第一章 空间向量与立体几何 单元检测卷（B卷）（含解析）高二数学人教A版（2019）选择性必修一
文档属性
| 名称 | 第一章 空间向量与立体几何 单元检测卷（B卷）（含解析）高二数学人教A版（2019）选择性必修一 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-17 14:19:06 | ||
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文档简介
（2）空间向量与立体几何—高二数学人教A版（2019）选择性必修一、二单元检测卷（B卷）
【满分：150分】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，，，若平面的一个法向量为，则( )
A. B. C. D.
2.如图，在正方体中，M，N，P分别为棱，，的中点，则与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
3.已知正方体的棱长为2，E、F分别为上底面和侧面的中心，则点D到平面的距离为( )
A. B. C. D.
4.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点，，，则点O到平面ABC的距离是( )
A. B. C. D.
5.已知在一个二面角的棱上有两个点A、B，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，，，，则这个二面角的度数为( )
A. B. C. D.
6.设x，，向量，，且，，则( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.，，若，则( )
A.6 B.7 C.8 D.9
8.在四棱锥中，底面ABCD为菱形，底面ABCD，，，E为棱PB的中点，F为线段CE的中点，则点F到平面PAD的距离为( )
A. B. C.2 D.
二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知向量，，则下列结论中正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.不存在实数，使得 D.若，则
10.空间中三点，，，O是坐标原点，则( )
A. B.
C.点C关于平面对称的点为 D.与夹角的余弦值是
11.在长方体中，，，则( )
A.直线AB与平面所成角的余弦值为
B.直线AD与平面所成角的正弦值为
C.点到平面的距离为
D.点到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知平面的法向量为，点为平面内一点，点为平面外一点，则点P到平面的距离为_____________.
13.在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与所成角的余弦值为______.
14.如图所示，在四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形是菱形，且，，若异面直线和所成的角的大小是，则的长度是_______________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.
15.（13分）如图所示，在直三棱柱中，，，，.
(1)求证：；
(2)在上是否存在点D，使得平面，若存在，确定D点位置并说明理由，若不存在，说明理由.
16.（15分）如图，已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，，
(1)求；
(2)求.
17.（15分）如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，过棱的中点E作于点F，连接.
（1）证明：；
（2）若，求平面与平面所成角的正弦值.
18.（17分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的菱形，，AC与BD交于点O，平面平面ABCD，，，.
（1）求证：平面ABCD；
（2）若，点Q为AE的中点，求二面角的余弦值.
19.（17分）如图，已知菱形和矩形所在的平面互相垂直，，.
（1）求直线BF与平面的夹角；
（2）求点A到平面的距离.
答案以及解析
1.答案：C
解析：，，所以，，即，，解得，，所以，故选C.
2.答案：C
解析：如图以A为原点，分别以，，所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则，，，，所以，，设与所成的角为，所以，与所成角的余弦值为故选C
3.答案：A
解析：建立如图所示的空间直角坐标系
，，，，，，
设平面的法向量为，，令，得
则点D到平面的距离为.故选：A.
4.答案：B
解析：依题意可得，，，设平面ABC的法向量为，则令，则可得，，即，所以点O到平面ABC的距离.故选B.
5.答案：C
解析：设这个二面角的度数为，
由题意得，，解得，这个二面角的度数为.
故选：C.
6.答案：A
解析：，，.
故选：A.
7.答案：C
解析：因为，，，则存在，使得，即，于是，解得，，，
所以.故选：C
8.答案：C
解析：设AC与BD交于点O，连接DF.以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，.设平面PAD的法向量为，则令，得.因为点F的坐标为，所以，故点F到平面PAD的距离为.
9.答案：ACD
解析：向量，，因为，则，解得，故选项A正确；因为，则，解得，故选项B错误；
方程组无解，故不存在实数，使得，故选项C正确；因为，则，解得，所以，故选项D正确.故选：ACD.
10.答案：AB
解析：由题意可得：，，，所以，故A正确；，即，故B正确；
点C关于平面对称的点为，故C错误；，故D错误.故选：AB.
11.答案：BCD
解析：在长方体中，，，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，取，得，对于A，设直线AB与平面所成角为，
直线AB与平面所成角的正弦值为：；
直线AB与平面所成角的余弦值为，故A错误；
对于B，，设直线AD与平面所成角为，则，直线AD与平面所成角的正弦值为，故B正确；
对于，点到平面的距离为，故C正确；
对于，点到平面的距离为，故D正确.故选：BCD.
