第二章一元二次函数、方程和不等式 单元检测卷（A卷）（含解析）高一数学人教A版（2019）必修第一册

（3）一元二次函数、方程和不等式—高一数学人教A版（2019）必修第一册单元检测卷（A卷）
【满分：150分】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知实数x，，且满足，若的最小值为p，则( )
A.10 B.13 C.16 D.19
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.设，则下列不等式中恒成立的是( )
A. B. C. D.
4.若，则的最小值是( )
A. B. C. D.
5.命题“，”是假命题，则实数a取值范围是( )
A. B. C. D.
6.设，，则( )
A. B. C. D.
7.已知a，b为正实数，且满足，则的最小值为( )
A. B. C.8 D.6
8.设a，b，c为实数，且，则下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
10.已知关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数m的值可以是( ).
A.3 B.4 C.5 D.6
11.已知实数x，y满足，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若正数x，y满足，则xy的取值范围是_____________
13.已知集合，，则使成立的实数m的取值范围为_________.
14.已知，，则的取值范围为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.
15.（13分）（1）比较与的大小，并证明；
（2）比较与的大小，并证明.
16.（15分）设集合，.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
17.（15分）已知，，且.
（1）求ab的最小值；
（2）求的最小值.
18.（17分）设函数
(1)若不等式的解集为，试求a，b的值；
(2)若，求不等式的解集.
19.（17分）某饼庄推出两款新品月饼，分别为流心月饼和冰淇淋月饼，已知流心月饼的单价为x元，冰淇淋月饼的单价为y元，且.现有两种购买方案：
方案一，流心月饼的购买数量为a个，冰淇淋月饼的购买数量为b个；
方案二，流心月饼的购买数量为b个，冰淇淋月饼的购买数量为a个.
（1）试问采用哪种购买方案花费更少？请说明理由.
（2）若a，b，x，y满足，，求这两种方案花费的差值S的最小值（注：差值较大值-较小值）.
答案以及解析
1.答案：C
解析：因为x，，，所以，
当且仅当即时，等号成立，所以.故选：C.
2.答案：D
解析：由题意可得，，则.
3.答案：A
解析：对于A选项：由，则有，即，A选项正确；对于B选项：由，则，，，所以，则有，B选项不正确；
对于C选项：由，则，所以，即，C选项不正确；
对于D选项：因为，所以，即，D选项不正确.故选：A
4.答案：B
解析：由，可得，
，
当且仅当，即 时取等号，所以的最小值为.
故选：B.
5.答案：C
解析：因为“，”是假命题，所以“，”是真命题，则，解得，故选：C.
6.答案：B
解析：因为，，所以，则，则A错误.因为，所以.因为0，所以，即，所以，即，则B正确.当，时，，则C错误.因为，所以，则D错误.
7.答案：C
解析：根据题意，
当且仅当，即时，等号成立.故选：C
8.答案：D
解析：对于A，令，，，，此时，故A错误；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，令，，，，此时，故C错误；
对于D，，且，即，故D正确
9.答案：AC
解析：对于A：当时，，A成立；
对于B：当时，，B不成立；
对于C：当时，，即，C成立；
对于D：，，，
，即，D不成立.故选：AC.
10.答案：BC
解析：画出函数的图象，关于x的一元二次不等式的解集为函数图象在x轴下方的部分对应的点的横坐标x的集合，由函数的图象的对称轴为，所以为使得不等式的解集中有且仅有2个整数，必须且只需使得，解得，故选：BC.
11.答案：ACD
解析：由，得.因为，
所以，解得，则.
当且仅当时，；当且仅当时，.
由，得，解得.
当且仅当或时，；当且仅当或时，.
12.答案：
解析：因为，，由均值不等式得：，
即，解得，.故答案为：.
13.答案：或
解析：由已知，因为，则分为或两种情况，当时，，解得；当，则或，经计算m无解或，则m的取值范围为或或.
14.答案：
解析：因为，所以，又，所以，故答案为：
15.答案：（1），证明见解析；
（2），证明见解析.
解析：（1）证明：因为，所以.
（2）证明：因为，所以.
16.答案：（1）
（2）
解析：（1）当时，，，
所以；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集，
所以，且等号不同时成立，解得，
所以实数m的取值范围为.
17.答案：（1）4
（2）
解析：（1）因为，所以，所以，
所以，所以，当且仅当即时等号成立，即ab的最小值为；
（2），
当且仅当即即，时，等号成立，
所以的最小值为.
18.答案：(1)，
(2)答案见解析
解析：(1)由题意知1和3是方程的两个根，且，
即有，
解得，.
(2)，则不等式，即
即，
因为，方程 的两根为和 2 ，
所以：
①当，即时，不等式的解集为；
②当，即时，不等式的解集为；
③当且，即时， 不等式的解集为.
19.答案：（1）采用方案二花费更少，理由见解析；
（2）32
解析：（1）方案一的总费用为（元），方案二的总费用为（元），则，
因为，，所以，即，
所以采用方案二花费更少.
（2）由（1）可知，
令，，，
因为，所，
所以差值S的最小值为，当且仅当，，，，即，时，等号成立.
故两种方案花费的差值S的最小值为32元.