素养培优课(三) 动力学中的三类常见题型
1．知道几种常见的动力学图像并能分析解决这些图像问题。
2．会分析解决动力学中的临界问题。
3．知道什么是连接体问题，并能解决动力学中的连接体问题。
考点1 瞬时加速度的计算
1．问题特点
根据牛顿第二定律可知，加速度与合力存在瞬时对应关系。分析物体的瞬时问题，关键是分析该时刻前后的受力情况和运动状态，再由牛顿第二定律求出瞬时加速度，此类问题应注意两类基本模型的建立。
2．两类基本模型
两类模型 刚性绳 弹性绳
模型代表 轻绳、线、接触面 弹簧、橡皮筋
相同点 质量和重力均可忽略，同一根绳、线、弹簧或橡皮筋两端及中间各点的弹力大小相等
不同点 形变不明显，剪断之后，形变恢复几乎不需要时间，弹力立刻消失或改变 形变量大，恢复形变需要较长时间。在瞬时问题中，弹力视为不变
【典例1】 (多选)如图所示，质量为m的小球与弹簧Ⅰ和水平细绳Ⅱ相连，Ⅰ、Ⅱ的另一端分别固定于P、Q两点。小球静止时，Ⅰ中拉力的大小为F1，Ⅱ中拉力的大小为F2，当仅剪断Ⅰ、Ⅱ其中一根的瞬间，球的加速度a应是( )
A．若剪断Ⅰ，则a＝g，方向竖直向下
B．若剪断Ⅱ，则a＝，方向水平向左
C．若剪断Ⅰ，则a＝，方向沿Ⅰ的延长线方向
D．若剪断Ⅱ，则a＝g，方向竖直向上
AB [没有剪断Ⅰ、Ⅱ时小球受力情况如图所示，在剪断Ⅰ的瞬间，由于小球的速度为0，绳Ⅱ上的力突变为0，则小球只受重力作用，加速度为g，选项A正确，C错误；若剪断Ⅱ，由于弹簧的弹力不能突变，F1与重力的合力大小仍等于F2，所以此时加速度为a＝，方向水平向左，选项B正确，D错误。
]
[跟进训练]
1．如图所示，在倾角为θ＝30°的光滑斜面上，两个质量相同的小球A、B通过弹簧相连，A球用一根细线系在斜面上端，系统静止时，弹簧与细线均平行于斜面。在细线被烧断的瞬间，下列说法正确的是( )
A．aA＝0，aB＝g B．aA＝g，aB＝0
C．aA＝g，aB＝g D．aA＝0，aB＝g
B [设两球的质量均为m。在细线烧断前，以B球为研究对象，根据平衡条件得到弹簧的弹力F＝mg sin θ；在细线被烧断的瞬间，弹簧的弹力没有变化，则B球的受力情况没有变化，瞬时加速度为零，即aB＝0，而此瞬间A球所受的合力大小为：F＋mg sin θ＝2mg sin θ，并且方向沿斜面向下，根据牛顿第二定律得，A球的加速度大小为：aA＝＝g，方向沿斜面向下，故B正确，A、C、D错误。]
考点2 动力学中的图像问题
1．常见的几种图像：v-t图像、a-t图像、F-t图像、a-F图像等。
2．两类问题
(1)已知物体的运动图像或受力图像，分析有关受力或运动问题。
(2)已知物体的受力或运动情况，判断选择有关的图像。
3．图像问题的分析思路
(1)分析图像问题时，首先明确图像的种类及其意义，再明确图线的点、线段、斜率、截距、交点、拐点、面积等方面的物理意义。
(2)根据牛顿运动定律及运动学公式建立相关方程解题。
【典例2】 一质量m＝2.0 kg的小物块以一定的初速度冲上一倾角为37°的足够长的斜面，某同学利用传感器测出了小物块冲上斜面过程中多个时刻的瞬时速度，并用计算机作出了小物块上滑过程的v-t图像，如图所示，求：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)
(1)小物块冲上斜面过程中加速度的大小；
(2)小物块与斜面间的动摩擦因数。
[解析] (1)由v-t图像可知加速度的大小为a＝ m/s2＝8 m/s2。
(2)对物块受力分析，物块受重力、支持力、摩擦力f作用
沿斜面方向：mg sin 37°＋f＝ma
垂直斜面方向：mg cos 37°＝N
又f＝μN
联立以上三式得a＝g sin 37°＋μg cos 37°
代入数据解得μ＝0.25。
[答案] (1)8 m/s2 (2)0.25
(1)分清图像的类别：分清横、纵坐标所代表的物理量，明确其物理意义，掌握图像所反映的物理过程，会分析临界点。
(2)注意图线中的一些特殊点所表示的物理意义，比如，要注意图线与横、纵轴的交点，图线的拐点，两图线的交点等。
