人教版数学八年级上册13.1.2线段的垂直平分线的性质 精品同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级上册13.1.2线段的垂直平分线的性质 精品同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-17 14:30:43 | ||
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文档简介
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人教版八年级上册数学 13.1.2线段的垂直平分线的性质
同步练习
(考试时间：60分钟 满分：100分）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。下列各题的备选答案中，只有一项是最符合题意的，请选出。）
1.点P是△ABC中边AB的垂直平分线上的点，则一定有
A．PA=PB B．PA=PC
C．PB=PC D．点P到∠ACB的两边的距离相等
2.下列说法错误的是
A．E，D是线段AB的垂直平分线上的两点，则AD=BD，AE=BE
B．若AD=BD，AE=BE，则直线DE是线段AB的垂直平分线
C．若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上
D．若PA=PB，则过点P的直线是线段AB的垂直平分线
3.如图，AC=AD，BC=BD，那么下列判断正确的是
A．CD垂直平分AB B．AB垂直平分CD
C．CD平分∠ACB D．∠ACB=∠ADB=90°
4．如图，在中，分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点M、N，直线与相交于点E．过点C作，垂足为点D，与相交于点F．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，AB=5，BC=6，AC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，则△ABD的周长为（ ）
A．8 B．11 C．16 D．17
6．如图，在△ABC中，按以下步骤：①分别以点B，C为圆心，大于BC长为半径作弧，两弧交于点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若AB＝10，AC＝4，则△ACD的周长是（ ）
A．24 B．18 C．14 D．9
7．如图，在中，，点，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于E，F两点，作直线，交于点H，交于点G．若，则点G的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，将放在每个小正方形的边长均为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，若点B的坐标为，点C的坐标为，则到三个顶点距离相等的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，点是的中点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，直线交于点，连接．若的周长为10，则的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
10．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧交于、于，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于，下列四个结论：①是的平分线；②；③点在的中垂线上；④．其中正确的有（ ）
A．只有①②③ B．只有①②④ C．只有①③④ D．①②③④
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。）
11.如图，已知AD是线段BC的垂直平分线，则AB=__________．
12.如图，在中，垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；作射线AF，射线AF与直线PQ相交于点G，则的度数为__________度．
13.如图，直线l为线段的垂直平分线，垂足为C，直线l上的两点E，F位于异侧（E，F两点不与点C重合）．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是____．
14.如图，是中边的垂直平分线，若，则的周长为_____．
15.如图，在中，线段的垂直平分线交于点，连接，若，，则的度数为_____°．
三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.如图所示，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄，当汽
车行驶到哪个位置时，与村庄M，N的距离相等．
17.如图所示，AB=AC，BM=CM，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？
18.如图，已知AE=CE，BD⊥AC．求证：AB+CD=AD+BC．
19.如图，已知直线，直线分别与、交于点、．请用尺规作图法，在线段上求作点，使点到、的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
20.如图，为半圆O的直径，且为半圆上的一点，．
（1）请用尺规作图在上作一点D，使得；（不写作法，保留痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接，若，求的面积．
参考答案
选择题
1.【答案】A
【解析】∵点P在AB的垂直平分线上，∴PA=PB，故选A．
2.【答案】D
【解析】A、∵E是线段AB的垂直平分线上的点，∴AE=BE．同理AD=BD．故A正确；
B、若AD=BD，∴D在AB的垂直平分线上．同理E在AB的垂直平分线上．∴直线DE是线段AB的垂直平分线．故B正确；
C、若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上，故C正确；
