=1∶3
C.AD∶DO=3∶4 D.CO∶BC=1∶2
7.如图,E是 ABCD边AB的延长线上一点,DE交BC于F,则图中的相似三角形共有 对.
8.如图,在△ABC中,AE平分∠BAC,ED∥CA.若BE=5,EC=6,AC=10,求AD的长.
【B层 能力进阶】
9.(2024·梧州岑溪市质检)如图,AB∥CD,点E在AB上,点F在CD上,AC,BD,EF相交于点O,则图中相似三角形共有 ( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
10.如图,在△ABC中,D在AC边上,AD∶DC=1∶2,O是BD的中点,连接AO并延长交BC于点E,若BE=1,则EC的长为 ( )
A.2 B.2.5 C.3 D.4
11.(2023·哈尔滨中考)如图,AC,BD相交于点O,AB∥DC,M是AB的中点,MN∥AC,交BD于点N,若DO∶OB=1∶2,AC=12,则MN的长为 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
12.如图,五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的,同一条直线上的三个点A,B,C都在横线上.若线段AB=3,则线段BC的长是 ( )
A. B.1 C. D.2
13.如图,=,BG=FG,则的值为 .
14.(2023·雅安中考改编)如图,在 ABCD中,F是AD上一点,CF交BD于点E,CF的延长线交BA的延长线于点G,EF=1,EC=3,则GF的长为 .
【C层 素养冲A+(选做)】
15. (几何直观、运算能力、推理能力)如图,已知:正方形ABCD,点E在CB的延长线上,连接AE,DE,DE与边AB交于点F,FG∥BE交AE于点G.
(1)求证:GF=BF;
素养提升攻略
涨知识了
梯形的中位线
我们知道连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线;通过证明可以得到“三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半”,类似三角形中位线,我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.联想三角形中位线的性质,通过证明可以得到梯形的中位线性质“梯形的中位线平行于底边并且等于两底和的一半”.证明如下:
如图在梯形ABCD中,AD∥BC,点E,F分别是AB,CD的中点,连接AF并延长交BC的延长线于点G,
∵AD∥BC,∴∠D=∠GCF.∵F是CD的中点,∴DF=FC,
在△ADF与△GCF中,,
∴△ADF≌△GCF(ASA),
∴AF=FG,AD=CG,∴EF∥BC,且EF=BG.
∵AD∥BC,BG=BC+CG=BC+AD,∴EF∥AD∥BC,EF=(AD+BC).
素养训练29推理能力、几何直观
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,EF∥BC,EF交AB于E,交CD于F.
(1)若点E分线段AB为=,AD=3,BC=5,请你利用梯形的中位线性质求出
EF= (直接填写结果);
(2)若点E分线段AB为=,AD=a,BC=b,求EF的长.
开放探索
图形的分割
如果一个图形能够分割成若干个与自身相似的图形,我们称它为“能相似分割的图形”.正方形是一个“能相似分割的图形”,如图所示(图中虚线为分割线,当然还有其他分割法).
素养训练30几何直观、模型观念、创新意识
如图所示的三个图形是不是“能相似分割的图形” 如果是,在图中画出一种分割方法(用虚线画出分割线).27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第1课时
【A层 基础夯实】
知识点1 平行线分线段成比例定理及其推论
1.已知,如图l1∥l2∥l3,下面等式不能成立的是 (C)
A.= B.=
C.= D.==
2.(2023·吉林中考)如图,在△ABC中,点D在边AB上,过点D作DE∥BC,交AC于点E.若AD=2,BD=3,则的值是 (A)
A. B. C. D.
3.(教材溯源·P31练习第1题·2023北京中考)如图,直线AD,BC交于点O,AB∥EF∥CD,若AO=2,OF=1,FD=2,则的值为 .
4.如图,AB∥CD∥EF,AC∶CF=2∶3,DE=9,则BD的长为 6 .
知识点2 根据平行线判定三角形相似
5.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,若DE∥BC,=,DE=6 cm,则BC的长为 (C)
A.9 cm B.12 cm C.15 cm D.18 cm
6.(2024·柳州柳南区质检)如图,已知AB∥CD,AD与BC相交于点O,AO∶AD=1∶3,那么下列结论正确的是 (A)
A.BO∶CO=1∶2 B.AB∶CD=1∶3
C.AD∶DO=3∶4 D.CO∶BC=1∶2
7.如图,E是 ABCD边AB的延长线上一点,DE交BC于F,则图中的相似三角形共有 3 对.
8.如图,在△ABC中,AE平分∠BAC,ED∥CA.若BE=5,EC=6,AC=10,求AD的长.
【解析】∵AE为∠BAC的平分线,
∴∠DAE=∠EAC.