12.答案：1
解析：由题意得，故点P到平面的距离，故答案为：1
13.答案：
解析：因为，，所以，所以直线与所成角的余弦值为.
14.答案：
解析：由题意可知，，，且，
，，
，
由题意可知，，所以，所以.故答案为：.
15.答案：(1)证明见解析；
(2)在上存在点D使得平面，且D为的中点.
解析：(1)因为，，，所以，
如图所示，在直三棱柱中，以C为坐标原点，直线、、分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
因为，，
所以，，即.
(2)若存在点使平面，则，，
，，，，
因为平面，所以存在实数m、n，使成立，
则，解得，
故在上存在点D使平面，此时点D为中点.
16.答案：(1)
(2)0
解析：(1)记，
则：，
，，
，
，即有；
(2).
17.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）四边形为矩形，，
平面，平面，，
又，，平面，平面，
又平面， .
，点E是的中点，.
又，，平面，平面.
平面，.
又，，，平面，平面，
平面，.
（2）如图，因，，两两垂直，
故可以A为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，.
由（1）可知，可看成平面的一个法向量，
可看成平面的一个法向量.
设平面与平面的所成角为，
，，
平面与平面所成角的正弦值为.
18.答案：（1）证明见解析
（2）.
解析：（1）证明：如图，取BC中点G，连接FG，OG，
因为，所以，
又因为平面平面ABCD，平面平面，
平面，
所以平面ABCD，O，G分别为AC，BC中点，
所以，.
因为，，
，，
所以四边形EFGO为平行四边形，所以，所以平面ABCD.
（2）如图，以AC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴，OE所在直线为z轴建立空间坐标系，设，
，，，，
，，，，，
设平面QBC的法向量，，，
则即，则.
设平面ABC的法向量，设二面角的平面角为，为锐角，所以.
二面角的余弦值.
19.答案：（1）；
（2）
解析：（1）设，因为菱形和矩形所在的平面互相垂直，所以易得平面，以O点为坐标原点，以OD所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，过O点且平行于AF的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系.
由已知得，，
因为z轴垂直于平面，因此可令平面的一个法向量为，
又，设直线BF与平面的夹角为，
则有，即，
所以直线BF与平面的夹角为.
（2）由（1）空间直角坐标系，得，，所以，，
可设平面FBD的法向量为，则，得，
令，得，，即，
又因为，所以点A到平面FBD的距离为.
【满分：150分】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，，，若平面的一个法向量为，则( )
A. B. C. D.
2.如图，在正方体中，M，N，P分别为棱，，的中点，则与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
3.已知正方体的棱长为2，E、F分别为上底面和侧面的中心，则点D到平面的距离为( )
A. B. C. D.
4.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点，，，则点O到平面ABC的距离是( )
A. B. C. D.
5.已知在一个二面角的棱上有两个点A、B，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，，，，则这个二面角的度数为( )
A. B. C. D.
6.设x，，向量，，且，，则( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.，，若，则( )
A.6 B.7 C.8 D.9
8.在四棱锥中，底面ABCD为菱形，底面ABCD，，，E为棱PB的中点，F为线段CE的中点，则点F到平面PAD的距离为( )
A. B. C.2 D.
二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知向量，，则下列结论中正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.不存在实数，使得 D.若，则
10.空间中三点，，，O是坐标原点，则( )
A. B.
C.点C关于平面对称的点为 D.与夹角的余弦值是
11.在长方体中，，，则( )
A.直线AB与平面所成角的余弦值为
B.直线AD与平面所成角的正弦值为
C.点到平面的距离为
D.点到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知平面的法向量为，点为平面内一点，点为平面外一点，则点P到平面的距离为_____________.
13.在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与所成角的余弦值为______.
14.如图所示，在四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形是菱形，且，，若异面直线和所成的角的大小是，则的长度是_______________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.
15.（13分）如图所示，在直三棱柱中，，，，.
(1)求证：；
(2)在上是否存在点D，使得平面，若存在，确定D点位置并说明理由，若不存在，说明理由.
16.（15分）如图，已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，，
(1)求；
(2)求.
17.（15分）如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，过棱的中点E作于点F，连接.
（1）证明：；
（2）若，求平面与平面所成角的正弦值.
18.（17分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的菱形，，AC与BD交于点O，平面平面ABCD，，，.
（1）求证：平面ABCD；
（2）若，点Q为AE的中点，求二面角的余弦值.
