单元质量评价(八) (第二十八章)
(45分钟 100分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,AB=5,则 ( )
A.sin A= B.tan B= C.cos B= D.cos A=
2.若∠α的余角是30°,则cos α的值是 ( )
A. B. C. D.
3. (2023·南充中考)如图,小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处,再向正北方向走到C处,已知∠BAC=α,则A,C两处相距( )
A.米 B.米 C.x·sin α米 D.x·cos α米
4.如图,点A,B,C在边长为1的正方形网格格点上,下列结论错误的是 ( )
A.sin B= B.sin C= C.tan B= D.sin2B+sin2C=1
5.在△ABC中,tan C=,sin A=,则∠B= ( )
A.60° B.90° C.120° D.135°
6.如果∠A为锐角,且sin A=0.6,那么( )
A.0°<∠A≤30° B.30°<∠A<45° C.45°<∠A<60° D.60°<∠A≤90°
7.(2024·百色靖西市期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,若cos A=,则tan B的值为 ( )
A. B. C. D.
8.(2023·长春中考)学校开放日即将来临,负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB到地面,如图所示.已知彩旗绳与地面形成25°角(即∠BAC=25°),彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米(即AC=32米),则彩旗绳AB的长度为 ( )
A.32sin 25°米 B.32cos 25°米
C.米 D.米
9.如图,在正方形方格纸中,每个小正方形的边长都相等,A,B,C,D都在格点处,AB与CD相交于点P,则cos ∠APC的值为 ( )
A. B. C. D.
10.(2024·贺州市八步区质检)如图,在矩形ABCD中,DE⊥AC于E,设∠ADE=α,且cos α=,AB=4,则AD的长为 ( )
A.3 B. C. D.
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
11.已知α是锐角,且cos α=,那么α= .
12.(2023·内江中考)在△ABC 中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且满足a2+|c-10|+=12a-36,则sin B的值为 .
13.如图,P是∠α的边OA上一点,且点P的横坐标为3,sin α=,则tan α= .
14.Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=2,则cos A的值为 .
15.(2023·钦州钦北区模拟)在△ABC中,AB=,tan B=,AC=2,则BC的长为 .
16.如图,海中一渔船在A处与小岛C相距70海里,若该渔船由西向东航行30海里到达B处,此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上,则该渔船此时与小岛C之间的距离是 海里.
三、解答题(本大题共4小题,共36分)
17.(8分)计算:tan 30°sin 60°-cos245°+tan 45°.
18. (9分)如图,为了修建跨江大桥,需要利用数学方法测量江的宽度AB.飞机上的测量人员在C处测得A,B两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CD为1 000 m,且点D,A,B在同一水平直线上,试求这条江的宽度AB(结果精确到1 m,参考数据:≈1.414 2,≈1.732 1).
19. (9分)如图,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D,若AC=15,cos A=.求BC的长.
20.(10分)北斗卫星导航系统是我国自主研发的全球卫星定位导航系统,它极大地方便了航海时轮船的定位.如图,灯塔B位于港口A的北偏东60°方向,且A,B之间的距离为30 km,灯塔C位于灯塔B的正东方向,且B,C之间的距离为9 km.一艘轮船从港口A出发,沿正南方向航行到达D处,测得灯塔C在北偏东37°方向上,这时,D处距离港口A有多远 (结果取整数,参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,≈1.73)单元质量评价(八) (第二十八章)
(45分钟 100分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,AB=5,则 (D)
A.sin A= B.tan B= C.cos B= D.cos A=
2.若∠α的余角是30°,则cos α的值是 (D)