(3)把图像与具体的题意、情境结合起来，应用物理规律列出与图像对应的函数关系式，进而明确“图像与公式”“图像与物体”间的关系，以便对有关物理问题做出准确判断。
[跟进训练]
2．(多选)如图甲所示，一物块在t＝0时刻滑上一固定斜面，其运动的v-t图像如图乙所示。若重力加速度及图中的v0、v1、t1均为已知量，则可求出( )
甲 乙
A．斜面的倾角
B．物块的质量
C．物块与斜面间的动摩擦因数
D．物块沿斜面向上滑行的最大高度
ACD [由题图乙可以求出物块上升过程中的加速度大小为a1＝，下降过程中的加速度大小为a2＝。物块在上升和下降过程中，由牛顿第二定律得mg sin θ＋f＝ma1，mg sin θ－f＝ma2，由以上各式可求得sin θ＝，滑动摩擦力f＝，而f＝μFN＝μmg cos θ，由以上分析可知，选项A、C正确；由v-t图像中横轴上方的面积可求出物块沿斜面上滑的最大距离，可以求出物块沿斜面向上滑行的最大高度，选项D正确。]
考点3 动力学中的临界极值问题
1．题型特点
在动力学问题中出现某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态即临界问题。问题中出现“最大”“最小”“刚好”“恰能”等关键词语，一般都会涉及临界问题，隐含相应的临界条件。
2．临界问题的常见类型及临界条件
(1)接触与分离的临界条件：两物体相接触(或分离)的临界条件是弹力为零且分离瞬间的加速度、速度分别相等。
(2)相对静止或相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大静摩擦力。
(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子断与不断的临界条件是实际张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的临界条件是绳上的张力恰好为零。
(4)出现加速度最值与速度最值的临界条件：当物体在变化的外力作用下运动时，其加速度和速度都会不断变化，当所受合力最大时，具有最大加速度；当所受合力最小时，具有最小加速度。当出现加速度为零时，物体处于临界状态，对应的速度达到最大值或最小值。
3．解题关键
正确分析物体的受力情况及运动情况，对临界状态进行判断与分析，挖掘出隐含的临界条件。
【典例3】 用卡车运输质量为m的匀质圆筒状工件，为使工件保持固定，将其置于两个光滑斜面之间，如图所示，卡车向右行驶，两个斜面Ⅰ、Ⅱ固定在车上，倾角分别为53°和37°。已知sin 37°＝，cos 37°＝，重力加速度为g。
(1)当卡车沿平直公路匀速行驶时，求斜面Ⅰ、Ⅱ分别对工件的弹力大小；
(2)当卡车沿平直公路以g的加速度匀减速行驶时，求斜面Ⅰ、Ⅱ分别对工件的弹力大小；
(3)为保证行车安全，求卡车沿平直公路匀加速行驶的最大加速度。
[解析] (1)以工件为研究对象，受力分析如图所示。根据共点力的平衡条件可知，斜面Ⅰ、Ⅱ对工件的压力大小分别为
F′1＝mg cos 53° ＝ mg，F′2＝mg cos 37° ＝ mg
根据牛顿第三定律可知
F1＝F1′＝mg F2＝F2′＝mg。
(2)以工件为研究对象，斜面Ⅰ、Ⅱ对工件的压力大小分别为F3、F4，在水平方向上根据牛顿第二定律有
F4sin 37°－F3sin 53°＝ma
在竖直方向上根据平衡条件有
F3cos 53°＋F4cos 37°＝mg
解得F3＝mg。
(3)卡车沿平直公路匀加速行驶的最大加速度时，斜面Ⅰ对工件压力大小为F5，斜面Ⅱ对工件的弹力大小为0，则有
F5sin 53°＝mam，F5cos 53°＝mg
解得am＝g。
答案：(1)mg mg (2)mg mg (3)g
求解临界极值问题的三种常用方法
极限法 把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界观象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的