D、若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．但过点P的直线有无数条，不能确定过点P的直线是线段AB的垂直平分线．故D错误．故选D．
3.【答案】B
【解析】∵AC=AD，∴点A在线段CD的垂直平分线上，
∵BC=BD，∴点B在线段CD的垂直平分线上，
∴AB垂直平分CD．故选B．
4.【答案】B
【分析】连接DE，如图，利用基本作图得到AE=CE，则DE为斜边AC的中线，所以DE=AE=CE，则∠ADE=∠A=34°，接着证明BD=DE，所以∠DBE=∠DEB=17°，然后利用三角形外角性质计算∠BFC的度数．
【详解】连接DE，如图，
由作法得MN垂直平分AC，
∴AE=CE，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CDE=90°，
∵DE为斜边AC的中线，
∴DE=AE=CE，
∴∠ADE=∠A=34°，
∵BD=CE，
∴BD=DE，
∴∠DBE=∠DEB=∠ADE=17°，
∴∠BFC=∠DBF+∠BDF=17°+90°=107°．
故选：B．
5.【答案】B
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴，
∴的周长，
故选：B．
6.【答案】C
【分析】根据作图得到MN是线段BC的垂直平分线，得到BD＝DC，再根据周长公式进行线段代换即可求解．
【详解】由作图可知MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD＝DC，
∴△ACD的周长＝AC＋AD＋CD＝AC＋AD＋BD＝AC＋AB＝14．
故选：C
7.【答案】D
【分析】过点B作轴于N，过点C作交的延长线于M．证明，推出，设，则，构建方程组，解决问题即可．
【详解】过点B作轴于N，过点C作交的延长线于M．
由作图可知，垂直平分线段，
∴点G是的中点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴点．
故选：D．
8.【答案】D
【分析】根据点B、C的坐标确定平面直角坐标系，再根据线段垂直平分线的性质确定出交点坐标即可．
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系．
作线段AC、AB的垂线，交点为O，
由图可知：OA=OB=OC，
∴到三个顶点距离相等的点的坐标为（0，0）．
故答案为：D．
9.【答案】D
【分析】△ABE的周长为AB+AE+BE=10，根据DE是线段AC的垂直平分线，得AE=EC，得到AB+BC=10，AC=2AD=6，计算周长即可
【详解】∵ED是线段AC的垂直平分线，
∴AE=EC，
∵△ABE的周长为AB+AE+BE=10，
∴AB+BC=10，
∵AC=2AD=6，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=10+6=16，
故选D
10.【答案】D
【分析】利用角平分线的性质以及各内角度数和三角形面积求法分别得出即可．
【详解】根据作图过程可知是的角平分线，①正确；
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC=∠DAB=30°，
∴∠ADC=60°，故②正确；
∵∠B=30°，∠DAB=30°，
∴AD=DB，
∴点D在AB的中垂线上，故③正确；
∵∠CAD=30°，
∴CD=AD，
∵AD=DB，
∴CD=DB，
∴CD=CB，
S△ACD=CD AC，S△ACB=CB AC，
∴S△ACD：S△ACB=1：3，故④正确，
故选D．
填空题
11.【答案】AC
【解析】∵AD是线段BC的垂直平分线，∴AB=AC，故答案为：AC．
12.【答案】56
【分析】根据直角三角形两锐角互余得∠BAC＝68°，由角平分线的定义得∠BAG＝34°，由线段垂直平分线可得△AQG是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余即可求出∠AGQ．
【详解】∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°，
∵∠B＝22°，
∴∠BAC＝90° ∠B＝90° 22°＝68°，
由作法可知，AG是∠BAC的平分线，
∴∠BAG＝∠BAC＝34°，
∵PQ是AB的垂直平分线，
∴△AGQ是直角三角形，
∴∠AGQ＋∠BAG＝90°，
∴∠AGQ＝90° ∠BAG＝90° 34°＝56°，
故答案为：56．
13.【答案】
【分析】根据全等三角形的判定直接写出条件即可
【详解】证明：添加：，理由如下：
∵直线l为线段的垂直平分线
∴AC=CB,∠ACE=∠BCF
又
∴（SAS）
故答案为：
14.【答案】9
【分析】利用线段垂直平分线的性质得AD=CD，再等量代换即可求得三角形的周长．
【详解】∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴BD+CD=BD+AD=AB=5cm，
∴△EBC的周长=BC+BD+CD=4+5=9（cm）．
故答案为：9．
15.【答案】30
【分析】根据三角形的外角性质求出∠CDB，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【详解】∵∠C=80°，∠CBD=40°，
∴∠CDB=180°-∠C-∠CBD=60°，
∵线段AB的垂直平分线交AC于点D，
∴DA=DB，
∴∠A=∠DBA=∠CDB=30°，
故答案为：30．
解答题
16.【解析】（1）连接MN；
（2）作线段MN的垂直平分线l，
交直线AB于C点，则C点即为所求．
17.【解析】是．理由：∵AB=AC，BM=CM，
∴点A、M都在线段BC的垂直平分线上．
根据“两点确定一条直线”知，直线AM是线段BC的垂直平分线．
18.【解析】∵AE=CE，BD⊥AC，
∴BD是线段AC的垂直平分线，
∴AB=BC，AD=CD，
∴AB+CD=AD+BC．
19.【答案】见解析
【分析】作出线段AB的垂直平分线即可．
【详解】如图所示，点即为所求．
20.【答案】（1）见解析；（2）24
【分析】（1）延长，在的延长线上截取，使得，作线段的垂直平分线垂足为D，点D即为所求作；
（2）解直角三角形求出，可得结论．
【详解】（1）如图，作法如下：
延长，在的延长线上截取，使得；
分别以点E，B为圆心，大于画弧，作BE的中垂线，中垂线与BE的交点即为所求的D点．
