27.2.1 相似三角形的判定
第3课时
【A层 基础夯实】
知识点1 利用两角判定两个三角形相似
1.已知一个三角形的两个内角分别是50°和70°,另一个三角形的两个内角分别是50°和60°,则这两个三角形 (C)
A.一定不相似 B.不一定相似
C.一定相似 D.不能确定
2.如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,添加下列条件仍不能判定△ADE与△ABC相似的是 (D)
A.DE∥BC B.∠ADE=∠ACB
C.= D.=
3.(名师原创)如图,在△ABC中,点D在AB边上,点E在AC边上,请添加一个条件 ∠ADE=∠B或∠AED=∠C或(答案不唯一,写出其中一个即可) ,使△ADE∽△ABC.
4.(2023·百色平果市期末)如图,点E是四边形ABCD的对角线BD上一点,
且∠BAC=∠BDC=∠DAE.求证:△ABE∽△ACD.
【证明】∵∠BAC=∠BDC,∠AOB=∠DOC,
∴∠ABE=∠ACD.
又∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC+∠EAC=∠DAE+∠EAC,
∴∠DAC=∠EAB,
∴△ABE∽△ACD.
知识点2 直角三角形相似的判定
5.已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4,另一个直角三角形一条直角边与斜边的长分别为9和15,则这两个三角形 (A)
A.一定相似 B.不一定相似
C.一定不相似 D.是否相似无法判定
6.(教材溯源·P36练习第2题·2023湘潭中考)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高.
(1)证明:△ABD∽△CBA;
【解析】(1)∵AD是斜边BC上的高,
∴∠BDA=90°,∵∠BAC=90°,
∴∠BDA=∠BAC,又∵∠B为公共角,
∴△ABD∽△CBA;
(2)若AB=6,BC=10,求BD的长.
【解析】(2)由(1)知△ABD∽△CBA,
∴=,∴=,∴BD=3.6.
【B层 能力进阶】
7.如图,在△ABC中,BC=6,AC=8,∠C=90°,以点B为圆心,BC长为半径画弧,与AB交于点D,再分别以A,D为圆心,大于AD的长为半径画弧,两弧交于点M,N,作直线MN,分别交AC,AB于点E,F,则AE的长度为(A)
A. B.3 C.2 D.
8.(2023·东营中考)如图,△ABC为等边三角形,点D,E分别在边BC,AB上,
∠ADE=60°.若BD=4DC,DE=2.4,则AD的长为(C)
A.1.8 B.2.4 C.3 D.3.2
9.希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法:如图,A,B是两侧山脚的入口,从B出发任作线段BC,过C作CD⊥BC,然后依次作垂线段DE,EF,FG,GH,直到接近A点,作AJ⊥GH于点J.每条线段可测量,长度如图所示.分别在BC,AJ上任选点M,N,作MQ⊥BC,NP⊥AJ,使得==k,此时点P,A,B,Q共线.挖隧道时始终能看见P,Q处的标志即可.
(1)CD-EF-GJ= 1.8 km.
(2)k= .
10.(2023·梧州藤县期末)如图,已知四边形ABCD内接于☉O,AC是☉O的直径,BE是☉O的切线,切点为B,BE⊥AD于点E,连接OB,OD.
(1)求证:△AEB∽△ABC;
【证明】(1)∵AC是☉O的直径,BE是☉O的切线,BE⊥AD,
∴∠ABC=∠OBE=∠AEB=90°,
∴∠ABC-∠ABO=∠OBE-∠ABO,即∠OBC=∠ABE.
∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC,∴∠ACB=∠ABE,∴△AEB∽△ABC.
(2)若BC=2BE,求证:四边形ABOD是菱形.
【证明】(2)∵△AEB∽△ABC,BC=2BE,∴==,∴AC=2AB.
∵OA=OC=AC,∴OA=OB=AB,
∴△ABO是等边三角形,∴∠AOB=60°.
∵BE是☉O的切线,切点为B,BE⊥AD于点E,
∴∠OBE=∠AEB=90°,
∴∠OBE+∠AEB=180°,∴OB∥DE,
∴∠DAO=∠AOB=60°.
∵OD=OA,∴△AOD是等边三角形,
∴OD=DA=OA,∴OD=OB=DA=AB,
∴四边形ABOD是菱形.