假设法 临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题
数学方法 将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式解出临界条件
[跟进训练]
3．如图所示，在倾角为30°的光滑斜面上端固定一劲度系数为20 N/m 的轻质弹簧，弹簧下端连一个质量为2 kg的小球，球被一垂直于斜面的挡板A挡住，此时弹簧没有形变。若挡板A以4 m/s2的加速度沿斜面向下匀加速运动，g取10 m/s2，则( )
A．小球向下运动0.4 m时速度最大
B．小球向下运动0.1 m时与挡板分离
C．小球速度最大时与挡板分离
D．小球从一开始就与挡板分离
B [球和挡板分离前小球做匀加速运动；球和挡板分离后小球做加速度减小的加速运动，当加速度为零时，速度最大，此时小球所受合力为零，即kxm＝mg sin 30°，解得xm＝＝0.5 m。由于开始时弹簧处于原长，所以速度最大时，小球向下运动的路程为0.5 m，故A错误；设球与挡板分离时位移为x，从开始运动到分离的过程中，小球受竖直向下的重力，垂直斜面向上的支持力FN，沿斜面向上的挡板的支持力F1和弹簧弹力F。根据牛顿第二运动定律有mg sin 30°－kx－F1＝ma，保持a不变，随着x的增大，F1减小，当小球与挡板分离时，F1减小到零，则有mg sin 30°－kx＝ma，解得x＝＝0.1 m，即小球向下运动0.1 m时与挡板分离，故B正确；因为小球速度最大时，运动的位移为0.5 m，而小球运动0.1 m时已经与挡板分离，故C、D错误。]
考点4 动力学中的连接体问题
1．连接体
多个相互关联的物体连接(叠放、并排或由绳子、细杆、弹簧等连接)在一起构成的物体系统称为连接体。
2．连接体问题的分类
(1)加速度相同的连接体。
(2)加速度不同的连接体。
3．解决连接体问题的两种方法
【典例4】 (多选)AB是固定在空中的光滑水平横杆，一质量为M的物块穿在杆AB上，物块通过细线悬吊着一质量为m的小球。现用沿杆的恒力F拉物块使物块、小球一起(保持相对静止)向右运动，细线与竖直方向夹角为θ，则以下说法正确的是( )
A．杆对物块的支持力为g
B．细线上的拉力为
C．F＝g tan θ
D．物块和小球的加速度为g tan θ
ACD [对小球和物块组成的整体受力分析，如图甲所示，竖直方向上受重力和支持力处于平衡态，因此杆对物块的支持力为FN＝g，故A正确；对小球受力分析，如图乙所示，
则FT＝，由牛顿第二定律得mg tan θ＝ma，两物体保持相对静止即加速度相同，为a＝g tan θ，故B错误，D正确；对整体，在水平方向上有F＝(M＋m)a＝(M＋m)g tan θ，故C正确。故选ACD。]
整体法、隔离法的选取原则
(1)对于加速度相同的连接体，如果要求物体之间的作用力时，可以先用整体法求出加速度，然后再用隔离法选取合适的研究对象，应用牛顿第二运动定律求作用力，即“先整体求加速度，后隔离求内力”。
(2)对于加速度不同的连接体问题一般选择隔离法。
[跟进训练]
4．(多选)如图所示，质量均为m＝1 kg的A、B两物块置于倾角为37°的斜面上，物块与斜面间的动摩擦因数均为，物块间用一与斜面平行的轻绳相连，绳中无拉力，现用力F沿斜面向上拉物块A，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。重力加速度g＝10 m/s2。已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，下列说法正确的是( )
A．当0
B．当F＝2 N时，A物块受到的摩擦力为5 N
C．当F>24 N时，绳中拉力为
D．当F＝20 N时，B物块受到的摩擦力为4 N
AC [mg sin 37°＝μmg cos 37°＝6 N，当02mg sin 37°＋2μmg cos 37°＝24 N时，整体向上加速运动，根据牛顿第二定律，设绳子拉力为FT，对整体有F－2mg sin 37°－2μmg cos 37°＝2ma，对B有FT－mg sin 37°－μmg cos 37°＝ma，可得绳中拉力为，故C正确；当F＝20 N时，整体不动，设绳子拉力为FT，对A有F＝FT＋mg sin 37°＋μmg cos 37°，得FT＝8 N，对B有FT＝mg sin 37°＋Ff，得Ff＝2 N，故D错误。]