（2）连接．
，
∴OD为△ABE的中位线，
∴，
是直径，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
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人教版八年级上册数学 13.1.2线段的垂直平分线的性质
同步练习
(考试时间：60分钟 满分：100分）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。下列各题的备选答案中，只有一项是最符合题意的，请选出。）
1.点P是△ABC中边AB的垂直平分线上的点，则一定有
A．PA=PB B．PA=PC
C．PB=PC D．点P到∠ACB的两边的距离相等
2.下列说法错误的是
A．E，D是线段AB的垂直平分线上的两点，则AD=BD，AE=BE
B．若AD=BD，AE=BE，则直线DE是线段AB的垂直平分线
C．若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上
D．若PA=PB，则过点P的直线是线段AB的垂直平分线
3.如图，AC=AD，BC=BD，那么下列判断正确的是
A．CD垂直平分AB B．AB垂直平分CD
C．CD平分∠ACB D．∠ACB=∠ADB=90°
4．如图，在中，分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点M、N，直线与相交于点E．过点C作，垂足为点D，与相交于点F．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，AB=5，BC=6，AC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，则△ABD的周长为（ ）
A．8 B．11 C．16 D．17
6．如图，在△ABC中，按以下步骤：①分别以点B，C为圆心，大于BC长为半径作弧，两弧交于点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若AB＝10，AC＝4，则△ACD的周长是（ ）
A．24 B．18 C．14 D．9
7．如图，在中，，点，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于E，F两点，作直线，交于点H，交于点G．若，则点G的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，将放在每个小正方形的边长均为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，若点B的坐标为，点C的坐标为，则到三个顶点距离相等的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，点是的中点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，直线交于点，连接．若的周长为10，则的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
10．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧交于、于，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于，下列四个结论：①是的平分线；②；③点在的中垂线上；④．其中正确的有（ ）
A．只有①②③ B．只有①②④ C．只有①③④ D．①②③④
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。）
11.如图，已知AD是线段BC的垂直平分线，则AB=__________．
12.如图，在中，垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；作射线AF，射线AF与直线PQ相交于点G，则的度数为__________度．
13.如图，直线l为线段的垂直平分线，垂足为C，直线l上的两点E，F位于异侧（E，F两点不与点C重合）．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是____．
14.如图，是中边的垂直平分线，若，则的周长为_____．
15.如图，在中，线段的垂直平分线交于点，连接，若，，则的度数为_____°．
三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.如图所示，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄，当汽
车行驶到哪个位置时，与村庄M，N的距离相等．
17.如图所示，AB=AC，BM=CM，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？
18.如图，已知AE=CE，BD⊥AC．求证：AB+CD=AD+BC．
19.如图，已知直线，直线分别与、交于点、．请用尺规作图法，在线段上求作点，使点到、的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
20.如图，为半圆O的直径，且为半圆上的一点，．
（1）请用尺规作图在上作一点D，使得；（不写作法，保留痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接，若，求的面积．
参考答案
选择题
1.【答案】A
【解析】∵点P在AB的垂直平分线上，∴PA=PB，故选A．
2.【答案】D
【解析】A、∵E是线段AB的垂直平分线上的点，∴AE=BE．同理AD=BD．故A正确；
B、若AD=BD，∴D在AB的垂直平分线上．同理E在AB的垂直平分线上．∴直线DE是线段AB的垂直平分线．故B正确；
C、若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上，故C正确；
D、若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．但过点P的直线有无数条，不能确定过点P的直线是线段AB的垂直平分线．故D错误．故选D．
3.【答案】B
【解析】∵AC=AD，∴点A在线段CD的垂直平分线上，
∵BC=BD，∴点B在线段CD的垂直平分线上，