【C层 素养冲A+(选做)】
11.(几何直观、推理能力)【问题提出】
在判定两个三角形全等时,除根据一般三角形全等判定定理外,还有“HL”方法.类似地,我们对直角三角形相似的条件进行探索.
(1)【提出猜想】
除根据一般三角形相似判定的条件外,请你提出类似于“HL”的判定直角三角形相似的方法,并用文字描述: .
(2)【初步思考】
其中,我们不妨将问题用符号语言表示:如图1,在Rt△ABC和Rt△DEF中,
∠C=∠F=90°,若 ,则△ABC∽△DEF,请给予证明.
(3)【深入研究】
若图2中的∠C=∠F>90°,其他条件不变,两个三角形是否相似 试利用以上探究的结论解决问题,若相似请证明;若不相似,请画出反例.
【解析】(1)斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似.
答案:斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
(2)在Rt△ABC和Rt△DEF中,∠C=∠F=90°,若 =,则△ABC∽△DEF.
证明:在BA上取一点A'使BA'=DE,过点A'作A'C'∥AC交BC于C',
∴∠A'C'B=∠C=90°=∠F,△A'C'B∽△ACB,
∴=,
∵=,
∴=,
∵BA'=DE,
∴A'C'=DF,
在Rt△A'C'B和Rt△DFE中,
∴Rt△A'C'B≌Rt△DFE(HL),
∵△A'C'B∽△ACB,
∴△DFE∽△ACB.
答案:=(答案不唯一)
(3)相似,如图2,
过点A作AG⊥BC交BC的延长线于G,
过点D作DH⊥EF交EF的延长线于H,∴∠G=∠H=90°,
∵∠ACB=∠DFE,∴∠ACG=∠DFH,
∴△AGC∽△DHF,∴∠CAG=∠FDH,
用(2)的结论得,△ABG∽△DEH,
∴∠B=∠E,∠BAG=∠EDH,
∴∠BAC=∠EDF,∴△ABC∽△DEF.
素养提升攻略
涨知识了
从“点”到“线”的黄金分割
阅读材料:
项目 定义 模型
黄金分割点 点C将线段AB分成两部分,若满足=,则称点C为线段AB的黄金分割点
黄金分割线 直线l将一个面积为S的图形分成两部分,这两部分的面积分别为S1,S2,如果=,那么称直线l为该图形的黄金分割线
素养训练31模型观念、抽象能力、推理能力
1.在△ABC中,若点D为AB边上的黄金分割点,如图2所示,则直线CD是△ABC的黄金分割线,你认为对吗 说说你的理由.
【解析】对,理由:∵=,=,
又∵D是AB的黄金分割点,
∴=,=,
∴CD是△ABC的黄金分割线.
2.请你说明:三角形的中线是否是该三角形的黄金分割线.
【解析】不是.∵CD是△ABC的中线,
∴AD=DB,∴=,
而=1,∴≠,
∴中线不是黄金分割线.
文化体验
利用相似测量金字塔的高度
在埃及所有金字塔中,胡夫金字塔最为壮观,它的神秘和高度使许多人为之倾倒.它的底边长是230.6米,由230万块重达2.5吨的巨石堆砌而成.
金字塔的塔身是斜的,即使有人爬到塔顶上,也无法测量其高度.在一个烈日高照的下午,埃及著名的考古专家穆罕默德拉着儿子小穆罕默德来到了胡夫金字塔下,他想借机考一考年仅14岁的小穆罕默德:给你一根2米高的木杆,一把皮尺,你能利用所学知识来测出塔高吗 没一会儿,小穆罕默德就顺利解决了这个难题,你知道聪明的小穆罕默德是怎么做的吗
【解析】如图,假设AC为木杆的长,DF为金字塔的高,用皮尺测得BC,EF的长,由△ABC∽△DEF,就可求得DF的长,即金字塔的高.27.2.1 相似三角形的判定
第3课时
【A层 基础夯实】
知识点1 利用两角判定两个三角形相似
1.已知一个三角形的两个内角分别是50°和70°,另一个三角形的两个内角分别是50°和60°,则这两个三角形 ( )
A.一定不相似 B.不一定相似
C.一定相似 D.不能确定
2.如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,添加下列条件仍不能判定△ADE与△ABC相似的是 ( )
A.DE∥BC B.∠ADE=∠ACB
C.= D.=
3.(名师原创)如图,在△ABC中,点D在AB边上,点E在AC边上,请添加一个条件 ,使△ADE∽△ABC.
