27.3 位似
第2课时
【A层 基础夯实】
知识点1 位似图形与坐标
1.(易错警示题·忽视分类讨论遗漏情况)(2023·朝阳中考)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,2),B(4,1),以原点O为位似中心,相似比为2,把△OAB放大,则点A的对应点A'的坐标是( )
A.(1,1) B.(4,4)或(8,2)
C.(4,4) D.(4,4)或(-4,-4)
2.(教材开发·P50练习第2题改编)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=60°,边AB在x轴上,以O为位似中心,作△A1B1C1与△ABC位似,若C(3,6)的对应点C1(1,2),则B1的坐标为 ( )
A.(1,0) B. (,0) C.(2,0) D.(2,1)
3.(名师原创)如图,在平面直角坐标系中,△OAB与△OCD位似,位似中心是坐标原点O.若点A(4,0),点C(2,0),则△OAB与△OCD周长的比值是 .
知识点2 在直角坐标系中的位似变换作图
4.(易错警示题·概念不清)(2023·宿州质检)如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC及平面直角坐标系xOy.
(1)将△ABC绕O点逆时针旋转90°得到△A1B1C1,请作出△A1B1C1;
(2)以点O为位似中心,在第四象限将△ABC放大2倍得到△A2B2C2,请作出△A2B2C2.
5.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-2,-5),B(-3,-1),C(-5,-4).
(1)以点O为位似中心,为相似比,在第一象限内,画出△ABC的位似图形△A1B1C1;
(2)点M是BC的中点,请直接写出点M在△A1B1C1中的对应点M1的坐标.
【B层 能力进阶】
6.(2023·遂宁中考)在方格图中,以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.在如图所示的平面直角坐标系中,格点△ABC,△DEF成位似关系,则位似中心的坐标为 ( )
A.(-1,0) B.(0,0)
C.(0,1) D.(1,0)
7.(2024·北海海城区质检)如图,已知△AOB和△A1OB1是以点O为位似中心的位似图形,且△AOB和△A1OB1的周长之比为1∶2,点B的坐标为(-1,2),则点B1的坐标为 ( )
A.(2,-4) B.(1,-4)
C.(-1,4) D.(-4,2)
8.(2023·烟台中考)如图,在直角坐标系中,每个网格小正方形的边长均为1个单位长度,以点P为位似中心作正方形PA1A2A3,正方形PA4A5A6,…,按此规律作下去,所作正方形的顶点均在格点上,其中正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为P(-3,0),A1(-2,1),A2(-1,0),A3(-2,-1),则顶点A100的坐标为 ( )
A.(31,34) B.(31,-34)
C.(32,35) D.(32,0)
9.(2023·石家庄期末)如图,△AOB的三个顶点的坐标分别为A(8,0),O(0,0),B(8,-6).以点O为位似中心,把△AOB缩小为原来的,得到△A'OB',点M'为OB'的中点,则OM'的长为 .
10.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点坐标分别为O(0,0),A(4,0),B(6,4),C(0,6),将其顶点的坐标缩小为原来的,画出得到的四边形OA'B'C'.并判断这两个四边形是否是位似图形.若是,四边形OA'B'C'与四边形OABC的相似比是多少
【C层 素养冲A+(选做)】
11.(几何直观,推理能力)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA,OC分别在x轴和y轴上,且OA=2,OC=1.在第一象限内,将矩形OABC以原点O为位似中心放大为原来的2倍,得到矩形OA1B1C1,再将矩形OA1B1C1以原点O为位似中心放大2倍,得到矩形OA2B2C2……以此类推,得到的矩形OAnBnCn的对角线交点的坐标为 . 27.3 位似
第2课时
【A层 基础夯实】
知识点1 位似图形与坐标
1.(易错警示题·忽视分类讨论遗漏情况)(2023·朝阳中考)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,2),B(4,1),以原点O为位似中心,相似比为2,把△OAB放大,则点A的对应点A'的坐标是(D)
A.(1,1) B.(4,4)或(8,2)
C.(4,4) D.(4,4)或(-4,-4)
2.(教材开发·P50练习第2题改编)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=60°,边AB在x轴上,以O为位似中心,作△A1B1C1与△ABC位似,若C(3,6)的对应点C1(1,2),则B1的坐标为 (A)
A.(1,0) B. (,0) C.(2,0) D.(2,1)
3.(名师原创)如图,在平面直角坐标系中,△OAB与△OCD位似,位似中心是坐标原点O.若点A(4,0),点C(2,0),则△OAB与△OCD周长的比值是 2 .
