27.2.3 相似三角形应用举例
第1课时
【A层 基础夯实】
知识点1 利用相似三角形测量物体的高度
1.如图所示,为了测量文昌塔AB的高度,数学兴趣小组根据光的反射定理(图中
∠1=∠2),把一面镜子放在点C处,然后观测者沿着直线BC后退到点D.这时恰好在镜子里看到塔顶A,此时量得CD=4 m,BD=94 m,观测者目高ED=1.6 m,则塔AB的高度为 (B)
A.35 m B.36 m C.37 m D.38 m
2.如图,某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度,他们通过调整测量位置,使斜边DF与地面保持平行,并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上,已知DE=0.5米,EF=0.25米,观测点D到地面的距离DG=1.5米,到旗杆的水平距离DC=20米,求旗杆的高度.
【解析】由题意可得,△DEF∽△DCA,则=.∵DE=0.5米,EF=0.25米,DG=1.5米,DC=20米,∴=,解得AC=10米,故AB=AC+BC=10+1.5=11.5(米).
答:旗杆的高度为11.5米.
知识点2 利用相似三角形测量物体的宽度
3. (2023·百色右江区期中)如图,为了测量池塘的宽DE,在岸边找到点C,测得CD=50 m,在DC的延长线上找一点A,测得AC=5 m,过点A作AB∥DE交EC的延长线于B,测出AB=6 m,则池塘的宽DE为 60 m.
4.(教材再开发·P40例5改编)(2023·柳州柳南区期末)某数学兴趣小组想用所学的知识测量小河的宽.测量时,他们选择了河对岸的一棵大树,将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点B,使得AB与河岸垂直,并在B点竖起标杆BC,再在AB延长线上选择点D,竖起标杆DE,使得点E,C,A共线.测得BC=1 m,DE=1.5 m,BD=7 m(测量示意图如图所示).请根据相关测量信息,求河宽AB.
【解析】∵BC∥DE,∴△ABC∽△ADE,
∴=,∴=,
∴AB=14 m,经检验AB=14是分式方程的解.
答:河宽AB的长为14 m.
【B层 能力进阶】
5.(2024·百色靖西市模拟)如图是某晾衣架的侧面示意图,根据图中数据,则C,D两点间的距离是 (B)
A.0.9 m B.1.2 m C.1.5 m D.2.5 m
6.(传统文化)(教材溯源·P40例6改编·2023潍坊中考)在《数书九章》(宋·秦九韶)中记载了一个测量塔高的问题:如图所示,AB表示塔的高度,CD表示竹竿顶端到地面的高度,EF表示人眼到地面的高度,AB,CD,EF在同一平面内,点A,C,E在一条水平直线上.已知AC=20米,CE=10米,CD=7米,EF=1.4米,人从点F远眺塔顶B,视线恰好经过竹竿的顶端D,可求出塔的高度.根据以上信息,塔的高度为 18.2 米.
7.如图是一个照相机成像的示意图.
(1)如果像高MN是35 mm,焦距是50 mm,拍摄的景物高度AB是4.9 m,拍摄点离景物有多远
【解析】根据物体成像原理知:△LMN∽△LBA,
∴=.
(1)∵像高MN是35 mm,焦距是50 mm,拍摄的景物高度AB是4.9 m,
∴=,
解得LD=7 m,∴拍摄点离景物7 m;
(2)如果要完整地拍摄高度是2 m的景物,拍摄点离景物有4 m,像高不变,则相机的焦距应调整为多少
【解析】(2)拍摄高度是2 m的景物,拍摄点离景物有4 m,像高不变,
∴=,解得LC=70 mm,
∴相机的焦距应调整为70 mm.
【C层 素养冲A+(选做)】
8. (应用意识、抽象能力、运算能力)某一天,小明和小亮来到一河边,想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度,两人在确保无安全隐患的情况下,先在河岸边选择了一点B(点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸).