∴AB垂直平分CD．故选B．
4.【答案】B
【分析】连接DE，如图，利用基本作图得到AE=CE，则DE为斜边AC的中线，所以DE=AE=CE，则∠ADE=∠A=34°，接着证明BD=DE，所以∠DBE=∠DEB=17°，然后利用三角形外角性质计算∠BFC的度数．
【详解】连接DE，如图，
由作法得MN垂直平分AC，
∴AE=CE，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CDE=90°，
∵DE为斜边AC的中线，
∴DE=AE=CE，
∴∠ADE=∠A=34°，
∵BD=CE，
∴BD=DE，
∴∠DBE=∠DEB=∠ADE=17°，
∴∠BFC=∠DBF+∠BDF=17°+90°=107°．
故选：B．
5.【答案】B
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴，
∴的周长，
故选：B．
6.【答案】C
【分析】根据作图得到MN是线段BC的垂直平分线，得到BD＝DC，再根据周长公式进行线段代换即可求解．
【详解】由作图可知MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD＝DC，
∴△ACD的周长＝AC＋AD＋CD＝AC＋AD＋BD＝AC＋AB＝14．
故选：C
7.【答案】D
【分析】过点B作轴于N，过点C作交的延长线于M．证明，推出，设，则，构建方程组，解决问题即可．
【详解】过点B作轴于N，过点C作交的延长线于M．
由作图可知，垂直平分线段，
∴点G是的中点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴点．
故选：D．
8.【答案】D
【分析】根据点B、C的坐标确定平面直角坐标系，再根据线段垂直平分线的性质确定出交点坐标即可．
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系．
作线段AC、AB的垂线，交点为O，
由图可知：OA=OB=OC，
∴到三个顶点距离相等的点的坐标为（0，0）．
故答案为：D．
9.【答案】D
【分析】△ABE的周长为AB+AE+BE=10，根据DE是线段AC的垂直平分线，得AE=EC，得到AB+BC=10，AC=2AD=6，计算周长即可
【详解】∵ED是线段AC的垂直平分线，
∴AE=EC，
∵△ABE的周长为AB+AE+BE=10，
∴AB+BC=10，
∵AC=2AD=6，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=10+6=16，
故选D
10.【答案】D
【分析】利用角平分线的性质以及各内角度数和三角形面积求法分别得出即可．
【详解】根据作图过程可知是的角平分线，①正确；
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC=∠DAB=30°，
∴∠ADC=60°，故②正确；
∵∠B=30°，∠DAB=30°，
∴AD=DB，
∴点D在AB的中垂线上，故③正确；
∵∠CAD=30°，
∴CD=AD，
∵AD=DB，
∴CD=DB，
∴CD=CB，
S△ACD=CD AC，S△ACB=CB AC，
∴S△ACD：S△ACB=1：3，故④正确，
故选D．
填空题
11.【答案】AC
【解析】∵AD是线段BC的垂直平分线，∴AB=AC，故答案为：AC．
12.【答案】56
【分析】根据直角三角形两锐角互余得∠BAC＝68°，由角平分线的定义得∠BAG＝34°，由线段垂直平分线可得△AQG是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余即可求出∠AGQ．
【详解】∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°，
∵∠B＝22°，
∴∠BAC＝90° ∠B＝90° 22°＝68°，
由作法可知，AG是∠BAC的平分线，
∴∠BAG＝∠BAC＝34°，
∵PQ是AB的垂直平分线，
∴△AGQ是直角三角形，
∴∠AGQ＋∠BAG＝90°，
∴∠AGQ＝90° ∠BAG＝90° 34°＝56°，
故答案为：56．
13.【答案】
【分析】根据全等三角形的判定直接写出条件即可
【详解】证明：添加：，理由如下：
∵直线l为线段的垂直平分线
∴AC=CB,∠ACE=∠BCF
又
∴（SAS）
故答案为：
14.【答案】9
【分析】利用线段垂直平分线的性质得AD=CD，再等量代换即可求得三角形的周长．
【详解】∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴BD+CD=BD+AD=AB=5cm，
∴△EBC的周长=BC+BD+CD=4+5=9（cm）．
故答案为：9．
15.【答案】30
【分析】根据三角形的外角性质求出∠CDB，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【详解】∵∠C=80°，∠CBD=40°，
∴∠CDB=180°-∠C-∠CBD=60°，
∵线段AB的垂直平分线交AC于点D，
∴DA=DB，
∴∠A=∠DBA=∠CDB=30°，
故答案为：30．
解答题
16.【解析】（1）连接MN；
（2）作线段MN的垂直平分线l，
交直线AB于C点，则C点即为所求．
17.【解析】是．理由：∵AB=AC，BM=CM，
∴点A、M都在线段BC的垂直平分线上．
根据“两点确定一条直线”知，直线AM是线段BC的垂直平分线．
18.【解析】∵AE=CE，BD⊥AC，
∴BD是线段AC的垂直平分线，
∴AB=BC，AD=CD，
∴AB+CD=AD+BC．
19.【答案】见解析
【分析】作出线段AB的垂直平分线即可．
【详解】如图所示，点即为所求．
20.【答案】（1）见解析；（2）24
【分析】（1）延长，在的延长线上截取，使得，作线段的垂直平分线垂足为D，点D即为所求作；
（2）解直角三角形求出，可得结论．
【详解】（1）如图，作法如下：
延长，在的延长线上截取，使得；
分别以点E，B为圆心，大于画弧，作BE的中垂线，中垂线与BE的交点即为所求的D点．
（2）连接．
，
∴OD为△ABE的中位线，
∴，
是直径，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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