∵ED∥CA,∴∠DEA=∠EAC,
∴∠DAE=∠DEA,∴ED=AD.
∵ED∥CA,∴△BED∽△BCA,∴=.
∵BE=5,EC=6,AC=10,∴=,∴ED=,∴AD=.
【B层 能力进阶】
9.(2024·梧州岑溪市质检)如图,AB∥CD,点E在AB上,点F在CD上,AC,BD,EF相交于点O,则图中相似三角形共有 (C)
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
10.如图,在△ABC中,D在AC边上,AD∶DC=1∶2,O是BD的中点,连接AO并延长交BC于点E,若BE=1,则EC的长为 (C)
A.2 B.2.5 C.3 D.4
11.(2023·哈尔滨中考)如图,AC,BD相交于点O,AB∥DC,M是AB的中点,MN∥AC,交BD于点N,若DO∶OB=1∶2,AC=12,则MN的长为 (B)
A.2 B.4 C.6 D.8
12.如图,五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的,同一条直线上的三个点A,B,C都在横线上.若线段AB=3,则线段BC的长是 (C)
A. B.1 C. D.2
13.如图,=,BG=FG,则的值为 .
14.(2023·雅安中考改编)如图,在 ABCD中,F是AD上一点,CF交BD于点E,CF的延长线交BA的延长线于点G,EF=1,EC=3,则GF的长为 8 .
【C层 素养冲A+(选做)】
15. (几何直观、运算能力、推理能力)如图,已知:正方形ABCD,点E在CB的延长线上,连接AE,DE,DE与边AB交于点F,FG∥BE交AE于点G.
(1)求证:GF=BF;
【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AD∥BC,AB∥CD,AD=CD,
∵GF∥BE,∴GF∥BC,∴GF∥AD,
∴△EGF∽△EAD,∴=,
∵AB∥CD,∴△EBF∽△ECD,∴=,
∴=,∵AD=CD,∴GF=BF;
(2)若EB=1,BC=4,求AG的长;
【解析】(2)∵EB=1,BC=4,
∴==4,AE==,
∴==4,∴AG=AE,∴AG=;
(3)在BC边上取点M,使得BM=BE,连接AM交DE于点O.求证:FO·ED=OD·EF.
【解析】(3)延长GF交AM于点H,
∵GF∥BC,∴FH∥BC,
∴△AGF∽△AEB,△AFH∽△ABM,
∴=,=,∴=,∵BM=BE,∴GF=FH,
∵GF∥AD,∴△GEF∽△AED,△FOH∽△DOA,∴=,=,
又∵GF=FH,∴=,∴FO·ED=OD·EF.
素养提升攻略
涨知识了
梯形的中位线
我们知道连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线;通过证明可以得到“三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半”,类似三角形中位线,我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.联想三角形中位线的性质,通过证明可以得到梯形的中位线性质“梯形的中位线平行于底边并且等于两底和的一半”.证明如下:
如图在梯形ABCD中,AD∥BC,点E,F分别是AB,CD的中点,连接AF并延长交BC的延长线于点G,
∵AD∥BC,∴∠D=∠GCF.∵F是CD的中点,∴DF=FC,
在△ADF与△GCF中,,
∴△ADF≌△GCF(ASA),
∴AF=FG,AD=CG,∴EF∥BC,且EF=BG.
∵AD∥BC,BG=BC+CG=BC+AD,∴EF∥AD∥BC,EF=(AD+BC).
素养训练29推理能力、几何直观
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,EF∥BC,EF交AB于E,交CD于F.
(1)若点E分线段AB为=,AD=3,BC=5,请你利用梯形的中位线性质求出
EF=3.5 (直接填写结果);
【解析】(1)如图,过点A作AH∥CD交EF于点G,交BC于点H,
∵AD∥BC,∴GF=CH=AD.∵=,∴==,
∴EG=,∴EF=EG+GF=+AD.
∵AD=3,BC=5,∴EF=+3=3.5.
(2)若点E分线段AB为=,AD=a,BC=b,求EF的长.
【解析】 (2)如图,过点A作AH∥CD交EF于点G,交BC于点H,
∵AD∥BC,∴GF=CH=AD.
∵=,∴==,
∴EG=BH,
∴EF=EG+GF=BH+AD.
∵AD=a,BC=b,
∴EF=×(b-a)+a=.
开放探索
图形的分割
如果一个图形能够分割成若干个与自身相似的图形,我们称它为“能相似分割的图形”.正方形是一个“能相似分割的图形”,如图所示(图中虚线为分割线,当然还有其他分割法).
素养训练30几何直观、模型观念、创新意识
如图所示的三个图形是不是“能相似分割的图形” 如果是,在图中画出一种分割方法(用虚线画出分割线).
【解析】能,如图所示.