①小明在B点面向树的方向站好,调整帽檐,使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处,如图所示,这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米;
②小明站在原地转动180°后蹲下,并保持原来的观察姿态(除身体重心下移外,其他姿态均不变),这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处,此时小亮测得BE=9.6米,小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米.
根据以上测量过程及测量数据,请你求出河宽BD是多少米.
【解析】由题意得,∠BAD=∠BCE,
∵∠ABD=∠CBE=90°,∴△BAD∽△BCE,
∴=,∴=,解得BD=13.6米.
答:河宽BD是13.6米.27.2.3 相似三角形应用举例
第1课时
【A层 基础夯实】
知识点1 利用相似三角形测量物体的高度
1.如图所示,为了测量文昌塔AB的高度,数学兴趣小组根据光的反射定理(图中
∠1=∠2),把一面镜子放在点C处,然后观测者沿着直线BC后退到点D.这时恰好在镜子里看到塔顶A,此时量得CD=4 m,BD=94 m,观测者目高ED=1.6 m,则塔AB的高度为 ( )
A.35 m B.36 m C.37 m D.38 m
2.如图,某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度,他们通过调整测量位置,使斜边DF与地面保持平行,并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上,已知DE=0.5米,EF=0.25米,观测点D到地面的距离DG=1.5米,到旗杆的水平距离DC=20米,求旗杆的高度.
知识点2 利用相似三角形测量物体的宽度
3. (2023·百色右江区期中)如图,为了测量池塘的宽DE,在岸边找到点C,测得CD=50 m,在DC的延长线上找一点A,测得AC=5 m,过点A作AB∥DE交EC的延长线于B,测出AB=6 m,则池塘的宽DE为 m.
4.(教材再开发·P40例5改编)(2023·柳州柳南区期末)某数学兴趣小组想用所学的知识测量小河的宽.测量时,他们选择了河对岸的一棵大树,将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点B,使得AB与河岸垂直,并在B点竖起标杆BC,再在AB延长线上选择点D,竖起标杆DE,使得点E,C,A共线.测得BC=1 m,DE=1.5 m,BD=7 m(测量示意图如图所示).请根据相关测量信息,求河宽AB.
【B层 能力进阶】
5.(2024·百色靖西市模拟)如图是某晾衣架的侧面示意图,根据图中数据,则C,D两点间的距离是 ( )
A.0.9 m B.1.2 m C.1.5 m D.2.5 m
6.(传统文化)(教材溯源·P40例6改编·2023潍坊中考)在《数书九章》(宋·秦九韶)中记载了一个测量塔高的问题:如图所示,AB表示塔的高度,CD表示竹竿顶端到地面的高度,EF表示人眼到地面的高度,AB,CD,EF在同一平面内,点A,C,E在一条水平直线上.已知AC=20米,CE=10米,CD=7米,EF=1.4米,人从点F远眺塔顶B,视线恰好经过竹竿的顶端D,可求出塔的高度.根据以上信息,塔的高度为 米.
7.如图是一个照相机成像的示意图.
(1)如果像高MN是35 mm,焦距是50 mm,拍摄的景物高度AB是4.9 m,拍摄点离景物有多远
(2)如果要完整地拍摄高度是2 m的景物,拍摄点离景物有4 m,像高不变,则相机的焦距应调整为多少
【C层 素养冲A+(选做)】
8. (应用意识、抽象能力、运算能力)某一天,小明和小亮来到一河边,想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度,两人在确保无安全隐患的情况下,先在河岸边选择了一点B(点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸).
①小明在B点面向树的方向站好,调整帽檐,使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处,如图所示,这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米;
②小明站在原地转动180°后蹲下,并保持原来的观察姿态(除身体重心下移外,其他姿态均不变),这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处,此时小亮测得BE=9.6米,小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米.
根据以上测量过程及测量数据,请你求出河宽BD是多少米.