素养培优练(三) 动力学中的三类常见题型
一、选择题
1．如图所示，质量均为m的两个木块 P、Q 叠放在光滑的水平地面上，P、Q 接触面的倾角为θ。现在 Q 上加一水平推力 F，使 P、Q 保持相对静止一起向左做匀加速直线运动，下列说法正确的有( )
A．木块Q对地面的压力可能小于2mg
B．当F增大时，P、Q间的摩擦力一定增大
C．若加速度a＝g tan θ，则P受到摩擦力为零
D．若加速度aC [以木块P、Q整体为研究对象，在竖直方向上受力平衡，则有FN＝2mg，由牛顿第三定律可知，木块Q对地面的压力为2mg，A错误；P、Q保持相对静止一起向左做匀加速直线运动，若F较小时，P有向下滑动的趋势，摩擦力沿斜面向上；若F较大时，P有向上滑动的趋势，摩擦力沿斜面向下，因此在F增大的过程中，摩擦力可能增大，也可能减小，也可能先减小后反向增大，B错误；对P受力分析，假设P受Q的摩擦力沿斜面向上为f，Q对P的支持力为N，在水平方向由牛顿第二定律可得N sin θ－f cos θ＝ma，在竖直方向由平衡条件可得N cos θ＋f sin θ＝mg，联立解得a＝g tan θ－，若加速度a＝g tan θ，则有P受到摩擦力是零，C正确；由C选项分析计算可知，若加速度a2．如图所示，A、B两物体用轻质弹簧连接，用水平恒力F拉A，使A、B一起沿光滑水平面做匀加速直线运动，这时弹簧的长度为l1；若将A、B置于粗糙水平面上，用相同的水平恒力F拉A，使A、B一起做匀加速直线运动，此时弹簧的长度为l2。若A、B与粗糙水平面之间的动摩擦因数相同，则下列关系式正确的是( )
A．l2＝l1
B．l2C．l2>l1
D．由于A、B的质量关系未知，故无法确定l1、l2的大小关系
A [当水平面光滑时，根据牛顿第二定律，对整体有F＝(mA＋mB)a，对B有F1＝mBa＝；当水平面粗糙时，对整体有F－μ(mA＋mB)g＝(mA＋mB)a1，对B有F2－μmBg＝mBa1，解得F2＝，可知F1＝F2，故l1＝l2，故A正确。]
3．如图所示，车厢水平底板上放置质量为M的物块，物块上固定竖直轻杆。质量为m的球用细线系在杆上O点。当车厢在水平面上沿直线加速运动时，球和物块相对车厢静止，细线偏离竖直方向的角度为θ，此时车厢底板对物块的摩擦力为f、支持力为N，已知重力加速度为g，则( )
A．N＝Mg f＝Mg sin θ
B．f＝μ(M＋m)g
C．f＝Mg tan θ
D．f＝(M＋m)g tan θ
D [以m为研究对象，受力如图甲所示，由牛顿第二定律得mg tan θ＝ma，解得a＝g tan θ。
以m、M整体为研究对象，受力如图乙所示，
在水平方向上，由牛顿第二定律有f＝(m＋M)a，解得f＝(M＋m)g tan θ，故D正确，A、B、C错误。故选D。]
4．如图甲所示，在粗糙的水平面上，质量分别为mA和mB的物块A、B用轻弹簧相连，两物块与水平面间的动摩擦因数相同，它们的质量之比mA∶mB＝2∶1。当用水平力F作用于B上且两物块以相同的加速度向右加速运动时(如图甲所示)，弹簧的伸长量为xA；当用同样大小的力F竖直向上拉B且两物块以相同的加速度竖直向上运动时(如图乙所示)，弹簧的伸长量为xB，则xA∶xB等于( )
甲 乙
A．1∶1 B．1∶2
C．2∶1 D．3∶2
A [设mA＝2mB＝2m，对题图甲运用整体法，由牛顿第二定律得，整体的加速度a＝－μg，对A物体有F弹－2μmg＝2ma，可得F弹＝＝kx1，则有x1＝；对题图乙，整体的加速度a′＝－g，对A物体有F′弹－2mg＝2ma′，可得F′弹＝＝kx2，则有x2＝，即x1∶x2＝1∶1，A符合题意。]
5．(多选)趣味运动会上运动员手持网球拍托球沿水平面匀加速跑，设球拍和球质量分别为M、m，球拍平面和水平面之间夹角为θ，球拍与球保持相对静止，它们间摩擦力及空气阻力不计，则( )
