27.2.2 相似三角形的性质
【A层 基础夯实】
知识点1 相似三角形对应线段及周长的比
1. (2023·重庆中考)如图,已知△ABC∽△EDC,AC∶EC=2∶3,若AB的长度为6,则DE的长度为 (B)
A.4 B.9 C.12 D.13.5
2.若两个相似三角形的对应中线的比为3∶4,则它们对应角平分线的比是 (D)
A.1∶16 B.16∶9 C.4∶3 D.3∶4
3.(教材再开发·P39练习第1题改编)若将△ABC的各边都扩大为原来的2倍,则该三角形的周长会扩大为原来的 2 倍.
4.如果两个相似三角形的周长比为1∶3,那么它们对应高的比为 1∶3 .
5.已知△ABC的三边长分别为6,8,10,和△ABC相似的△A'B'C'的最长边长为30,求△A'B'C'的另两条边的长、周长及最大角的大小.
【解析】∵△ABC的三边长分别为6,8,10,且62+82=102,∴△ABC是直角三角形,
∴△ABC的最大角是90°.
∵和△ABC相似的△A'B'C'的最长边长为30,∴△ABC与△A'B'C'的相似比为10∶30=1∶3,∴另两条边的长分别为6×3=18,8×3=24,
∴周长为18+24+30=72,最大角为90°.
知识点2 相似三角形的面积比
6.如图,△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高,若AD=2,A'D'=3,则△ABC与△A'B'C'的面积的比为 (A)
A.4∶9 B.9∶4 C.2∶3 D.3∶2
7.(易错警示题·概念不清)如图,△ABC∽△ACD,相似比为2∶1,则面积之比S△BDC∶S△DAC为 3∶1 .
8.如图所示,点D,E分别在AB,AC上,连接DE,△ADE∽△ABC,已知△ADE和△ABC的相似比是1∶2,且△ADE的面积是1,求四边形DBCE的面积.
【解析】∵△ADE和△ABC的相似比是1∶2,∴=()2=,
又∵△ADE的面积是1,∴S△ABC=4S△ADE=4,
∴S四边形DBCE=S△ABC-S△ADE=4-1=3.
【B层 能力进阶】
9.(名师原创)两个相似三角形的最短边长分别为5 cm和3 cm,它们的周长之差为14 cm,那么小三角形的周长为 (D)
A.15 cm B.17 cm C.19 cm D.21 cm
10.两对相似的直角三角形按如图所示的方式摆拼得矩形ABCD,其中△ADH∽△BAE,△ADH ≌ △CBF,△ABE ≌ △CDG.若EF∶FG=1∶2,AB∶BC=2∶3,则矩形EFGH与矩形ABCD的面积之比为(D)
A. B. C. D.
11.(2024·桂林荔浦区质检)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AB,AC于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,射线AP交边BC于点D,若△DAC∽△ABC,则∠B= 30 度.
12.(2024·梧州模拟)如图,在等腰△ABC中,AB=AC,底边BC的高AD与腰AC上的高BE相交于点F,且AE=BE,☉O是△AEF的外接圆,连接DE,OE.
(1)求证:DE是☉O的切线;
【证明】(1)∵BE⊥AC,AD⊥BC,AB=AC,
∴∠BDF=∠AEF=90°,BD=DC.
∵∠AFE=∠BFD,BD=DE,
∴∠FAE=∠FBD,∠FBD=∠DEF.
∵OA=OE,∴∠FAE=∠OEA,
∴∠OEA=∠DEF.
∵∠OEA+∠OEF=∠AEF=90°,
∴∠DEF+∠OEF=90°,∴∠OED=90°.
∵OE是☉O的半径,∴DE是☉O的切线.
(2)求证:DF·BC=EF·BF.
【证明】(2)∵BE⊥AC,∴∠AEF=∠BEC=90°,
∵∠EAF=∠EBC,AE=BE,
∴△EAF≌△EBC(ASA),∴AF=BC.
∵∠AEF=∠BDF=90°,∠EAF=∠DBF,
∴△AEF∽△BDF,∴=,
∴DF·AF=EF·BF,∴DF·BC=EF·BF.
【C层 素养冲A+(选做)】
13.(几何直观、运算能力)【问题】如图①,在△ABC中,D是BC的中点,E是AB上一点,延长DE,CA交于点F,若DE=EF,AB=4,求AE的长.(提示:如图②,过点E作EH∥BC交AC于H,再通过相似三角形的性质得到AE和AB的比,从而得到AE的长.请你按照这个思路完成解答.)
【探究】在原问题的条件下,可以得到AF和AC的数量关系是____________.