A. B. C. D.
3. (2023·南充中考)如图,小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处,再向正北方向走到C处,已知∠BAC=α,则A,C两处相距(B)
A.米 B.米 C.x·sin α米 D.x·cos α米
4.如图,点A,B,C在边长为1的正方形网格格点上,下列结论错误的是 (A)
A.sin B= B.sin C= C.tan B= D.sin2B+sin2C=1
5.在△ABC中,tan C=,sin A=,则∠B= (B)
A.60° B.90° C.120° D.135°
6.如果∠A为锐角,且sin A=0.6,那么(B)
A.0°<∠A≤30° B.30°<∠A<45° C.45°<∠A<60° D.60°<∠A≤90°
7.(2024·百色靖西市期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,若cos A=,则tan B的值为 (C)
A. B. C. D.
8.(2023·长春中考)学校开放日即将来临,负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB到地面,如图所示.已知彩旗绳与地面形成25°角(即∠BAC=25°),彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米(即AC=32米),则彩旗绳AB的长度为 (D)
A.32sin 25°米 B.32cos 25°米
C.米 D.米
9.如图,在正方形方格纸中,每个小正方形的边长都相等,A,B,C,D都在格点处,AB与CD相交于点P,则cos ∠APC的值为 (B)
A. B. C. D.
10.(2024·贺州市八步区质检)如图,在矩形ABCD中,DE⊥AC于E,设∠ADE=α,且cos α=,AB=4,则AD的长为 (B)
A.3 B. C. D.
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
11.已知α是锐角,且cos α=,那么α= 45° .
12.(2023·内江中考)在△ABC 中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且满足a2+|c-10|+=12a-36,则sin B的值为 .
13.如图,P是∠α的边OA上一点,且点P的横坐标为3,sin α=,则tan α= .
14.Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=2,则cos A的值为 .
15.(2023·钦州钦北区模拟)在△ABC中,AB=,tan B=,AC=2,则BC的长为 3或7 .
16.如图,海中一渔船在A处与小岛C相距70海里,若该渔船由西向东航行30海里到达B处,此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上,则该渔船此时与小岛C之间的距离是 50 海里.
三、解答题(本大题共4小题,共36分)
17.(8分)计算:tan 30°sin 60°-cos245°+tan 45°.
【解析】tan 30°sin 60°-cos245°+tan 45°=×-()2+1=-+1=1.
18. (9分)如图,为了修建跨江大桥,需要利用数学方法测量江的宽度AB.飞机上的测量人员在C处测得A,B两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CD为1 000 m,且点D,A,B在同一水平直线上,试求这条江的宽度AB(结果精确到1 m,参考数据:≈1.414 2,≈1.732 1).
【解析】由题意得:∠CAD=45°,∠CBD=30°,
在Rt△ACD中,CD=1 000 m,
∴AD==1 000(m),
在Rt△BCD中,BD===1 000(m),
∴AB=BD-AD=1 000-1 000≈732(m).
答:这条江的宽度AB约为732 m.
19. (9分)如图,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D,若AC=15,cos A=.求BC的长.
【解析】在Rt△ABD中,∵AB=AC=15,cos A=,
∴AD=AB·cos A=15×=12,∴BD===9.
∴CD=AC-AD=3.
在Rt△CBD中,BC===3.
答:BC的长为3.
20.(10分)北斗卫星导航系统是我国自主研发的全球卫星定位导航系统,它极大地方便了航海时轮船的定位.如图,灯塔B位于港口A的北偏东60°方向,且A,B之间的距离为30 km,灯塔C位于灯塔B的正东方向,且B,C之间的距离为9 km.一艘轮船从港口A出发,沿正南方向航行到达D处,测得灯塔C在北偏东37°方向上,这时,D处距离港口A有多远 (结果取整数,参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,≈1.73)
【解析】延长CB交DA的延长线于E,由题意得,∠E=90°,
∵∠BAE=60°,AB=30 km,
∴BE=AB·sin 60°=30×=15(km),AE=AB·cos 60°=30×=15(km),
∵BC=9 km,
∴CE=BE+BC=(15+9)(km),
∴DE=CE÷tan 37°≈(9+15)÷0.75≈46.6(km),
∴AD=DE-AE=46.6-15≈32(km),
答:D处距离港口A约有32 km.