A．运动员的加速度为g sin θ
B．球拍对球的作用力为
C．运动员对球拍的作用力为g
D．若加速度大于g tan θ，球沿球拍向上运动
BCD [对网球：受到重力mg和球拍的支持力N，作出受力图，如图甲所示
根据牛顿第二定律得N sin θ＝ma，N cos θ＝mg，解得a＝g tan θ，N＝，故A错误，B正确； 以球拍和球整体为研究对象，如图乙所示，根据牛顿第二定律得：运动员对球拍的作用力F＝，故C正确；当a>g tan θ时，网球竖直方向的分力大于其重力，球一定沿球拍向上运动，故D正确。故选BCD。]
6．如图所示，用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来。今对小球a持续施加一个向左偏下30°的恒力，并对小球b持续施加一个向右偏上30°的同样大小的恒力，最后达到平衡，表示平衡状态的图可能是( )
A B C D
A [表示平衡状态的图是哪一个，关键是要求出两条轻质细绳对小球a和小球b的拉力的方向，只要拉力方向找出后，图就确定了。
先以小球a、b及连线组成的整体为研究对象，系统共受五个力的作用，即两个重力(ma＋mb)g，作用在两个小球上的恒力Fa、Fb和上端细线对系统的拉力T1。因为系统处于平衡状态，所受合力必为零，由于Fa、Fb大小相等，方向相反，可以抵消，而(ma＋mb)g的方向竖直向下，所以悬线对系统的拉力T1的方向必然竖直向上.再以b球为研究对象，b球在重力mbg、恒力Fb和连线拉力T2′三个力的作用下处于平衡状态，已知恒力向右偏上30°，重力竖直向下，所以平衡时连线拉力T2′的方向必与恒力Fb和重力mbg的合力方向相反，如图所示，故应选A。]
7．(多选)如图所示，在光滑水平面上放着紧靠在一起的A、B两物体，B的质量是A的2倍，B受到向右的恒力FB＝2 N，A受到的水平力FA＝9－2t(N)(t的单位是s)。从t＝0时刻开始计时，则( )
A．A物体3 s末时的加速度大小是初始时的
B．4 s后，B物体做匀加速直线运动
C．4.5 s后，A物体的速度为零
D．4.5 s后，A、B的加速度方向相同
AB [对A、B整体，由牛顿第二运动定律有FA＋FB＝(mA＋mB)a，设A、B间的作用力为F，则对B根据牛顿第二运动定律可得F＋FB＝mBa，又mB＝2mA，联立解得F＝(N)，当t＝4 s时F＝0，A、B两物体分离，此后B做匀加速直线运动，故B正确；当t＝4.5 s时A物体的加速度为零而速度不为零，故C错误；t>4.5 s后，A、B所受的合外力反向，即A、B的加速度方向相反，故D错误；0～4 s内，A、B的加速度相等，a＝，当t＝0 s时a0＝ m/s2，当t＝3 s时a3＝ m/s2，可得，故A正确。]
8．质量为m的球置于斜面体上，被一个竖直挡板挡住。现用一个力F拉斜面体，使斜面体在水平面上向右做加速度为a的匀加速直线运动，忽略一切摩擦，以下说法正确的是( )
A．若加速度增大，竖直挡板对球的弹力不变
B．若加速度足够大，斜面体对球的弹力可能为零
C．斜面体和挡板对球的弹力等于ma
D．无论加速度大小如何，斜面体对球一定有弹力的作用，而且该弹力是一个定值
D [以小球为研究对象，分析受力情况，如图所示：
受重力mg、竖直挡板对球的弹力F2和斜面体的弹力F1。
设斜面体的加速度大小为a，根据牛顿第二运动定律得竖直方向：
F1cos θ＝mg ①
水平方向：F2－F1sin θ＝ma ②
由①看出，斜面体对小球的弹力F1的大小不变，与加速度无关，不可能为零。 由②看出，F2＝F1sin θ＋ma，若加速度增大时，F2增大，故A、B错误，D正确。根据牛顿第二运动定律知，球的重力、斜面体和挡板对球的弹力三个力的合力等于ma，故C错误。]
9．(多选)粗糙的水平地面上一物体在水平拉力作用下做直线运动，水平拉力F及物体的运动速度v随时间变化的图像如图甲和图乙所示。取重力加速度g＝10 m/s2。则( )
甲 乙
A．前2 s内物体运动的加速度大小为2 m/s2
B．前4 s内物体运动的位移的大小为8 m