4.(2023·百色平果市期末)如图,点E是四边形ABCD的对角线BD上一点,
且∠BAC=∠BDC=∠DAE.求证:△ABE∽△ACD.
知识点2 直角三角形相似的判定
5.已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4,另一个直角三角形一条直角边与斜边的长分别为9和15,则这两个三角形 ( )
A.一定相似 B.不一定相似
C.一定不相似 D.是否相似无法判定
6.(教材溯源·P36练习第2题·2023湘潭中考)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高.
(1)证明:△ABD∽△CBA;
(2)若AB=6,BC=10,求BD的长.
【B层 能力进阶】
7.如图,在△ABC中,BC=6,AC=8,∠C=90°,以点B为圆心,BC长为半径画弧,与AB交于点D,再分别以A,D为圆心,大于AD的长为半径画弧,两弧交于点M,N,作直线MN,分别交AC,AB于点E,F,则AE的长度为( )
A. B.3 C.2 D.
8.(2023·东营中考)如图,△ABC为等边三角形,点D,E分别在边BC,AB上,
∠ADE=60°.若BD=4DC,DE=2.4,则AD的长为( )
A.1.8 B.2.4 C.3 D.3.2
9.希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法:如图,A,B是两侧山脚的入口,从B出发任作线段BC,过C作CD⊥BC,然后依次作垂线段DE,EF,FG,GH,直到接近A点,作AJ⊥GH于点J.每条线段可测量,长度如图所示.分别在BC,AJ上任选点M,N,作MQ⊥BC,NP⊥AJ,使得==k,此时点P,A,B,Q共线.挖隧道时始终能看见P,Q处的标志即可.
(1)CD-EF-GJ= km.
(2)k= .
10.(2023·梧州藤县期末)如图,已知四边形ABCD内接于☉O,AC是☉O的直径,BE是☉O的切线,切点为B,BE⊥AD于点E,连接OB,OD.
(1)求证:△AEB∽△ABC;
(2)若BC=2BE,求证:四边形ABOD是菱形.
【C层 素养冲A+(选做)】
11.(几何直观、推理能力)【问题提出】
在判定两个三角形全等时,除根据一般三角形全等判定定理外,还有“HL”方法.类似地,我们对直角三角形相似的条件进行探索.
(1)【提出猜想】
除根据一般三角形相似判定的条件外,请你提出类似于“HL”的判定直角三角形相似的方法,并用文字描述: .
(2)【初步思考】
其中,我们不妨将问题用符号语言表示:如图1,在Rt△ABC和Rt△DEF中,
∠C=∠F=90°,若 ,则△ABC∽△DEF,请给予证明.
(3)【深入研究】
若图2中的∠C=∠F>90°,其他条件不变,两个三角形是否相似 试利用以上探究的结论解决问题,若相似请证明;若不相似,请画出反例.
素养提升攻略
涨知识了
从“点”到“线”的黄金分割
阅读材料:
项目 定义 模型
黄金分割点 点C将线段AB分成两部分,若满足=,则称点C为线段AB的黄金分割点
黄金分割线 直线l将一个面积为S的图形分成两部分,这两部分的面积分别为S1,S2,如果=,那么称直线l为该图形的黄金分割线
素养训练31模型观念、抽象能力、推理能力
1.在△ABC中,若点D为AB边上的黄金分割点,如图2所示,则直线CD是△ABC的黄金分割线,你认为对吗 说说你的理由.
2.请你说明:三角形的中线是否是该三角形的黄金分割线.
文化体验
利用相似测量金字塔的高度
在埃及所有金字塔中,胡夫金字塔最为壮观,它的神秘和高度使许多人为之倾倒.它的底边长是230.6米,由230万块重达2.5吨的巨石堆砌而成.
金字塔的塔身是斜的,即使有人爬到塔顶上,也无法测量其高度.在一个烈日高照的下午,埃及著名的考古专家穆罕默德拉着儿子小穆罕默德来到了胡夫金字塔下,他想借机考一考年仅14岁的小穆罕默德:给你一根2米高的木杆,一把皮尺,你能利用所学知识来测出塔高吗 没一会儿,小穆罕默德就顺利解决了这个难题,你知道聪明的小穆罕默德是怎么做的吗
