第二章 轴对称 3 简单的轴对称图形 第1课时 线段的垂直平分线
文档属性
| 名称 | 第二章 轴对称 3 简单的轴对称图形 第1课时 线段的垂直平分线 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 6.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-17 15:32:17 | ||
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文档简介
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第二章 轴对称
3 简单的轴对称图形
第1课时 线段的垂直平分线
列清单·划重点
知识点① 线段的垂直平分线
线段是___________图形，它的一条对称轴___________这条线段并且________它，这样的直线叫做这条线段的垂直平分线.
注意
线段的垂直平分线必须满足两个条件：(1)经过线段的中点；(2)垂直于这条线段.
知识点② 线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点到这条线段两个__________的距离相等.
拓展
三角形三边的垂直平分线交于一点，且该点到三角形三个顶点的距离相等.
知识点③ 线段垂直平分线的尺规作图
利用尺规，作线段 AB的垂直平分线.
已知：线段 AB，如图所示.
求作：线段 AB的垂直平分线.
作法：(1)分别以点 A 和点 B 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 C 和点 D;
(2)作直线 CD.直线 CD 就是线段AB的垂直平分线(如图所示).
明考点·识方法
考点① 线段垂直平分线性质的应用
典例1 如图所示,AB=AC=8,AB的垂直平分线MN 交 AC 于点 D,若 的周长为18,则 DC 的长为____________.
思路导析 由MN是线段AB 的垂直平分线，得DA=DB,再由△ABD 的周长为 18,AB=8,得AD+BD=10,即AD=5,所以DC=8-5=3.
变式 如图，已知在△ABC 中, DE是AC的垂直平分线,△ABC的周长为19 cm, AE=3 cm,则△ABD的周长为 ( )
A.19 cm B.16 cm C.13 cm D.11 cm
考点② 线段垂直平分线的作图
典例2 如图所示，A，B，C表示三个工厂，现要修建一个供水站，使它到三个工厂的距离相等.求供水站的位置 P.
思路导析 这个问题的解决可分为两步：其一，运用到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，得点 P一定在AB 的垂直平分线上；其二，到B,C(或 A,C)两点等距离的点应在 BC(或AC)的垂直平分线上.故作 AB和BC(或 AC)的垂直平分线，两线交点即为所求位置 P.
变式 如图所示，小河边有两个村庄 A，B，要在河边建一自来水厂向 A 村与 B 村供水.若要使自来水厂到A，B两村的距离相等，则应选择在哪建厂
考点③ “将军饮马”问题
典例3 在旷野上，一位将军骑着马想从A地到B 地，由于路途遥远，他必须先骑马从A 地到河边l 饮马一次，饮马后再从河边去B 地.如图所示，他应该怎样选择饮水点 P，才能使马所走的路程最短(即 的和最小)呢 (假定河岸是一条直线)
思路导析 本题是利用轴对称作图来解决“将军饮马”问题的一个典例.以直线l为对称轴取点A的对称点A'，连接A'B与l 相交于 P点，则 为上异于P 点的任意点)，所以此时 AP+PB 为最短.
规律总结
路线和最短问题的原理是两点之间，线段最短，解决方法：(1)两点位于直线异侧，连接两点，与直线交点即为所求；(2)两点位于直线的同侧，作其中一点关于直线的对称点，连接对称点和另一点，与直线交点即为所求.
变式 牧羊人在某天发现了一个有水有草的神秘三角地带(如图)，便想在公路边 AB上找一点，安营扎寨，进行牧羊.使每天牧羊时到草地AC边上吃草，然后到小河边 BC处喝水，再跑回出发地休息.为使所跑路程最短，请你为牧羊人在公路上找一个合适的位置，并画出线路图.
当堂测·夯基础
1.如图,在 中,DE 垂直平分 BC,若 13.则 的周长等于 ( )
A.21 B.23 C.24 D.26
2.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=40°,AC 的垂直平分线MN 与AB 交于点 D，则∠BCD 的度数是 ( )
A.10° B.15° C.20° D.25°
第2题图 第3题图
3.如图,已知点 O是 的两边AB 和AC 的垂直平分线 OD,OE 的交点,且 则的度数为 ( )
B.110°
4.如图,C,E 是直线两侧的点，以点 C 为圆心，CE 的长为半径画弧交直线于A，B两点，再分别以点 A，B为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 D，连接CA，CB，CD，则下列结论不一定正确的是( )
A.CA=CB B. CD⊥直线
C.点C,D 关于直线对称 D.点 A,B 关于直线CD 对称
第4题图 第5题图
5.如图所示，直线a，b，c表示三条相互交叉的公路，交点为三个小区，现拟建一个超市，要求它到三个小区的距离都相等，则可供选择的地址有 ( )
A.一处 B.两处 C.三处 D.四处
6.如图,在 中，AC 的垂直平分线PD 与 BC 的垂直平分线 PE 交于点 P,垂足分别为 D,E,连接 PA,PB,PC,若 则
参考答案
【列清单·划重点】
知识点1 轴对称 垂直于 平分
知识点2 端点
【明考点·识方法】
典例1 3
变式 C
典例2 解：如图所示：
(1)连接AB,作 AB 的垂直平分线
(2)连接 BC,作 BC的垂直平分线 与 的交点 P 即为供水站的位置.
变式 解：如图所示，作线段 AB 的垂直平分线交EF 于点 P,则点 P 到A,B 的距离相等.
典例3 解：如图：
(1)作点 A 关于的对称点
(2)连接 交于点 P;
那么，在点 P 处饮马，才能使所走的路程最短.
变式 解：如图，P点为安营扎寨处.
路线图为 P→E→D→P.