C．物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.1
D．物体的质量m为2 kg
AC [由v-t图像可知，物体在前2 s内做匀加速直线运动，前2 s内物体运动的加速度大小a＝ m/s2＝2 m/s2，故A正确；前4 s 内物体运动的位移大小s＝×2×22 m＋4×2 m＝12 m，故B错误；物体受力如图所示，对于前2 s，由牛顿第二定律得F－f＝ma，f＝μmg，2 s后物体做匀速直线运动，由平衡条件得F′＝f，由F-t图像知F＝15 N，F′＝5 N，代入数据解得m＝5 kg，μ＝0.1，故C正确，D错误。
丙]
10．(多选)如图所示，水平向左加速运动的车厢内，一根长为l的轻质杆两端分别连接质量均为1 kg的小球a、b(可看成质点)，a球靠在车厢的光滑竖直侧壁上，距车厢底面的高度为0.8l，b球处在车厢水平底面上且与底面间的动摩擦因数为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s2，要使杆与车厢始终保持相对静止，关于车厢的加速度，下列说法正确的是( )
A．若μ＝0.5，则车厢的加速度大小可能为3 m/s2
B．若μ＝0.5，则车厢的加速度大小可能为2 m/s2
C．若μ＝0.8，则车厢的加速度大小可能为3 m/s2
D．若μ＝0.8，则车厢的加速度大小可能为7 m/s2
BCD [由题可知轻质杆与竖直方向的夹角cos θ＝＝0.8，解得θ＝37°。
对a球受力分析如图甲所示。在竖直方向上，根据平衡条件有N1cos θ＝mg，当a球与车厢左壁的弹力刚好为零时，根据牛顿第二定律有mg tan θ＝ma1，解得a1＝g tan θ＝7.5 m/s2；
当b球与车厢底面的静摩擦力刚好达到最大值时，对b受力分析如图乙所示。在竖直方向上，根据平衡条件有N2＝mg＋N1cos θ＝2mg，在水平方向上，根据牛顿第二定律有fm－N1sin θ＝ma2，其中fm＝μN2，联立解得a2＝(2μ－tan θ)g。若μ＝0.5，此时有a1>a2，则车厢的加速度最大值为a2＝2.5 m/s2，故A错误，B正确；根据上述，若μ＝0.8，此时有a1二、非选择题
11．如图所示，可视为质点的两物块A、B，质量分别为m、2m，A放在一倾角为30°固定于水平面上的光滑斜面上，一不可伸长的柔软轻绳跨过光滑轻质定滑轮，两端分别与A、B相连接。托住B使两物块处于静止状态，此时B距地面高度为h，A和滑轮间的轻绳与斜面平行。现将B从静止释放，斜面足够长。重力加速度为g。求：
(1)B落地前绳中张力的大小FT；
(2)整个过程中A沿斜面向上运动的最大距离L。
[解析] (1)分别对A、B两物块用隔离法进行受力分析，对A、B两物块应用牛顿第二定律，
对A有FT－mg sin 30°＝ma
对B有2mg－FT＝2ma
联立解得绳中张力大小FT＝mg，加速度a＝0.5g。
(2)设B物块落地时系统的速度大小为v，则B物块落地前有v2＝2ah，此过程A物块沿斜面向上运动的距离为L1＝h，B物块落地后，A物块沿斜面向上做匀减速直线运动，至最高点时其速度为零，这一过程中A物块的加速度a′＝－g sin 30°＝－0.5g，此过程A物块沿斜面向上运动的距离L2＝，可得L2＝h，故物块A沿斜面向上运动的最大距离L＝L1＋L2＝2h。
[答案] (1)mg (2)2h
12．如图所示，矩形拉杆箱上放着平底箱包，在与水平方向成α＝37°的拉力F作用下，一起沿水平面从静止开始加速运动。已知箱包的质量m＝1.0 kg，拉杆箱的质量M＝9.0 kg，箱底与水平面间的夹角θ＝37°，平底箱包与拉杆箱之间的动摩擦因数μ＝0.5，不计其他摩擦阻力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
(1)若F＝25 N，求拉杆箱的加速度大小a；
(2)在(1)的情况下，求拉杆箱运动x＝4.0 m时的速度大小v；
(3)要使箱包不从拉杆箱上滑出，求拉力的最大值Fm。
[解析] (1)若F＝25 N，以整体为研究对象，水平方向根据牛顿第二定律可得