知识点2 在直角坐标系中的位似变换作图
4.(易错警示题·概念不清)(2023·宿州质检)如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC及平面直角坐标系xOy.
(1)将△ABC绕O点逆时针旋转90°得到△A1B1C1,请作出△A1B1C1;
(2)以点O为位似中心,在第四象限将△ABC放大2倍得到△A2B2C2,请作出△A2B2C2.
【解析】(1)如图,△A1B1C1为所作;
(2)如图,△A2B2C2为所作.
5.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-2,-5),B(-3,-1),C(-5,-4).
(1)以点O为位似中心,为相似比,在第一象限内,画出△ABC的位似图形△A1B1C1;
【解析】(1)如图,△A1B1C1即为所求.
(2)点M是BC的中点,请直接写出点M在△A1B1C1中的对应点M1的坐标.
【解析】(2)∵点M是BC的中点,∴点M的坐标为(-4,-),
根据位似的性质,横纵坐标都变为原来的,且在第一象限,∴M1(2,).
【B层 能力进阶】
6.(2023·遂宁中考)在方格图中,以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.在如图所示的平面直角坐标系中,格点△ABC,△DEF成位似关系,则位似中心的坐标为 (A)
A.(-1,0) B.(0,0)
C.(0,1) D.(1,0)
7.(2024·北海海城区质检)如图,已知△AOB和△A1OB1是以点O为位似中心的位似图形,且△AOB和△A1OB1的周长之比为1∶2,点B的坐标为(-1,2),则点B1的坐标为 (A)
A.(2,-4) B.(1,-4)
C.(-1,4) D.(-4,2)
8.(2023·烟台中考)如图,在直角坐标系中,每个网格小正方形的边长均为1个单位长度,以点P为位似中心作正方形PA1A2A3,正方形PA4A5A6,…,按此规律作下去,所作正方形的顶点均在格点上,其中正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为P(-3,0),A1(-2,1),A2(-1,0),A3(-2,-1),则顶点A100的坐标为 (A)
A.(31,34) B.(31,-34)
C.(32,35) D.(32,0)
9.(2023·石家庄期末)如图,△AOB的三个顶点的坐标分别为A(8,0),O(0,0),B(8,-6).以点O为位似中心,把△AOB缩小为原来的,得到△A'OB',点M'为OB'的中点,则OM'的长为 .
10.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点坐标分别为O(0,0),A(4,0),B(6,4),C(0,6),将其顶点的坐标缩小为原来的,画出得到的四边形OA'B'C'.并判断这两个四边形是否是位似图形.若是,四边形OA'B'C'与四边形OABC的相似比是多少
【解析】如图,四边形OA'B'C'即为所作的四边形,
四边形OA'B'C'与四边形OABC是位似图形,理由如下:
根据题意得:OA=4,OC=6.由勾股定理得,A'B'==,B'C'==.
又OA'=2,OC'=3,AB===2,BC===2.
∵====,
∴四边形OA'B'C'与四边形OABC是以点O为位似中心的位似图形,相似比为.
【C层 素养冲A+(选做)】
11.(几何直观,推理能力)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA,OC分别在x轴和y轴上,且OA=2,OC=1.在第一象限内,将矩形OABC以原点O为位似中心放大为原来的2倍,得到矩形OA1B1C1,再将矩形OA1B1C1以原点O为位似中心放大2倍,得到矩形OA2B2C2……以此类推,得到的矩形OAnBnCn的对角线交点的坐标为 (2n,2n-1) .