【当堂测·夯基础】
1. B 2. A
3. A 解析:连接OA,如图所示:
由题意，得所以 ，
因为 所以
因为
又因为
所 以
4. C 5. A
6. 45
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第二章 轴对称
3 简单的轴对称图形
第1课时 线段的垂直平分线
列清单·划重点
知识点① 线段的垂直平分线
线段是___________图形，它的一条对称轴___________这条线段并且________它，这样的直线叫做这条线段的垂直平分线.
注意
线段的垂直平分线必须满足两个条件：(1)经过线段的中点；(2)垂直于这条线段.
知识点② 线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点到这条线段两个__________的距离相等.
拓展
三角形三边的垂直平分线交于一点，且该点到三角形三个顶点的距离相等.
知识点③ 线段垂直平分线的尺规作图
利用尺规，作线段 AB的垂直平分线.
已知：线段 AB，如图所示.
求作：线段 AB的垂直平分线.
作法：(1)分别以点 A 和点 B 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 C 和点 D;
(2)作直线 CD.直线 CD 就是线段AB的垂直平分线(如图所示).
明考点·识方法
考点① 线段垂直平分线性质的应用
典例1 如图所示,AB=AC=8,AB的垂直平分线MN 交 AC 于点 D,若 的周长为18,则 DC 的长为____________.
思路导析 由MN是线段AB 的垂直平分线，得DA=DB,再由△ABD 的周长为 18,AB=8,得AD+BD=10,即AD=5,所以DC=8-5=3.
变式 如图，已知在△ABC 中, DE是AC的垂直平分线,△ABC的周长为19 cm, AE=3 cm,则△ABD的周长为 ( )
A.19 cm B.16 cm C.13 cm D.11 cm
考点② 线段垂直平分线的作图
典例2 如图所示，A，B，C表示三个工厂，现要修建一个供水站，使它到三个工厂的距离相等.求供水站的位置 P.
思路导析 这个问题的解决可分为两步：其一，运用到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，得点 P一定在AB 的垂直平分线上；其二，到B,C(或 A,C)两点等距离的点应在 BC(或AC)的垂直平分线上.故作 AB和BC(或 AC)的垂直平分线，两线交点即为所求位置 P.
变式 如图所示，小河边有两个村庄 A，B，要在河边建一自来水厂向 A 村与 B 村供水.若要使自来水厂到A，B两村的距离相等，则应选择在哪建厂
考点③ “将军饮马”问题
典例3 在旷野上，一位将军骑着马想从A地到B 地，由于路途遥远，他必须先骑马从A 地到河边l 饮马一次，饮马后再从河边去B 地.如图所示，他应该怎样选择饮水点 P，才能使马所走的路程最短(即 的和最小)呢 (假定河岸是一条直线)
思路导析 本题是利用轴对称作图来解决“将军饮马”问题的一个典例.以直线l为对称轴取点A的对称点A'，连接A'B与l 相交于 P点，则 为上异于P 点的任意点)，所以此时 AP+PB 为最短.
规律总结
路线和最短问题的原理是两点之间，线段最短，解决方法：(1)两点位于直线异侧，连接两点，与直线交点即为所求；(2)两点位于直线的同侧，作其中一点关于直线的对称点，连接对称点和另一点，与直线交点即为所求.
变式 牧羊人在某天发现了一个有水有草的神秘三角地带(如图)，便想在公路边 AB上找一点，安营扎寨，进行牧羊.使每天牧羊时到草地AC边上吃草，然后到小河边 BC处喝水，再跑回出发地休息.为使所跑路程最短，请你为牧羊人在公路上找一个合适的位置，并画出线路图.
当堂测·夯基础
1.如图,在 中,DE 垂直平分 BC,若 13.则 的周长等于 ( )
A.21 B.23 C.24 D.26
2.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=40°,AC 的垂直平分线MN 与AB 交于点 D，则∠BCD 的度数是 ( )
A.10° B.15° C.20° D.25°
第2题图 第3题图
3.如图,已知点 O是 的两边AB 和AC 的垂直平分线 OD,OE 的交点,且 则的度数为 ( )
B.110°
4.如图,C,E 是直线两侧的点，以点 C 为圆心，CE 的长为半径画弧交直线于A，B两点，再分别以点 A，B为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 D，连接CA，CB，CD，则下列结论不一定正确的是( )
A.CA=CB B. CD⊥直线
C.点C,D 关于直线对称 D.点 A,B 关于直线CD 对称
第4题图 第5题图
5.如图所示，直线a，b，c表示三条相互交叉的公路，交点为三个小区，现拟建一个超市，要求它到三个小区的距离都相等，则可供选择的地址有 ( )
A.一处 B.两处 C.三处 D.四处
6.如图,在 中，AC 的垂直平分线PD 与 BC 的垂直平分线 PE 交于点 P,垂足分别为 D,E,连接 PA,PB,PC,若 则
参考答案
【列清单·划重点】
知识点1 轴对称 垂直于 平分
知识点2 端点
【明考点·识方法】
典例1 3
变式 C
典例2 解：如图所示：
(1)连接AB,作 AB 的垂直平分线
(2)连接 BC,作 BC的垂直平分线 与 的交点 P 即为供水站的位置.
变式 解：如图所示，作线段 AB 的垂直平分线交EF 于点 P,则点 P 到A,B 的距离相等.
典例3 解：如图：
(1)作点 A 关于的对称点
(2)连接 交于点 P;
那么，在点 P 处饮马，才能使所走的路程最短.
变式 解：如图，P点为安营扎寨处.
路线图为 P→E→D→P.
【当堂测·夯基础】
1. B 2. A
3. A 解析:连接OA,如图所示:
由题意，得所以 ，
因为 所以
因为
又因为
所 以
4. C 5. A
6. 45
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