F cos α＝(m＋M)a
解得a＝2 m/s2。
(2)根据速度位移关系可得
v2＝2ax
解得v＝4 m/s。
(3)箱包恰好不从拉杆箱上滑出时，箱包与拉杆之间的弹力刚好为零，以箱包为研究对象，受到重力、支持力和摩擦力的作用，此时箱包的加速度为a0，
根据牛顿第二定律可得
N sin θ＋f cos θ＝ma0
N cos θ＝mg＋f sin θ
f＝μN
解得a0＝20 m/s2
以整体为研究对象，水平方向根据牛顿第二定律可得
Fmcos α＝(m＋M)a0
解得拉力的最大值为Fm＝250 N。
[答案] (1)2 m/s2 (2)4 m/s (3)250 N
13．如图所示，质量为m0＝1 kg 的长木板静止在光滑水平面上，现有一质量m＝0.5 kg的小滑块(可视为质点)以v0＝3 m/s的初速度从左端沿木板上表面冲上木板，带动木板一起向前滑动。已知滑块与木板间的动摩擦因数μ＝0.1，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)滑块在木板上滑动过程中，长木板受到的摩擦力大小和方向；
(2)滑块在木板上滑动过程中，滑块相对于地面的加速度大小a；
(3)若长木板足够长，滑块与长木板达到的共同速度大小v。
[解析] (1)滑块所受摩擦力为滑动摩擦力如图所示
f＝μmg＝0.5 N，方向水平向左
根据牛顿第三定律，滑块对木板的摩擦力为f′＝0.5 N，方向水平向右。
(2)由牛顿第二定律得：μmg＝ma
得出a＝μg＝1 m/s2。
(3)对木板，由牛顿第二定律μmg＝m0a′
可得a′＝0.5 m/s2
设经过时间t，滑块和长木板达到共同速度v，则满足：
对滑块：v＝v0－at；
对长木板：v＝a′t
由以上两式得：滑块和长木板达到的共同速度v＝1 m/s。
[答案] (1)0.5 N 方向水平向右 (2)1 m/s2 (3)1 m/s
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素养培优课(三) 动力学中的三类常见题型
第5章 牛顿运动定律
1．知道几种常见的动力学图像并能分析解决这些图像问题。
2．会分析解决动力学中的临界问题。
3．知道什么是连接体问题，并能解决动力学中的连接体问题。
培优目标
考点1 瞬时加速度的计算
1．问题特点
根据牛顿第二定律可知，加速度与合力存在瞬时对应关系。分析物体的瞬时问题，关键是分析该时刻前后的受力情况和运动状态，再由牛顿第二定律求出瞬时加速度，此类问题应注意两类基本模型的建立。
2．两类基本模型
两类模型 刚性绳 弹性绳
模型代表 轻绳、线、接触面 弹簧、橡皮筋
相同点 质量和重力均可忽略，同一根绳、线、弹簧或橡皮筋两端及中间各点的弹力大小相等
不同点 形变不明显，剪断之后，形变恢复几乎不需要时间，弹力立刻消失或改变 形变量大，恢复形变需要较长时间。在瞬时问题中，弹力视为不变
√
√
√
考点2 动力学中的图像问题
1．常见的几种图像：v-t图像、a-t图像、F-t图像、a-F图像等。
2．两类问题
(1)已知物体的运动图像或受力图像，分析有关受力或运动问题。
(2)已知物体的受力或运动情况，判断选择有关的图像。
3．图像问题的分析思路
(1)分析图像问题时，首先明确图像的种类及其意义，再明确图线的点、线段、斜率、截距、交点、拐点、面积等方面的物理意义。
(2)根据牛顿运动定律及运动学公式建立相关方程解题。
【典例2】 一质量m＝2.0 kg的小物块以一定的初速度冲上一倾角为37°的足够长的斜面，某同学利用传感器测出了小物块冲上斜面过程中多个时刻的瞬时速度，并用计算机作出了小物块上滑过程的v-t
(1)小物块冲上斜面过程中加速度的大小；
(2)小物块与斜面间的动摩擦因数。
[答案] (1)8 m/s2 (2)0.25
规律方法 (1)分清图像的类别：分清横、纵坐标所代表的物理量，明确其物理意义，掌握图像所反映的物理过程，会分析临界点。
(2)注意图线中的一些特殊点所表示的物理意义，比如，要注意图线与横、纵轴的交点，图线的拐点，两图线的交点等。