19.（17分）如图，已知菱形和矩形所在的平面互相垂直，，.
（1）求直线BF与平面的夹角；
（2）求点A到平面的距离.
答案以及解析
1.答案：C
解析：，，所以，，即，，解得，，所以，故选C.
2.答案：C
解析：如图以A为原点，分别以，，所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则，，，，所以，，设与所成的角为，所以，与所成角的余弦值为故选C
3.答案：A
解析：建立如图所示的空间直角坐标系
，，，，，，
设平面的法向量为，，令，得
则点D到平面的距离为.故选：A.
4.答案：B
解析：依题意可得，，，设平面ABC的法向量为，则令，则可得，，即，所以点O到平面ABC的距离.故选B.
5.答案：C
解析：设这个二面角的度数为，
由题意得，，解得，这个二面角的度数为.
故选：C.
6.答案：A
解析：，，.
故选：A.
7.答案：C
解析：因为，，，则存在，使得，即，于是，解得，，，
所以.故选：C
8.答案：C
解析：设AC与BD交于点O，连接DF.以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，.设平面PAD的法向量为，则令，得.因为点F的坐标为，所以，故点F到平面PAD的距离为.
9.答案：ACD
解析：向量，，因为，则，解得，故选项A正确；因为，则，解得，故选项B错误；
方程组无解，故不存在实数，使得，故选项C正确；因为，则，解得，所以，故选项D正确.故选：ACD.
10.答案：AB
解析：由题意可得：，，，所以，故A正确；，即，故B正确；
点C关于平面对称的点为，故C错误；，故D错误.故选：AB.
11.答案：BCD
解析：在长方体中，，，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，取，得，对于A，设直线AB与平面所成角为，
直线AB与平面所成角的正弦值为：；
直线AB与平面所成角的余弦值为，故A错误；
对于B，，设直线AD与平面所成角为，则，直线AD与平面所成角的正弦值为，故B正确；
对于，点到平面的距离为，故C正确；
对于，点到平面的距离为，故D正确.故选：BCD.
12.答案：1
解析：由题意得，故点P到平面的距离，故答案为：1
13.答案：
解析：因为，，所以，所以直线与所成角的余弦值为.
14.答案：
解析：由题意可知，，，且，
，，
，
由题意可知，，所以，所以.故答案为：.
15.答案：(1)证明见解析；
(2)在上存在点D使得平面，且D为的中点.
解析：(1)因为，，，所以，
如图所示，在直三棱柱中，以C为坐标原点，直线、、分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
因为，，
所以，，即.
(2)若存在点使平面，则，，
，，，，
因为平面，所以存在实数m、n，使成立，
则，解得，
故在上存在点D使平面，此时点D为中点.
16.答案：(1)
(2)0
解析：(1)记，
则：，
，，
，
，即有；
(2).
17.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）四边形为矩形，，
平面，平面，，
又，，平面，平面，
又平面， .
，点E是的中点，.
又，，平面，平面.
平面，.
又，，，平面，平面，
平面，.
（2）如图，因，，两两垂直，
故可以A为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，.
由（1）可知，可看成平面的一个法向量，
可看成平面的一个法向量.
设平面与平面的所成角为，
，，
平面与平面所成角的正弦值为.
18.答案：（1）证明见解析
（2）.
解析：（1）证明：如图，取BC中点G，连接FG，OG，
因为，所以，
又因为平面平面ABCD，平面平面，
平面，
所以平面ABCD，O，G分别为AC，BC中点，
所以，.
因为，，
，，
所以四边形EFGO为平行四边形，所以，所以平面ABCD.
（2）如图，以AC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴，OE所在直线为z轴建立空间坐标系，设，
，，，，
，，，，，
设平面QBC的法向量，，，
则即，则.
设平面ABC的法向量，设二面角的平面角为，为锐角，所以.
二面角的余弦值.
19.答案：（1）；
（2）
解析：（1）设，因为菱形和矩形所在的平面互相垂直，所以易得平面，以O点为坐标原点，以OD所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，过O点且平行于AF的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系.
由已知得，，
因为z轴垂直于平面，因此可令平面的一个法向量为，
又，设直线BF与平面的夹角为，
则有，即，
所以直线BF与平面的夹角为.
（2）由（1）空间直角坐标系，得，，所以，，
可设平面FBD的法向量为，则，得，
令，得，，即，
又因为，所以点A到平面FBD的距离为.