第一章 空间向量与立体几何 单元检测卷（A卷）（含解析）高二数学人教A版（2019）选择性必修一

（1）空间向量与立体几何—高二数学人教A版（2019）选择性必修一、二册单元检测卷（A卷）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设是正三棱锥，是的重心，G是上的一点，且，若，则( )
A. B. C. D.1
2.如图，在一个60°的二面角的棱上，有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且，，，则CD的长为( )cm.
A. B. C.5 D.
3.在平行四边形ABCD中，，，，则点D的坐标为( )
A. B. C. D.
4.在空间四边形ABCD中，，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.已知，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.如图，是棱长为6的正方体，若，则点P到直线的距离为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
7.已知平面的一个法向量，点在平面内，若点到的距离为，则( )
A.16 B.-4 C.4或-16 D.-4或16
8.在长方体中，，，O是的中点，点P在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在直三棱柱中，已知，，下列说法正确的是( )
A.平面平面
B.若，则与平面所成角的余弦值为
C.若，设K为的中点，则平面平面
D.无论取任何值，不会垂直于AC
10.已知空间中三点，，，则下列说法正确的是( )
A. B.与是共线向量
C.和夹角的余弦值是1 D.与同向的单位向量是
11.已知向量，，，若，，三个向量共面，则实数，的取值可能分别为( )
A.，2 B.2，2 C.，1 D.1，5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知向量，，且，则______.
13.在空间直角坐标系中，已知平面过点和及z轴上一点，如果平面与平面Oxy的夹角为，则_________.
14.已知，，三点，则A到直线BC的距离为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.
15.（13分）如图，在四棱锥中，平面，，，且，.
（1）求证：平面平面.
（2）若E为的中点，点M在上，且，求点M到平面的距离.
16.（15分）如图，在四棱锥中，底面ABCD，，E为棱PD的中点，F是线段PC上一动点.
（1）求证：平面平面PAB；
（2）若直线BF与平面ABCD所成角的正弦值为时，求点C到平面AEF的距离.
17.（15分）如图，在直三棱柱中，，，，，点M在线段上，且.
（1）求CM的长；
（2）求二面角的大小.
18.（17分）已知空间三点，，，设，.
(1)求；
(2)与互相垂直，求实数k的值.
19.（17分）如图，在四棱柱中，侧棱平面ABCD，，，，，E为棱的中点，M为棱CE的中点.
(1)证明：；
(2)求异面直线BM与AD所成角的余弦值；
(3)求点到平面的距离.
答案以及解析
1.答案：C
解析：如下图所示，连接并延长交于点D，则点D为的中点，
为的重心，可得，而，
，
所以，，
所以，，因此，.故选：C.
2.答案：D
解析：
的长为，故选：D.
3.答案：D
解析：设，因为，，，所以，，又ABCD是平行四边形，所以，即，解得，
所以.故选：D
4.答案：B
解析：在四面体中，因为，，设，，且，，则，
在上的投影向量为.故选：B
5.答案：C
解析：，.故当时，有最小值等于，故选C.
6.答案：A
解析：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则根据题意可得，，，，，，
又，
，，
在上的投影向量的长度为，
P到直线的距离为.故选：A.
7.答案：C
解析：由点在平面内，点，可得.因为平面的一个法向量，且点到的距离为，所以，即，解得或.故选C.
8.答案：С
解析：以D为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，设，则，，，
设平面的法向量为
则，令，得
所以，
由于，，，
，，，
由于，所以
9.答案：ACD
解析：直三棱柱中面ABC，故正确；
当时，过作，垂足为H，则，，故B错误；
当时，，，，平面，因为平面，故平面平面，故C正确；
若，则，与矛盾.故D正确.故选.
10.答案：AD
解析：对于A，，，A正确；
对于B，，，，所以不共线，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，所以其同向的单位向量为，D正确.故选：AD.
11.答案：AD
解析：因为，，三向量共面，所以存在实数x，y，使得，所以，解得，故当，或，时满足条件.故选：AD.
12.答案：
解析：因为向量，，且，所以，解得，，所以.故答案为：-24.
13.答案：
解析：易知平面xOy的一个法向量为.设平面的法向量为，则即，取，可得平面的一个法向量，.又，.
14.答案：/
解析：因为，，所以，
得到，所以A到直线BC的距离为，故答案为：.
15.答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）作，垂足为F，由题意可知：，，且，则四边形为正方形，
所以，，
又因为，可知，即，
因为平面，平面，所以.
且，平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）以点A为坐标原点，以，，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，.
，则，，.
设平面的法向量为，则，
令，则，，可得平面的一个法向量为，
设点M到平面的距离为d，则
所以点M到平面的距离为.
16.答案：（1）证明过程见解析；
（2）.
解析：（1）证明：因为，，则，
平面ABCD，平面ABCD，，
，、平面PAB，平面PAB，
平面PBC，因此，平面平面PAB.
（2）因为底面ABCD，，
以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，
设，，其中，
易知平面ABCD的一个法向量为，
由已知可得，解得，
所以，F为PC的中点，即，
设平面AEF的法向量为，，，
则，取，可得，
，因为，
所以点C到平面AEF的距离为：.
17.答案：（1）；
（2）
解析：（1）以点C为坐标原点，CB，CA，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，，，，
所以，.
因为，所以，所以，解得.
所以CM的长为.
（2）因为是直三棱柱，所以.
又，所以.
因为，即，
又，.
所以，即.
所以是平面AMC的一个法向量，.
设是平面BAM的一个法向量，，.
由得
令，得，，所以.
因为，，所以.
据题意可知，二面角为锐角，
所以二面角的大小为.
18.答案：(1)；
(2)或.
解析：（1）由题设，，
所以.
（2）由，，而，
所以，
可得或.
19.答案：(1)证明见解析；
(2)；
(3).
解析：(1)由底面，，平面，得，，
而，即直线，，两两垂直，
以点A为坐标原点，直线，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图，则，，，，，，，，，，
显然，即，所以.
(2)，，，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
(3)，，，
设平面的法向量，则，
令，得，
所以点到平面的距离.