(3)把图像与具体的题意、情境结合起来，应用物理规律列出与图像对应的函数关系式，进而明确“图像与公式”“图像与物体”间的关系，以便对有关物理问题做出准确判断。
[跟进训练]
2．(多选)如图甲所示，一物块在t＝0时刻滑上一固定斜面，其运动的v-t图像如图乙所示。若重力加速度及图中的v0、v1、t1均为已知量，则可求出( )
A．斜面的倾角
B．物块的质量
C．物块与斜面间的动摩擦因数
D．物块沿斜面向上滑行的最大高度
甲 乙
√
√
√
考点3 动力学中的临界极值问题
1．题型特点
在动力学问题中出现某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态即临界问题。问题中出现“最大”“最小”“刚好”“恰能”等关键词语，一般都会涉及临界问题，隐含相应的临界条件。
2．临界问题的常见类型及临界条件
(1)接触与分离的临界条件：两物体相接触(或分离)的临界条件是弹力为零且分离瞬间的加速度、速度分别相等。
(2)相对静止或相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大静摩擦力。
(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子断与不断的临界条件是实际张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的临界条件是绳上的张力恰好为零。
(4)出现加速度最值与速度最值的临界条件：当物体在变化的外力作用下运动时，其加速度和速度都会不断变化，当所受合力最大时，具有最大加速度；当所受合力最小时，具有最小加速度。当出现加速度为零时，物体处于临界状态，对应的速度达到最大值或最小值。
3．解题关键
正确分析物体的受力情况及运动情况，对临界状态进行判断与分析，挖掘出隐含的临界条件。
规律方法 求解临界极值问题的三种常用方法
极限法 把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界观象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的
假设法 临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题
数学方法 将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式解出临界条件
[跟进训练]
3．如图所示，在倾角为30°的光滑斜面上端固定一劲度系数为
20 N/m 的轻质弹簧，弹簧下端连一个质量为2 kg的小球，球被一垂直于斜面的挡板A挡住，此时弹簧没有形变。若挡板A以4 m/s2的加速度沿斜面向下匀加速运动，g取10 m/s2，则( )
A．小球向下运动0.4 m时速度最大
B．小球向下运动0.1 m时与挡板分离
C．小球速度最大时与挡板分离
D．小球从一开始就与挡板分离
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考点4 动力学中的连接体问题
1．连接体
多个相互关联的物体连接(叠放、并排或由绳子、细杆、弹簧等连接)在一起构成的物体系统称为连接体。
2．连接体问题的分类
(1)加速度相同的连接体。
(2)加速度不同的连接体。
3．解决连接体问题的两种方法
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√
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规律方法 整体法、隔离法的选取原则
(1)对于加速度相同的连接体，如果要求物体之间的作用力时，可以先用整体法求出加速度，然后再用隔离法选取合适的研究对象，应用牛顿第二运动定律求作用力，即“先整体求加速度，后隔离求内力”。
(2)对于加速度不同的连接体问题一般选择隔离法。
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