1.2 怎样判定三角形相似 第5课时 课件(共24张PPT) 2024-2025学年数学青岛版九年级上册

(共24张PPT)
1.2 怎样判定三角形相似
第5课时
基本图形归纳
平行型
A型图
X型图
斜截型
解决实际应用问题的关键是根据题意画出图形，或在图中找出基本图形，便于解题.
眼睛在生活中具有非常重要的作用，有它可以欣赏美丽的大好河山，有它可以辨别是非黑白，有它可以传达你对同学们的友爱，……，但是你有没有想过人眼的视线在相似三角形中还有非常重要的作用.
1.能应用相似三角形的有关知识解决一些实际问题.
2.进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力.
例1 据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO.
如何测出OA的长？
【例题】
因此金字塔的高为134m.
解析：太阳光是平行光线，
因此∠BAO= ∠ EDF，
又 ∠ AOB=∠DFE=90°，
∴△ABO∽△DEF
例2 如图为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选
定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线
且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a
上选择适当的点T，连接PT，与过点Q且垂直PS的直线
b交于点R，如果测得QS=45m，
ST=90m，QR=60m.
求河的宽度PQ.
P
Q
R
S
T
b
a
解析：∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P,
∴△PQR∽△PST.
∴
PQ×90=(PQ+45)×60，
解得PQ=90.
因此河宽大约为90m.
如图，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求河宽AB.
解析：∵∠B=∠C=90°，
∠ADB=∠EDC，
∴△ABD∽△ECD，
∴
∴AB=50×120÷60
=100（m）
A
B
D
C
E
【跟踪训练】
例3 如图左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树根部的距离BD=5m，一个身高1.6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？
设观察者眼睛的位置（视点）为F，∠CFK和∠AFH分别是观察点C、A时的仰角，区域Ⅰ和区域Ⅱ都在观察者看不到的区域（盲区）之内.
【例题】
解析：假设观察者从左向右走到点E时，他的眼睛的
位置点F与两棵树的顶端点A、C恰在一条直线上.
∵AB⊥l，CD⊥l ，
∴AB∥CD，△AFH∽△CFK，
∴FH﹕FK=AH﹕CK，
即
解得FH=8.
当他与左边较低的树的距离小
于8m时，就不能看到右边较高
的树的顶端点C.
为了测量一池塘的宽AB,在岸边找到了一点C,使AC⊥
AB，在AC上找到一点D，在BC上找到一点E,使DE⊥AC，
测出AD=35m，DC=35m，DE=30m,那么你能算出池塘的
宽AB吗
A
B
C
D
E
【跟踪训练】
解析：
因为 ∠ACB＝∠DCE,
所以△ABC∽△DEC ，
答：池塘的宽AB为60 m．
∠CAB＝∠CDE=90°,
A
B
C
D
E
，
利用相似三角形测量瓶子的内径
学具准备：等长的两根小木棒，橡皮筋，玻璃瓶，刻度尺
过程：两人合作先把两根小木棒用橡皮筋捆好，然后将等长的两根小木棒的一端放进瓶子里，使两根小木棒抵住瓶底并紧靠瓶子的边缘，再用刻度尺测出小木棒另两端的距离．构造相似并计算瓶子内径．
【解析】设点O将两根小木棒都分成了
两段，比值为 如果我们测出线段
AB的长度为m，根据△AOB∽△DOC，我
们就可以求出内径CD的长度了，即CD=mn．
【规律方法】相似三角形的性质是我们常常用来证明线段等积式的重要方法，也是我们用来求线段的长度与角度相等的重要方法．
如图，已知△ACB的边AB、AC上的两点D、E，且∠ADE=
∠C，
求证：AD·AB=AE·AC．
【证明】 ∵∠ADE=∠C，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似），
∴AD︰AC=AE︰AB，
即AD·AB=AE·AC．
在应用相似的相关知识解决实际问题时，要利用平行、垂直等辅助线构造相似三角形，将实际问题转化为相应的数学模型.
1.（乐山·中考）某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC
的高度，在点F处竖立一根长为1.5m的标杆DF，如图所
示，量出DF的影子EF的长度为1m，再量出旗杆AC的影子
BC的长度为6m，那么旗杆AC的高度为（ ）
A.6m B.7m C.8.5m D.9m
D
2.某校宣传栏后面2m处种了一排树，每隔2m一棵，共种
了6棵，小勇站在距宣传栏中间位置的垂直距离3m处，正
好看到两端的树，其余的4棵均被挡住，那么宣传栏的
长为___m(不计宣传栏的厚).
6
3.（内江·中考）如图，为了测量某
棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做
测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的
顶端的影子恰好落在地面的同一点.
此时，竹竿与这一点距离相距6m，与
树相距15m，则树的高度为_____m.
4.（德州·中考）如图，小明在A时
测得某树的影长为2m，B时又测得该
树的影长为8m，若两次日照的光线
互相垂直，则树的高度为_____m.
A时
B时
7
4
5.（衡阳·中考）如图，已知零件的外径为25mm，现用
一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC=OD）量零件
的内孔直径AB．若OC∶OA=1∶2，量得CD＝10mm，则零
件的厚度x= mm．
2.5
A
B
A′
B′
32cm
20cm
6.如图：与小孔O相距32cm处有一支长30cm燃烧的蜡烛AB，经小孔，在与小孔相距20cm的屏幕上成像，求像A′B′的长度.
O
【解析】根据题意,得: △ABO∽△A′B′O
过点O作AB、A′B′的垂线，垂足分别为Ｃ、Ｃ′，则由三角形相似，得
A
C
B
A′
B′
C′
32cm
20cm
O
即
解得：A′B′＝18.75(cm).
答：像A′B′的长度为18.75cm.
智慧的可靠标志就是能够在平凡中发现奇迹。
——爱默生