27.2.1 相似三角形的判定
第2课时
【A层 基础夯实】
知识点1 利用三边成比例判定两个三角形相似
1.(2024·柳州柳城县质检)有甲、乙两个三角形木框,甲三角形木框的三边长分别为1,,,乙三角形木框的三边长分别为,2,,则甲、乙两个三角形 ( )
A.一定相似 B.一定不相似
C.不一定相似 D.无法判断
2. (教材再开发·P42习题27.2第3题改编)如图,在下列四个三角形中,与△ABC相似的是 ( )
3.(2024·贺州钟山县质检)如图,点D在△ABC内,连接BD并延长到点E,连接AD,AE,若∠BAD=20°,==,求∠EAC的度数.
知识点2 用两边和夹角判定两个三角形相似
4.(2024·来宾武宣县质检)下列选项中,能判定△ABC与△DEF相似的是 ( )
A.∠A=∠D,=
B.∠A=∠D,=
C.∠A=∠D,=
D.以上都不对
5.如图,小正方形的边长均为1,则各选项中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )
6.(易错警示题·忽视分类讨论遗漏情况)如图,点D为△ABC外一点,AD与BC边的交点为E,AE=3,DE=5,BE=4,要使△BDE与△ACE相似,那么线段CE的长等于 .
7.如图,在△ABC中,已知AB=AC,点D,B,C,E在同一条直线上,且AB2=BD·CE,求证:△ABD∽△ECA.
【B层 能力进阶】
8.如图,在方格纸中,△ABC和△EPD的顶点均在格点上,要使△ABC∽△EPD,则点P所在的格点为 ( )
A.P1 B.P2 C.P3 D.P4
9.如图,在正三角形ABC中,D,E分别在AC,AB上,且=,AE=BE,则有( )
A.△AED∽△BED B.△AED∽△CBD
C.△AED∽△ABD D.△BAD∽△BCD
10.(2024·防城港上思县质检)如图,在正方形网格上画有梯形ABCD,则∠BDC的度数为 .
11.(易错警示题·忽视分类讨论遗漏情况)(2023·来宾象州县期末)如图所示,在△ABC中,AB=8,AC=6,P是AC的中点,过P点的直线交AB于点Q,若以A,P,Q为顶点的三角形和以A,B,C为顶点的三角形相似,则AQ的长为 .
12.如图,A,B,C三点均在边长为1的小正方形网格的格点上.
(1)请在BC上标出点D,连接AD,使得△ABD∽△CBA;
(2)试证明上述结论:△ABD∽△CBA.
【C层 素养冲A+(选做)】
13. (几何直观、运算能力、创新意识)(2024·北海海城区质检)如图,在平面直角坐标系中,点B(12,10),过点B作x轴的垂线,垂足为A,作y轴的垂线,垂足为C,点D从O出发,沿y轴正方向以每秒1个单位长度运动;点E从O出发,沿x轴正方向以每秒3个单位长度运动;点F从B出发,沿BA方向以每秒2个单位长度运动.当E点运动到点A时,三点随之停止运动.设运动时间为t.
(1)用含t的代数式分别表示点E,点F的坐标.
(2)若△ODE与以点A,E,F为顶点的三角形相似,求t的值.27.2.1 相似三角形的判定
第2课时
【A层 基础夯实】
知识点1 利用三边成比例判定两个三角形相似
1.(2024·柳州柳城县质检)有甲、乙两个三角形木框,甲三角形木框的三边长分别为1,,,乙三角形木框的三边长分别为,2,,则甲、乙两个三角形 (A)
A.一定相似 B.一定不相似
C.不一定相似 D.无法判断
2. (教材再开发·P42习题27.2第3题改编)如图,在下列四个三角形中,与△ABC相似的是 (A)
3.(2024·贺州钟山县质检)如图,点D在△ABC内,连接BD并延长到点E,连接AD,AE,若∠BAD=20°,==,求∠EAC的度数.