【拓展】如图③,在△ABC中,AD是中线,点E在线段AD上,且AE∶AD=1∶3,连接BE并延长,交AC于点F,若S△AEF=1,则S四边形EFCD=_______.
【解析】【问题】如题图②,过点E作EH∥BC交AC于H,
∵EH∥DC,∴△FEH∽△FDC,△AEH∽△ABC.
∵DE=EF,∴EF=DF,
∴==,∴EH=DC.
∵D是BC的中点,∴DC=BC,
∴EH=×BC=BC.∵△AEH∽△ABC,
∴==,∴AE=AB=×4=1,∴AE的长为1.
【探究】如题图②,∵EH∥DC,∴==1,∴HF=CH.
∵△AEH∽△ABC,∴==,∴AH=CH,
∴AF=HF-AH=CH-CH=CH,AC=AH+CH=CH+CH=CH,
∴==,∴AC=2AF.
答案:AC=2AF
【拓展】如图,过点E作EH∥BC交AC于H,
∵EH∥DC,∴△AEH∽△ADC,△FEH∽△FBC,
∴==,∴EH=DC.
∵AD是△ABC的中线,∴DC=BC,∴EH=×BC=BC.
∵△FEH∽△FBC,∴==,∴=,∴==,
∴S△ABE=5S△AEF=5×1=5.
∵==,∴S△ABD=3S△ABE=3×5=15.
∵DC=DB,∴S△ACD=S△ABD=15,∴S四边形EFCD=S△ACD-S△AEF=15-1=14.
答案:1427.2.2 相似三角形的性质
【A层 基础夯实】
知识点1 相似三角形对应线段及周长的比
1. (2023·重庆中考)如图,已知△ABC∽△EDC,AC∶EC=2∶3,若AB的长度为6,则DE的长度为 ( )
A.4 B.9 C.12 D.13.5
2.若两个相似三角形的对应中线的比为3∶4,则它们对应角平分线的比是 ( )
A.1∶16 B.16∶9 C.4∶3 D.3∶4
3.(教材再开发·P39练习第1题改编)若将△ABC的各边都扩大为原来的2倍,则该三角形的周长会扩大为原来的 倍.
4.如果两个相似三角形的周长比为1∶3,那么它们对应高的比为 .
5.已知△ABC的三边长分别为6,8,10,和△ABC相似的△A'B'C'的最长边长为30,求△A'B'C'的另两条边的长、周长及最大角的大小.
知识点2 相似三角形的面积比
6.如图,△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高,若AD=2,A'D'=3,则△ABC与△A'B'C'的面积的比为 ( )
A.4∶9 B.9∶4 C.2∶3 D.3∶2
7.(易错警示题·概念不清)如图,△ABC∽△ACD,相似比为2∶1,则面积之比S△BDC∶S△DAC为 .
8.如图所示,点D,E分别在AB,AC上,连接DE,△ADE∽△ABC,已知△ADE和△ABC的相似比是1∶2,且△ADE的面积是1,求四边形DBCE的面积.
【B层 能力进阶】
9.(名师原创)两个相似三角形的最短边长分别为5 cm和3 cm,它们的周长之差为14 cm,那么小三角形的周长为 ( )
A.15 cm B.17 cm C.19 cm D.21 cm
10.两对相似的直角三角形按如图所示的方式摆拼得矩形ABCD,其中△ADH∽△BAE,△ADH ≌ △CBF,△ABE ≌ △CDG.若EF∶FG=1∶2,AB∶BC=2∶3,则矩形EFGH与矩形ABCD的面积之比为( )
A. B. C. D.
11.(2024·桂林荔浦区质检)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AB,AC于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,射线AP交边BC于点D,若△DAC∽△ABC,则∠B= 度.
12.(2024·梧州模拟)如图,在等腰△ABC中,AB=AC,底边BC的高AD与腰AC上的高BE相交于点F,且AE=BE,☉O是△AEF的外接圆,连接DE,OE.
(1)求证:DE是☉O的切线;
【C层 素养冲A+(选做)】
13.(几何直观、运算能力)【问题】如图①,在△ABC中,D是BC的中点,E是AB上一点,延长DE,CA交于点F,若DE=EF,AB=4,求AE的长.(提示:如图②,过点E作EH∥BC交AC于H,再通过相似三角形的性质得到AE和AB的比,从而得到AE的长.请你按照这个思路完成解答.)
【探究】在原问题的条件下,可以得到AF和AC的数量关系是____________.
【拓展】如图③,在△ABC中,AD是中线,点E在线段AD上,且AE∶AD=1∶3,连接BE并延长,交AC于点F,若S△AEF=1,则S四边形EFCD=_______.