【解析】∵==,∴△ADE∽△ABC,∴∠DAE=∠BAC,
∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE,∴∠EAC=∠BAD=20°.
知识点2 用两边和夹角判定两个三角形相似
4.(2024·来宾武宣县质检)下列选项中,能判定△ABC与△DEF相似的是 (C)
A.∠A=∠D,=
B.∠A=∠D,=
C.∠A=∠D,=
D.以上都不对
5.如图,小正方形的边长均为1,则各选项中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是(A)
6.(易错警示题·忽视分类讨论遗漏情况)如图,点D为△ABC外一点,AD与BC边的交点为E,AE=3,DE=5,BE=4,要使△BDE与△ACE相似,那么线段CE的长等于 .
7.如图,在△ABC中,已知AB=AC,点D,B,C,E在同一条直线上,且AB2=BD·CE,求证:△ABD∽△ECA.
【证明】∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ABD=∠ACE,
∵AB2=BD·CE,∴=,即=,∴△ABD∽△ECA.
【B层 能力进阶】
8.如图,在方格纸中,△ABC和△EPD的顶点均在格点上,要使△ABC∽△EPD,则点P所在的格点为 (C)
A.P1 B.P2 C.P3 D.P4
9.如图,在正三角形ABC中,D,E分别在AC,AB上,且=,AE=BE,则有(B)
A.△AED∽△BED B.△AED∽△CBD
C.△AED∽△ABD D.△BAD∽△BCD
10.(2024·防城港上思县质检)如图,在正方形网格上画有梯形ABCD,则∠BDC的度数为 135° .
11.(易错警示题·忽视分类讨论遗漏情况)(2023·来宾象州县期末)如图所示,在△ABC中,AB=8,AC=6,P是AC的中点,过P点的直线交AB于点Q,若以A,P,Q为顶点的三角形和以A,B,C为顶点的三角形相似,则AQ的长为 4或 .
12.如图,A,B,C三点均在边长为1的小正方形网格的格点上.
(1)请在BC上标出点D,连接AD,使得△ABD∽△CBA;
【解析】(1)如图,点D是所求作的点.
(2)试证明上述结论:△ABD∽△CBA.
【解析】 (2)∵AB==,BC=5,BD=1,
∴=,=,∴=,
∵∠DBA=∠ABC,∴△ABD∽△CBA.
【C层 素养冲A+(选做)】
13. (几何直观、运算能力、创新意识)(2024·北海海城区质检)如图,在平面直角坐标系中,点B(12,10),过点B作x轴的垂线,垂足为A,作y轴的垂线,垂足为C,点D从O出发,沿y轴正方向以每秒1个单位长度运动;点E从O出发,沿x轴正方向以每秒3个单位长度运动;点F从B出发,沿BA方向以每秒2个单位长度运动.当E点运动到点A时,三点随之停止运动.设运动时间为t.
(1)用含t的代数式分别表示点E,点F的坐标.
【解析】(1)由题可得OE=3t,OD=t,BF=2t.
∵BA⊥x轴,BC⊥y轴,∠AOC=90°,
∴∠AOC=∠BAO=∠BCO=90°,
∴四边形OABC是矩形,∴AB=OC,BC=OA.
∵B(12,10),∴BC=OA=12,AB=OC=10,
∴AF=10-2t,AE=12-3t,
∴点E的坐标为(3t,0),点F的坐标为(12,10-2t);
(2)若△ODE与以点A,E,F为顶点的三角形相似,求t的值.
【解析】(2)①当△ODE∽△AEF时,则有=,
∴=,解得t1=0(舍去),t2=;
②当△ODE∽△AFE时,则有=,
∴=,解得t1=0(舍去),t2=6.
∵点E运动到点A时,三点随之停止运动,
∴3t≤12,∴t≤4.
∵6>4,∴t=6舍去.
综上所述:t的值为.
